【中考真题】2021年江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校中考数学模拟试卷（7）（含答案解析）

这是一份【中考真题】2021年江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校中考数学模拟试卷（7）（含答案解析），共24页。试卷主要包含了下列运算正确的是，分解因式等内容，欢迎下载使用。
2021年江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校中考数学模拟试卷（7）
一．选择题（共6小题）
1．在实数0，﹣3，3，中，最大的是（　　）
A．0 B．﹣3 C．3 D．
2．空心六棱柱螺母按如图所示位置摆放，则它的左视图正确的图形是（　　）

A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A．a3+（﹣a）3＝﹣a6 B．（a+b）2＝a2+b2
C．2a2•a＝2a3 D．（ab2）3＝a3b5
4．港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一，它是世界总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米．数字55000用科学记数法表示为（　　）
A．5.5×104 B．55×104 C．5.5×105 D．0.55×106
5．某班班长统计去年1～8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图折线统计图，下列说法正确的是（　　）

A．每月阅读数量的平均数是50
B．众数是42
C．中位数是58
D．每月阅读数量超过40的有4个月
6．如图，直线y＝﹣2x+8交x轴、y轴于A、B两点，点P为线段AB上的点，过点P作PE⊥x轴于点E，作PF⊥y轴于点F，PF＝2，将线段AB沿y轴负方向向下移动a个单位，线段AB扫过矩形PEOF的面积为z，则图中描述z与a的函数图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题）
7．分解因式：a﹣ab2＝　 　．
8．一组数据8，6，4，x，3，2的唯一众数为8，则这组数据的中位数是　 　．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为　 　．

10．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有x个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为　 　．
11．已知一元二次方程x2+4x﹣3＝0的两实数根为α和β，则α2+β2的值为　 　．
12．平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB＝120°，∠ACB＝60°，AO＝BO＝2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是　 　．
三．解答题（共11小题）
13．（1）求不等式组的解集．
（2）如图，已知BC平分∠ACD，且∠1＝∠2，求证：AB∥CD．

14．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中m＝+1．
15．如图，▱ABCD的顶点A、B、D都在⊙O上，请你仅用无刻度的直尺按下列要求画图：
（1）在图1中，画出一条弦与AD相等；
（2）在图2中，画出一条直线与AB垂直平分．

16．某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：
径赛项目：100m，200m，400m（分别用A1、A2、A3表示）；
田赛项目：跳远，跳高（分别用B1、B2表示）．
（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为　 　；
（2）该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．
17．在“母亲节”前夕，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销量大，店主决定将玫瑰每枝降价1元促销，降价后30元可购买玫瑰的数量是原来可购买玫瑰数量的1.5倍．
（1）求降价后每枝玫瑰的售价是多少元？
（2）根据销售情况，店主用不多于900元的资金再次购进两种鲜花共500枝，康乃馨进价为2元/枝，玫瑰进价为1.5元/枝，问至少购进玫瑰多少枝？
18．近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查．调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图．

请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了多少名购买者？
（2）请补全条形统计图；在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为　 　度．
（3）若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？
19．如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延长线上，且BC＝12cm．
（1）当PA＝45cm时，求PC的长；
（2）若∠AOC＝120°时，“最佳视角点”P在直线PC上的位置会发生什么变化？此时PC的长是多少？请通过计算说明．（结果精确到0.1cm，可用科学计算器，参考数据：≈1.414，≈1.732）

20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AM⊥x轴于点M，作AN⊥y轴于点N，OM＝2，tan∠AOM＝，点B的坐标为（m，﹣2）．
（1）求四边形AMON的周长和面积；
（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．

21．如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC
（1）求CD的长；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交于点F（F与B、C不重合）．问GE•GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．


2021年江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校中考数学模拟试卷（7）
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．在实数0，﹣3，3，中，最大的是（　　）
A．0 B．﹣3 C．3 D．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵＞3＞0＞﹣3，
∴在实数0，﹣3，3，中，最大的是．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．空心六棱柱螺母按如图所示位置摆放，则它的左视图正确的图形是（　　）

A． B． C． D．
【分析】左视图是从物体左面看，所得到的图形．
【解答】解：从左面看，是一列两个正方形，两个正方形的中间有一条横向的虚线，
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3．下列运算正确的是（　　）
A．a3+（﹣a）3＝﹣a6 B．（a+b）2＝a2+b2
C．2a2•a＝2a3 D．（ab2）3＝a3b5
【分析】利用完全平方公式，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则运算即可；
【解答】解：a3+（﹣a3）＝0，A错误；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，B错误；
（ab2）3＝a3b5，D错误；
故选：C．
【点评】本题考查整式的运算；熟练掌握完全平方公式，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则是解题的关键．
4．港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一，它是世界总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米．数字55000用科学记数法表示为（　　）
A．5.5×104 B．55×104 C．5.5×105 D．0.55×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：数字55000用科学记数法表示为5.5×104．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．某班班长统计去年1～8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图折线统计图，下列说法正确的是（　　）

A．每月阅读数量的平均数是50
B．众数是42
C．中位数是58
D．每月阅读数量超过40的有4个月
【分析】根据平均数的计算方法，可判断A；根据众数的定义，可判断B；根据中位数的定义，可判断C；根据折线统计图中的数据，可判断D．
【解答】解：A、每月阅读数量的平均数是＝56.625，故A错误；
B、出现次数最多的是58，众数是58，故B错误；
C、由小到大顺序排列数据28，36，42，58，58，70，78，83，中位数是＝58，故C正确；
D、由折线统计图看出每月阅读量超过40天的有6个月，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了折线统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图表示的是事物的变化情况．注意求中位数先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．
6．如图，直线y＝﹣2x+8交x轴、y轴于A、B两点，点P为线段AB上的点，过点P作PE⊥x轴于点E，作PF⊥y轴于点F，PF＝2，将线段AB沿y轴负方向向下移动a个单位，线段AB扫过矩形PEOF的面积为z，则图中描述z与a的函数图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】求得直线y＝﹣2x+8与坐标轴的交点，求得当0＜a≤4时的函数解析式，排除选项A和D；再根据z随a的增大而增大，排除B，可得答案为C．
【解答】解：∵直线y＝﹣2x+8交x轴、y轴于A、B两点，
∴A（0，8），B（4，0），
∵PF＝2，
∴P（2，4），
∴PE＝4，
线段AB沿y轴负方向向下移动a个单位，当0＜a≤4时，
AG＝PN＝a，FG＝4﹣a，
∵∠BAO＝∠MGF，
∴tan∠MGF＝tan∠BAO＝＝，
∴MF＝FG＝×（4﹣a），
∴MP＝2﹣×（4﹣a）＝a，
∴z＝PM×PN＝a2，
∴当0＜a≤4时，z为开口向上的二次函数，
∴排除A，D选项；
∵当0＜a≤8时，z随a的增大而增大，
∴B不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合并熟练掌握变化的临界点是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
7．分解因式：a﹣ab2＝　a（1+b）（1﹣b）　．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：原式＝a（1﹣b2）
＝a（1+b）（1﹣b）．
故答案为：a（1+b）（1﹣b）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
8．一组数据8，6，4，x，3，2的唯一众数为8，则这组数据的中位数是　5　．
【分析】根据众数的定义即一组数据中出现次数最多的数据叫做众数得出x的值，将数据从小到大排列可得出中位数．
【解答】解：∵数据8，6，4，x，3，2的唯一众数为8，
∴x＝8，
将数据从小到大排列为2，3，4，6，8，8，
则中位数是＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了众数及中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为　6　．

【分析】利用直角三角形的性质得出AB＝4，再利用旋转的性质以及三角形外角的性质得出AB′＝2，进而得出答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴∠CAB＝30°，故AB＝4，
∵△A′B′C由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，
∴AB＝A′B′＝4，AC＝A′C，
∴∠CAA′＝∠A′＝30°，
∴∠ACB′＝∠B′AC＝30°，
∴AB′＝B′C＝2，
∴AA′＝2+4＝6，
故答案为6．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质等知识，得出AB′＝B′C＝1是解题关键，此题难度不大．
10．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有x个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为　9x﹣11＝6x+16　．
【分析】设有x个人共同买鸡，根据买鸡需要的总钱数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设有x个人共同买鸡，根据题意得：
9x﹣11＝6x+16．
故答案为：9x﹣11＝6x+16．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
11．已知一元二次方程x2+4x﹣3＝0的两实数根为α和β，则α2+β2的值为　22　．
【分析】先根据根与系数的关系得到α+β＝﹣4，αβ＝﹣3，再把α2+β2变形为（α+β）2﹣2αβ，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得α+β＝4，αβ＝﹣3，
所以α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝16﹣2×（﹣3）＝16+6＝22．
故答案为：22．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
12．平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB＝120°，∠ACB＝60°，AO＝BO＝2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是　2，3，4　．
【分析】分类讨论：如图1，根据圆周角定理可以推出点C在以点O为圆心的圆上；
如图2，根据已知条件可知对角∠AOB+∠ACB＝180°，则四个点A、O、B、C共圆．分类讨论：如图1，如图2，在不同的四边形中，利用垂径定理、等边△MAO的性质来求OC的长度．
【解答】解：如图1，∵∠AOB＝120°，∠ACB＝60°，
∴∠ACB＝∠AOB＝60°，
∴点C在以点O为圆心的圆上，且在优弧AB上．
∴OC＝AO＝BO＝2；
如图2，∵∠AOB＝120°，∠ACB＝60°，
∴∠AOB+∠ACB＝180°，
∴四个点A、O、B、C共圆．
设这四点都在⊙M上．点C在优弧AB上运动．
连接OM、AM、AB、MB．
∵∠ACB＝60°，
∴∠AMB＝2∠ACB＝120°．
∵AO＝BO＝2，
∴∠AMO＝∠BMO＝60°．
又∵MA＝MO，
∴△AMO是等边三角形，
∴MA＝AO＝2，
∴MA＜OC≤2MA，即2＜OC≤4，
∴OC可以取整数3和4．
综上所述，OC可以取整数2，3，4．
故答案是：2，3，4．


【点评】本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质．此题需要分类讨论，以防漏解．在解题时，还利用了圆周角定理，圆周角、弧、弦间的关系．
三．解答题（共11小题）
13．（1）求不等式组的解集．
（2）如图，已知BC平分∠ACD，且∠1＝∠2，求证：AB∥CD．

【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
（2）由BC平分∠ACD知∠1＝∠BCD，再结合∠1＝∠2知∠2＝∠BCD，从而得证．
【解答】解：（1）解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x＞2，
∴不等式组的解集为x＞2；

（2）∵BC平分∠ACD，
∴∠1＝∠BCD．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BCD．
∴AB∥CD．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组和平行线的判定，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中m＝+1．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将m的值代入即可解答本题．
【解答】解：（﹣1）÷
＝
＝
＝，
当m＝+1时，原式＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
15．如图，▱ABCD的顶点A、B、D都在⊙O上，请你仅用无刻度的直尺按下列要求画图：
（1）在图1中，画出一条弦与AD相等；
（2）在图2中，画出一条直线与AB垂直平分．

【分析】（1）利用两条平行弦所夹的弧相等，相等的弧所对的弦相等即可得到答案；
（2）根据等腰梯形的性质即可找到线段AB的垂直平分线；
【解答】解：（1）BE就是所求作的弦；

（2）FG就是所求作的垂直平分线．
【点评】本题考查了平行四边形的性质及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是了解两条平行弦所夹的弧相等，难度中等．
16．某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：
径赛项目：100m，200m，400m（分别用A1、A2、A3表示）；
田赛项目：跳远，跳高（分别用B1、B2表示）．
（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为　　；
（2）该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．
【分析】（1）由5个项目中田赛项目有2个，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵5个项目中田赛项目有2个，
∴该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为：；
故答案为：；

（2）画树状图得：

∵共有20种等可能的结果，恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的12种情况，
∴恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率为：＝．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．在“母亲节”前夕，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销量大，店主决定将玫瑰每枝降价1元促销，降价后30元可购买玫瑰的数量是原来可购买玫瑰数量的1.5倍．
（1）求降价后每枝玫瑰的售价是多少元？
（2）根据销售情况，店主用不多于900元的资金再次购进两种鲜花共500枝，康乃馨进价为2元/枝，玫瑰进价为1.5元/枝，问至少购进玫瑰多少枝？
【分析】（1）可设降价后每枝玫瑰的售价是x元，根据等量关系：降价后30元可购买玫瑰的数量＝原来购买玫瑰数量的1.5倍，列出方程求解即可；
（2）可设购进玫瑰y枝，根据不等量关系：购进康乃馨的钱数+购进玫瑰的钱数≤900元，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设降价后每枝玫瑰的售价是x元，依题意有
＝×1.5，
解得：x＝2．
经检验，x＝2是原方程的解．
答：降价后每枝玫瑰的售价是2元．
（2）设购进玫瑰y枝，依题意有
2（500﹣y）+1.5y≤900，
解得：y≥200．
答：至少购进玫瑰200枝．
【点评】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系和不等关系是解决问题的关键．
18．近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查．调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图．

请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了多少名购买者？
（2）请补全条形统计图；在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为　108　度．
（3）若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？
【分析】（1）根据B的数量和所占的百分比可以求得本次调查的购买者的人数；
（2）根据统计图中的数据可以求得选择A和D的人数，从而可以将条形统计图补充完整，求得在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角的度数；
（3）根据统计图中的数据可以计算出使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名．
【解答】解：（1）56÷28%＝200，
即本次一共调查了200名购买者；
（2）D方式支付的有：200×20%＝40（人），
A方式支付的有：200﹣56﹣44﹣40＝60（人），
补全的条形统计图如右图所示，
在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为：360°×＝108°，
故答案为：108；
（3）1600×＝928（名），
答：估计使用A和B两种支付方式的购买者共有928名．

【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延长线上，且BC＝12cm．
（1）当PA＝45cm时，求PC的长；
（2）若∠AOC＝120°时，“最佳视角点”P在直线PC上的位置会发生什么变化？此时PC的长是多少？请通过计算说明．（结果精确到0.1cm，可用科学计算器，参考数据：≈1.414，≈1.732）

【分析】（1）连接PO．先由线段垂直平分线的性质得出PO＝PA＝45cm，则OC＝OB+BC＝36cm，然后利用勾股定理即可求出PC＝＝27cm；
（2）过D作DE⊥OC交BO延长线于E，过D作DF⊥PC于F，则四边形DECF是矩形．先解Rt△DOE，求出DE＝DO•sin60°＝6，EO＝DO＝6，则FC＝DE＝6，DF＝EC＝EO+OB+BC＝42．再解Rt△PDF，求出PF＝DF•tan30°＝42×＝14，则PC＝PF+FC＝14+6＝20≈34.68＞27，即可得出结论．
【解答】解：（1）当PA＝45cm时，连接PO．
∵D为AO的中点，PD⊥AO，
∴PO＝PA＝45cm．
∵BO＝24cm，BC＝12cm，∠C＝90°，
∴OC＝OB+BC＝36cm，PC＝＝27cm；

（2）当∠AOC＝120°，过D作DE⊥OC交BO延长线于E，过D作DF⊥PC于F，则四边形DECF是矩形．
在Rt△DOE中，∵∠DOE＝60°，DO＝AO＝12，
∴DE＝DO•sin60°＝6，EO＝DO＝6，
∴FC＝DE＝6，DF＝EC＝EO+OB+BC＝6+24+12＝42．
在Rt△PDF中，∵∠PDF＝30°，
∴PF＝DF•tan30°＝42×＝14，
∴PC＝PF+FC＝14+6＝20≈34.6＞27，
∴点P在直线PC上的位置上升了，此时PC的长约是34.6cm．


【点评】本题考查了解直角三角形的应用，线段垂直平分线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，锐角三角函数的定义，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AM⊥x轴于点M，作AN⊥y轴于点N，OM＝2，tan∠AOM＝，点B的坐标为（m，﹣2）．
（1）求四边形AMON的周长和面积；
（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．

【分析】（1）利用矩形的判定得四边形AMON是矩形，而又由tan∠AOM＝，OM＝2可求出AM＝3，代入周长和面积公式即可；
（2）由（1）得A（2，3），将点A（2，3）代入y＝（k≠0）中得反比例函数的解析式；将B（m，﹣2）代入反比例函数得到B（﹣3，﹣2），由A、B两点坐标即可求出一次函数的解析式．
【解答】解：（1）∵AM⊥x轴
∴∠AMO＝90°
在Rt△AMO中，tan∠AOM＝＝，
∴AM＝3
∵AM⊥x轴，AN⊥y轴
∴四边形AMON是矩形
∴四边形AMON的周长＝2×（2+3）＝10
四边形AMON的面积＝2×3＝6；
（2）由（1）可知AM＝3，OM＝2，
∴A（2，3）
将点A（2，3）代入y＝（k≠0）中得：
k＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝
将B（m，﹣2）代入y＝，得m＝﹣3，
∴B（﹣3，﹣2）
将点A（2，3）和B（﹣3，﹣2）代入一次函数y＝ax+b（a≠0）中得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝x+1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，找到相应点的坐标，利用待定系数法求解析式是解题的关键．
21．如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC
（1）求CD的长；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交于点F（F与B、C不重合）．问GE•GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．

【分析】（1）连接OC，根据翻折的性质求出OM，CD⊥OA，再利用勾股定理列式求解即可；
（2）利用勾股定理列式求出PC，然后利用勾股定理逆定理求出∠PCO＝90°，再根据圆的切线的定义证明即可；
（3）连接GA、AF、GB，根据等弧所对的圆周角相等可得∠BAG＝∠AFG，然后根据两组角对应相等两三角相似求出△AGE和△FGA相似，根据相似三角形对应边成比例可得＝，从而得到GE•GF＝AG2，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．
【解答】（1）解：如图，连接OC，
∵沿CD翻折后，点A与圆心O重合，
∴OM＝OA＝×2＝1，CD⊥OA，
∵OC＝2，
∴CD＝2CM＝2＝2＝2；

（2）证明：∵PA＝OA＝2，AM＝OM＝1，CM＝CD＝，∠CMP＝∠OMC＝90°，
∴PC＝＝＝2，
∵OC＝2，PO＝2+2＝4，
∴PC2+OC2＝（2）2+22＝16＝PO2，
∴∠PCO＝90°，
∴PC是⊙O的切线；

（3）解：GE•GF是定值，证明如下，
连接GO并延长，交⊙O于点H，连接HF
∵点G为的中点
∴∠GOE＝90°，
∵∠HFG＝90°，且∠OGE＝∠FGH
∴△OGE∽△FGH
∴＝
∴GE•GF＝OG•GH＝2×4＝8．


【点评】本题是圆的综合题型，主要利用了翻折变换的性质，垂径定理，勾股定理，勾股定理逆定理，圆的切线的定义，相似三角形的判定与性质，难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形．
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日期：2021/11/14 23:16:32；用户：张家港二中；邮箱：zjg2z@xyh.com；学号：41479226

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