【中考真题】2021年江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校中考数学模拟试卷（含答案解析）

这是一份【中考真题】2021年江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校中考数学模拟试卷（含答案解析），共20页。试卷主要包含了﹣的相反数是，今年的政府工作报告中指出，下列运算正确的是，已知某快递公司的收费标准为，计算等内容，欢迎下载使用。
2021年江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校中考数学模拟试卷
一．选择题（共6小题）
1．﹣的相反数是（　　）
A．5 B． C．﹣ D．﹣5
2．今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字1109万用科学记数法可表示为（　　）
A．1.109×107 B．1.109×106 C．0.1109×108 D．11.09×106
3．如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m﹣n的结果可能是（　　）

A．﹣1 B．1 C．2 D．3
4．下列运算正确的是（　　）
A．3a2﹣a2＝3 B．（a+b）2＝a2+b2
C．（﹣3ab2）2＝﹣6a2b4 D．a•a﹣1＝1（a≠0）
5．已知x＝﹣1，y＝+1，那么代数式的值是（　　）
A．2 B． C．4 D．2
6．已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费（　　）
A．17元 B．19元 C．21元 D．23元
二．填空题（共6小题）
7．计算：
（1）（3.14﹣π）0＝　 　；
（2）2cos45°＝　 　；
（3）﹣12＝　 　．
8．已知x＝5﹣y，xy＝2，计算3x+3y﹣4xy的值为　 　．
9．若，则＝　 　．
10．代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
11．观察下列一组数：﹣，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是　 　．
12．如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆……按此规律排列下去，第9个图形中圆的个数是　 　个．

三．解答题（共14小题）
13．（1）已知x＝5﹣y，求2x2+4xy+2y2﹣7的值．
（2）已知a2+2ab+b2＝0，求a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b）的值．
14．计算：2sin60°+|﹣2|﹣（）﹣1+（2020﹣）0．
15．计算：（﹣）﹣2+﹣|1﹣|+（π+2020）0．
16．先化简，再求值：（x﹣1）2+（x﹣3）（x+3）+（x﹣3）（x﹣1），其中x2﹣2x＝2．
17．先化简，再求值：2a（a﹣b）+（﹣2a﹣b）2﹣（a+3b）（a﹣b），其中a＝﹣1，b＝2．
18．计算：1﹣（+）÷．
19．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝+1．
20．先化简，再求值：（﹣x）÷，请在0≤x≤2的范围内选一个合适的整数代入求值．
21．先化简，再求值：÷（﹣）．其中a＝﹣1，b＝+1．
22．观察以下等式：
第1个等式：×（1+）＝2﹣，
第2个等式：×（1+）＝2﹣，
第3个等式：×（1+）＝2﹣，
第4个等式：×（1+）＝2﹣．
第5个等式：×（1+）＝2﹣．
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：　 　；
（2）写出你猜想的第n个等式：　 　（用含n的等式表示），并证明．
23．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离．
（1）发现问题：代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？
（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数﹣1、2、x，AB＝3．

∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，
∴当点P在线段AB上时，PA+PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞3．
∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3．
（3）解决问题：
①|x﹣4|+|x+2|的最小值是　 　；
②利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x﹣1|＞4；

③当a为何值时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2．
24．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上，OA＝3，OC＝5，动点P在x轴的上方，且满足S△PAO＝S矩形OABC．

（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
（2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值；
（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．
25．（1）解方程组；
（2）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
26．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为cm？
（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？
（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，△PBQ的面积为1cm2？


2021年江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．﹣的相反数是（　　）
A．5 B． C．﹣ D．﹣5
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：﹣的相反数是，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字1109万用科学记数法可表示为（　　）
A．1.109×107 B．1.109×106 C．0.1109×108 D．11.09×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，故先将1109万换成11090000，再按照科学记数法的表示方法表示即可得出答案．
【解答】解：∵1109万＝11090000，
∴11090000＝1.109×107．
故选：A．
【点评】本题考查了科学记数法的简单应用，属于基础知识的考查，比较简单．
3．如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m﹣n的结果可能是（　　）

A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【分析】根据在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大可得﹣2＜n＜﹣1＜0＜m＜1，m﹣n的结果可能是2．
【解答】解：∵M，N所对应的实数分别为m，n，
∴﹣2＜n＜﹣1＜0＜m＜1，
∴1＜m﹣n＜3，
∴m﹣n的结果可能是2．
故选：C．
【点评】本题考查了实数与数轴，利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
4．下列运算正确的是（　　）
A．3a2﹣a2＝3 B．（a+b）2＝a2+b2
C．（﹣3ab2）2＝﹣6a2b4 D．a•a﹣1＝1（a≠0）
【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A、原式＝2a2，故本选项不符合题意；
B、原式＝a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；
C、原式＝9a2b4，故本选项不符合题意；
D、原式＝a＝1，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．
5．已知x＝﹣1，y＝+1，那么代数式的值是（　　）
A．2 B． C．4 D．2
【分析】先将分式化简，再代入值求解即可．
【解答】解：原式＝
＝x+y
当x＝﹣1，y＝+1，
原式＝﹣1++1
＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是掌握分式的化简．
6．已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费（　　）
A．17元 B．19元 C．21元 D．23元
【分析】根据题意列出算式计算，即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：13+（8﹣5）×2＝13+6＝19（元）．
则需要付费19元．
故选：B．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二．填空题（共6小题）
7．计算：
（1）（3.14﹣π）0＝　1　；
（2）2cos45°＝　　；
（3）﹣12＝　﹣1　．
【分析】（1）根据任何非零数的零次幂等于1即可；
（2）根据特殊角的三角函数值计算即可；
（3）根据有理数的乘方的定义计算即可．
【解答】解：（1）（3.14﹣π）0＝1；

（2）2cos45°＝；

（3）﹣12＝﹣1×1＝﹣1．
故答案为：（1）1；（2）；（3）﹣1．
【点评】本题主要考查了实数的运算．熟练掌握相关定义是解答本题的关键．
8．已知x＝5﹣y，xy＝2，计算3x+3y﹣4xy的值为　7　．
【分析】由x＝5﹣y得出x+y＝5，再将x+y＝5、xy＝2代入原式＝3（x+y）﹣4xy计算可得．
【解答】解：∵x＝5﹣y，
∴x+y＝5，
当x+y＝5，xy＝2时，
原式＝3（x+y）﹣4xy
＝3×5﹣4×2
＝15﹣8
＝7，
故答案为：7．
【点评】本题主要考查代数式求值，解题的关键是能观察到待求代数式的特点，得到其中包含式子x+y、xy及整体代入思想的运用．
9．若，则＝　　．
【分析】根据比例的基本性质变形，代入求值即可．
【解答】解：由可设y＝3k，x＝7k，k是非零整数，
则．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了比例的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．
10．代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　x≥﹣2　．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：代数式在实数范围内有意义，
则x+2≥0，
解得：x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．
11．观察下列一组数：﹣，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是　（﹣1）n．　．
【分析】观察已知一组数，发现规律进而可得这一组数的第n个数．
【解答】解：观察下列一组数：
﹣＝﹣，
＝，
﹣＝﹣，
＝，
﹣＝﹣，
…，
它们是按一定规律排列的，
那么这一组数的第n个数是：（﹣1）n ．
故答案为：（﹣1）n ．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
12．如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆……按此规律排列下去，第9个图形中圆的个数是　92　个．

【分析】根据图形得出第n个图形中圆的个数是n（n+1）+2进行解答即可．
【解答】解：因为第1个图形中一共有1×（1+1）+2＝4个圆，
第2个图形中一共有2×（2+1）+2＝8个圆，
第3个图形中一共有3×（3+1）+2＝14个圆，
第4个图形中一共有4×（4+1）+2＝22个圆；
可得第n个图形中圆的个数是n（n+1）+2；
所以第9个图形中圆的个数9×（9+1）+2＝92．
故答案为：92．
【点评】考查图形的变换规律；根据图形的排列规律得到下面圆的个数等于图形的序号与序号数多1数的积，上面圆的个数为2是解决本题的关键．
三．解答题（共14小题）
13．（1）已知x＝5﹣y，求2x2+4xy+2y2﹣7的值．
（2）已知a2+2ab+b2＝0，求a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b）的值．
【分析】（1）利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；
（2）需先将要求的式子进行化简整理，再根据已知条件求出a+b的值，即可求出最后结果．
【解答】解：（1）∵x＝5﹣y，
∴x+y＝5，
∴2x2+4xy+2y2﹣7
＝2（x+y）2﹣7
＝2×52﹣7
＝43．

（2）a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b）
＝a2+4ab﹣（a2﹣4b2）
＝4ab+4b2，
∵a2+2ab+b2＝0，
∴a+b＝0，
∴原式＝4b（a+b）
＝0．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算﹣化简求值，在解题时注意运算顺序和乘法公式的综合应用是本题的关键．
14．计算：2sin60°+|﹣2|﹣（）﹣1+（2020﹣）0．
【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：2sin60°+|﹣2|﹣（）﹣1+（2020﹣）0
＝2×+2﹣﹣2+1
＝1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
15．计算：（﹣）﹣2+﹣|1﹣|+（π+2020）0．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及绝对值的性质、零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4+2﹣（﹣1）+1
＝4+2﹣+1+1
＝+6．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
16．先化简，再求值：（x﹣1）2+（x﹣3）（x+3）+（x﹣3）（x﹣1），其中x2﹣2x＝2．
【分析】根据完全平方公式，平方差公式把要求的式子进行化简，变形为3（x2﹣2x）﹣5，再把x2﹣2x＝2代入即可．
【解答】解：（x﹣1）2+（x﹣3）（x+3）+（x﹣3）（x﹣1）
＝x2﹣2x+1+x2﹣9+x2﹣4x+3
＝3x2﹣6x﹣5
＝3（x2﹣2x）﹣5，
∵x2﹣2x＝2，
∴原式＝3×2﹣5＝1．
【点评】此题考查了整式的混合运算，用到的知识点是完全平方公式，平方差公式，要注意运算的顺序和结果的符号．
17．先化简，再求值：2a（a﹣b）+（﹣2a﹣b）2﹣（a+3b）（a﹣b），其中a＝﹣1，b＝2．
【分析】原式利用单项式乘以多项式，完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝2a2﹣2ab+4a2+4ab+b2﹣a2﹣2ab+3b2
＝5a2+4b2，
当a＝﹣1，b＝2时，原式＝5+16＝21．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．计算：1﹣（+）÷．
【分析】根据分式的混合运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝1﹣•
＝1﹣
＝﹣
＝．
【点评】本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则、分式的通分、约分法则是解题的关键．
19．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝+1．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（﹣1）÷
＝
＝
＝
＝，
当x＝+1时，原式＝＝﹣．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20．先化简，再求值：（﹣x）÷，请在0≤x≤2的范围内选一个合适的整数代入求值．
【分析】先去括号、化除法为乘法进行化简，然后根据分式有意义的条件取x的值，代入求值即可．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝﹣2﹣x．
∵x≠1，x≠2，
∴在0≤x≤2的范围内的整数选x＝0．
当x＝0时，原式＝﹣2﹣0＝﹣2．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，关于化简求值，近年来出现了一种开放型问题，题目中给定几个数字，要考虑分母有意义的条件，不要盲目代入．
21．先化简，再求值：÷（﹣）．其中a＝﹣1，b＝+1．
【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：÷（﹣）
＝
＝
＝ab，
当a＝﹣1，b＝+1时，原式＝（﹣1）×（+1）＝1．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
22．观察以下等式：
第1个等式：×（1+）＝2﹣，
第2个等式：×（1+）＝2﹣，
第3个等式：×（1+）＝2﹣，
第4个等式：×（1+）＝2﹣．
第5个等式：×（1+）＝2﹣．
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：　×（1+）＝2﹣　；
（2）写出你猜想的第n个等式：　×（1+）＝2﹣　（用含n的等式表示），并证明．
【分析】（1）根据题目中前5个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式；
（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．
【解答】解：（1）第6个等式：×（1+）＝2﹣；
（2）猜想的第n个等式：×（1+）＝2﹣．
证明：∵左边＝×＝＝2﹣＝右边，
∴等式成立．
故答案为：×（1+）＝2﹣；×（1+）＝2﹣．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性．
23．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离．
（1）发现问题：代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？
（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数﹣1、2、x，AB＝3．

∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，
∴当点P在线段AB上时，PA+PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞3．
∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3．
（3）解决问题：
①|x﹣4|+|x+2|的最小值是　6　；
②利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x﹣1|＞4；

③当a为何值时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2．
【分析】观察阅读材料中的（1）和（2），总结出求最值方法；
（3）①原式变形﹣2和4距离x最小值为4﹣（﹣2）＝6；
②根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可；
③根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可．
【解答】解：（3）解决问题：
①|x﹣4|+|x+2|＝|x﹣4|+|x﹣（﹣2）|，表示P到A与到B的距离之和，
点P在线段AB上，PA+PB＝6，
当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞6，
∴|x﹣4|+|x+2|的最小值是6；
故答案为：6；
②如图所示，满足|x+3|+|x﹣1|＝|x﹣（﹣3）|+|x﹣1|＞4，表示到﹣3和1距离之和大于4的范围，
当点在﹣3和1之间时，距离之和为4，不满足题意；
当点在﹣3的左边或1的右边时，距离之和大于4，
则x范围为x＜﹣3或x＞1；

③当a为﹣1或﹣5时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，数轴，绝对值，以及数学常识，弄清题中的方法是解本题的关键．
24．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上，OA＝3，OC＝5，动点P在x轴的上方，且满足S△PAO＝S矩形OABC．

（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
（2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值；
（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．
【分析】（1）由矩形的性质可得出点B的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，进而可得出反比例函数解析式，由S△PAO＝S矩形OABC可求出点P的纵坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；
（2）作点O关于直线y＝3的对称点O′，连接AO′交直线y＝3于点P，利用两点之间线段最短可得出此时PO+PA取得最小值，由点O的坐标可求出点O′的坐标，再利用勾股定理即可求出PO+PA的最小值；
（3）由线段AB的长及点P的纵坐标可得出AB只能为边，分点Q在点P的上方及点Q在点P的下方两种情况考虑：①当点Q在点P的上方时，由AP＝AB＝5可求出m的值，进而可得出点P1，P2的坐标，结合PQ＝AB＝5可得出点Q1，Q2的坐标；②当点Q在点P的下方时，由BP＝AB＝5可求出m的值，进而可得出点P3，P4的坐标，结合PQ＝AB＝5可得出点Q3，Q4的坐标．综上，此题得解．
【解答】解：（1）由题意，可知：点B的坐标为（3，5）．
∵点B在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上，
∴k＝3×5＝15，
∴反比例函数的解析式为y＝．
∵S△PAO＝S矩形OABC，
∴×3×yP＝×3×5，
∴yP＝3．
当y＝3时，＝3，解得：x＝5，
∴当点P在这个反比例函数的图象上时，点P的坐标为（5，3）．
（2）由（1）可知：点P在直线y＝3上，作点O关于直线y＝3的对称点O′，连接AO′交直线y＝3于点P，此时PO+PA取得最小值，如图1所示．
∵点O的坐标为（0，0），
∴点O′的坐标为（0，6）．
∵点A的坐标为（3，0），
∴AO′＝＝3，
∴PO+PA的最小值为3．
（3）∵AB∥y轴，AB＝5，点P的纵坐标为3，
∴AB不能为对角线，只能为边．
设点P的坐标为（m，3），
分两种情况考虑，如图2所示：
①当点Q在点P的上方时，AP＝AB＝5，即（m﹣3）2+（3﹣0）2＝25，
解得：m1＝﹣1，m2＝7，
∴点P1的坐标为（﹣1，3），点P2的坐标为（7，3）．
又∵PQ＝5，且PQ∥AB∥y轴，
∴点Q1的坐标为（﹣1，8），点Q2的坐标为（7，8）；
②当点Q在点P的下方时，BP＝AB＝5，即（m﹣3）2+（3﹣5）2＝25，
解得：m3＝3﹣，m4＝3+，
同理，可得出：点Q3的坐标为（3﹣，﹣2），点Q4的坐标为（3+，﹣2）．
综上所述：当以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形时，点Q的坐标为（﹣1，8），（7，8），（3﹣，﹣2）或（3+，﹣2）．


【点评】本题考查了矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、勾股定理、两点间的距离、菱形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用三角形的面积与矩形面积间的关系，求出点P的纵坐标；（2）利用两点之间线段最短，找出点P的位置；（3）分点Q在点P的上方及点Q在点P的下方两种情况，求出点Q的坐标．
25．（1）解方程组；
（2）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
【分析】（1）根据加减消元法解方程即可求解；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集，并把解集在数轴上表示出来即可．
【解答】解：（1），
②×3﹣①×2得5x＝15，
解得：x＝3，
把x＝3代入②得3×3﹣2y＝7，
解得：y＝1．
故原方程组的解为；
（2），
解不等式①得：x＜0，
解不等式②得：x≥﹣2，
故不等式组的解集为﹣2≤x＜0，
在数轴上表示为：

【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集、解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解（1）的关键，能根据不等式的解找出不等式组的解集是解（2）的关键．
26．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为cm？
（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？
（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，△PBQ的面积为1cm2？

【分析】（1）设经过x秒，点P，Q之间的距离为cm，根据勾股定理列式求解即可；
（2）设经过y秒，使△PBQ的面积等于8cm2，由三角形的面积公式列式并求解即可；
（3）分三种情况列方程求解即可：①点P在线段AB上，点Q在射线CB上；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上；点P在射线AB上，点Q在射线CB上．
【解答】解：（1）设经过x秒，点P，Q之间的距离为cm，
则AP＝x（cm），QB＝2x（cm），
∵AB＝6cm，BC＝8cm
∴PB＝（6﹣x）（cm），
∵在△ABC中，∠B＝90°
∴由勾股定理得：（6﹣x）2+（2x）2＝6
化简得：5x2﹣12x+30＝0
∵△＝（﹣12）2﹣4×5×30＝144﹣600＜0
∴点P，Q之间的距离不可能为cm．
（2）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，由题意得：
（6﹣x）•2x＝8
解得：x1＝2，x2＝4
检验发现x1，x2均符合题意
∴经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2．
（3）①点P在线段AB上，点Q在线段CB上
设经过m秒，0＜m≤4，依题意有
（6﹣m）（8﹣2m）＝1
∴m2﹣10m+23＝0
解得；m1＝5+（舍），m2＝5﹣
∴m＝5﹣符合题意；
②点P在线段AB上，点Q在射线CB上
设经过n秒，4＜n≤6，依题意有
（6﹣n）（2n﹣8）＝1
∴n2﹣10n+25＝0
解得n1＝n2＝5
∴n＝5符合题意；
③点P在射线AB上，点Q在射线CB上
设经过k秒，k＞6，依题意有
（k﹣6）（2k﹣8）＝1
解得k1＝5+，k2＝5﹣（舍）
∴k＝5+符合题意；
∴经过（5﹣）秒，5秒，（5+）秒后，△PBQ的面积为1cm2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，数形结合、分类讨论以及找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
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日期：2021/11/14 23:16:23；用户：张家港二中；邮箱：zjg2z@xyh.com；学号：41479226

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