【中考真题】2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（12）（含答案解析）

这是一份【中考真题】2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（12）（含答案解析），共29页。试卷主要包含了2021的相反数是，下列运算中，正确的是，点A等内容，欢迎下载使用。
2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（12）
一．选择题（共10小题）
1．2021的相反数是（　　）
A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣
2．石墨烯是目前世界上最薄却又最坚硬同时还是导电性能最好的纳米材料，其理论厚度大约仅0.00000034毫米．将0.00000034用科学记数法表示为（　　）
A．3.4×10﹣7 B．3.4×10﹣8 C．34×10﹣8 D．0.34×10﹣6
3．下面是“北”“比”“鼎”“射”四个字的甲骨文，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列运算中，正确的是（　　）
A．a5+a5＝a10 B．3a3•2a2＝6a6
C．a6÷a2＝a3 D．（﹣3ab）2＝9a2b2
5．如图，直线AB∥CD，∠B＝40°，∠C＝50°，则∠E的度数是（　　）

A．70° B．80° C．90° D．100°
6．一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（　　）

A． B． C． D．1
7．下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A．x2﹣2x＝0 B．x2+2x+1＝0 C．2x2﹣4x+3＝0 D．3x2﹣5x+2＝0
8．点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，且x1＜x2＜0，则y1，y2的大小关系是（　　）
A．y2＞y1＞0 B．y1＞y2＞0 C．0＞y2＞y1 D．0＞y1＞y2
9．观察图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2020个图形中共有（　　）个〇．

A．6058 B．6059 C．6060 D．6061
10．如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，2），B（4，2），C（4，4），若反比例函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则实数k的取值范围是（　　）

A．2≤k≤16 B．2≤k≤8 C．1≤k≤4 D．8≤k≤16
二．填空题（共10小题）
11．因式分解：ab2﹣2ab+a＝　 　．
12．若与最简二次根式是同类二次根式，则实数a的值是　 　．
13．如图所示，△ABC中，点D、F是AB边的三等分点，点E、G是AC边的三等分点，则SⅠ：SⅡ：SⅢ＝　 　．

14．一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为　 　．
15．若（a﹣2）2+|b+1|＝0，则a+b3＝　 　．
16．如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°．已知测角仪的架高CE＝1.5米，则这棵树的高度为　 　米．（结果保留一位小数，参考数据：sin54°≈0.8090，cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764）

17．如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是　 　．

18．如图，点A、B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最小值为　 　．

19．如图，△ABC中，AC＝6，BC＝4，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为　 　．

20．如图，在▱ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是　 　（结果保留π）．

三．解答题（共9小题）
21．计算：（﹣1）0+（﹣）﹣1+|﹣1|﹣4cos45°．
22．先化简，再求值：1﹣÷，其中a＝3．
23．已知：如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF．连接EF，与对角线AC交于点O．
求证：OE＝OF．

24．某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A组（60≤x＜70）；B组（70≤x＜80）；C组（80≤x＜90）；D组（90≤x≤100），并绘制出如图不完整的统计图．
（1）求被抽取的学生成绩在C组的有多少人？并把条形统计图补完整；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在　 　组内；
（3）若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在A组的学生有多少人？

25．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求m，n的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x为整数），求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tan∠D＝，求的值．
（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．

27．如图1，平面直角坐标系xOy中，A（4，3），反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交矩形ABOC的两边AC，AB于E、F两点（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D两点重合．
（1）AE＝　 　（用含有k的代数式表示）；
（2）如图2，当点D恰好落在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长度；
（3）若折叠后，△ABD是等腰三角形，求此时点D的坐标．

28．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣2，0），D（10，﹣12），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A，D重合）．
（1）求抛物线和直线l的解析式．
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；
（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N，C，M，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由．


2021年广东省潮州市饶平县英才实验中学中考数学模拟试卷（12）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．2021的相反数是（　　）
A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣
【分析】利用相反数的定义分析得出答案，只有符号不同的两个数互为相反数．
【解答】解：2021的相反数是：﹣2021．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2．石墨烯是目前世界上最薄却又最坚硬同时还是导电性能最好的纳米材料，其理论厚度大约仅0.00000034毫米．将0.00000034用科学记数法表示为（　　）
A．3.4×10﹣7 B．3.4×10﹣8 C．34×10﹣8 D．0.34×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000034＝3.4×10﹣7．
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．下面是“北”“比”“鼎”“射”四个字的甲骨文，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．下列运算中，正确的是（　　）
A．a5+a5＝a10 B．3a3•2a2＝6a6
C．a6÷a2＝a3 D．（﹣3ab）2＝9a2b2
【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方的计算方法逐项计算即可．
【解答】解：A．a5+a5＝2a5，因此选项A不符合题意；
B.3a3•2a2＝6a5，因此选项B不符合题意；
C．a6÷a2＝a4，因此选项C不符合题意；
D．（﹣3ab）2＝9a2b2，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方的计算法则是正确判断的前提．
5．如图，直线AB∥CD，∠B＝40°，∠C＝50°，则∠E的度数是（　　）

A．70° B．80° C．90° D．100°
【分析】根据平行线的性质求出∠1，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠B＝40°，
∴∠E＝180°﹣∠1＝∠C＝90°，
故选：C．

【点评】本题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
6．一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（　　）

A． B． C． D．1
【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：观察这个图可知：黑砖（4块）的面积占总面积（9块）的．
故选：B．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
7．下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A．x2﹣2x＝0 B．x2+2x+1＝0 C．2x2﹣4x+3＝0 D．3x2﹣5x+2＝0
【分析】由根的判别式△的符号判定．
【解答】解：A、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，有两个不相等的实数根，故A不符合题意；
B、Δ＝22﹣4×1×1＝0，有两个相等的实数根，故B不符合题意；
C、Δ＝（﹣4）2﹣4×2×3＝﹣8＜0，没有实数根，故C符合题意；
D、Δ＝（﹣5）2﹣4×3×2＝1＞0，有两个不相等的实数根，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程实数根的情况，关键是判断判别式△的符号．
8．点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，且x1＜x2＜0，则y1，y2的大小关系是（　　）
A．y2＞y1＞0 B．y1＞y2＞0 C．0＞y2＞y1 D．0＞y1＞y2
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝中k＝﹣3＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．
∵x1＜x2＜0，
∴A、B都在第二象限，
∴y2＞y1＞0．
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数性质，当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
9．观察图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2020个图形中共有（　　）个〇．

A．6058 B．6059 C．6060 D．6061
【分析】观察图形的变化可得第n个图形中共有〇的个数，进而可得第2020个图形中共有〇的个数．
【解答】解：观察图形的变化可知：
第1个图形中共有3×1+1＝4个〇；
第2个图形中共有3×2+1＝7个〇；
第3个图形中共有3×3+1＝10个〇；
…
所以第n个图形中共有（3n+1）个〇；
所以第2020个图形中共有〇的个数为：3×2020+1＝6061．
故选：D．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并发现图形变化的规律．
10．如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，2），B（4，2），C（4，4），若反比例函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则实数k的取值范围是（　　）

A．2≤k≤16 B．2≤k≤8 C．1≤k≤4 D．8≤k≤16
【分析】根据直角三角形顶点的位置，当反比例函数y＝经过点A时k最小，经过点C时k最大，据此可得出结论．
【解答】解：∵当反比例函数y＝经过点A时k最小，经过点C时k最大，
∴k最小＝1×2＝2，k最大＝4×4＝16，
∴2≤k≤16．
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数图象上点的坐标特点是解答此题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．因式分解：ab2﹣2ab+a＝　a（b﹣1）2　．
【分析】原式提取a，再运用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（b2﹣2b+1）＝a（b﹣1）2；
故答案为：a（b﹣1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．若与最简二次根式是同类二次根式，则实数a的值是　　．
【分析】根据同类二次根式的定义，可得3＝2a+2，解出a的值，
【解答】解：＝2
由题意得，3＝2a+2，
解得：a＝，
故答案为．
【点评】本题考查了同类二次根式的知识，解答本题的关键是掌握同类二次根式的定义．
13．如图所示，△ABC中，点D、F是AB边的三等分点，点E、G是AC边的三等分点，则SⅠ：SⅡ：SⅢ＝　1：3：5　．

【分析】由题意可知：DE∥FG∥BC，推出△ADE∽△AFG∽△ABC，设△ADE的面积为m．即可求出SⅠ，SⅡ，SⅢ即可．
【解答】解：∵点D、F是AB边的三等分点，点E、G是AC边的三等分点，
∴DE∥FG∥BC，
∴△ADE∽△AFG∽△ABC，设△ADE的面积为m．
∴＝＝，
∴S△AFG＝4m，
∵＝＝，
∴S△ABC＝9m，
∴SⅠ＝m，SⅡ＝S△AFG﹣SⅠ＝4m﹣m＝3m，SⅢ＝S△ABC﹣S△AFG＝9m﹣4m＝5m，
∴SⅠ：SⅡ：SⅢ＝1：3：5，
故答案为：1：3：5．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
14．一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为　7　．
【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则有
（n﹣2）×180°＝900°，
解得：n＝7，
∴这个多边形的边数为7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题．
15．若（a﹣2）2+|b+1|＝0，则a+b3＝　1　．
【分析】根据非负数的性质可求出a、b的值，再将它们代入a+b3中求解即可．
【解答】解：∵（a﹣2）2+|b+1|＝0，
∴a﹣2＝0，a＝2；
b+1＝0，b＝﹣1；
则a+b3＝2+（﹣1）3＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．
16．如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°．已知测角仪的架高CE＝1.5米，则这棵树的高度为　15.3　米．（结果保留一位小数，参考数据：sin54°≈0.8090，cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764）

【分析】在Rt△ACD中，求出AD，再利用矩形的性质得到BD＝CE＝1.5，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D．则四边形CEBD是矩形，BD＝CE＝1.5m，
在Rt△ACD中，CD＝EB＝10m，∠ACD＝54°，
∵tan∠ACE＝，
∴AD＝CD•tan∠ACD≈10×1.38＝13.8m．
∴AB＝AD+BD＝13.8+1.5＝15.3m．
答：树的高度AB约为15.3m．
故答案为：15.3．

【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是通过添加辅助线，构造直角三角形解决问题．
17．如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是　4π﹣4　．

【分析】利用对称性可知：阴影部分的面积＝扇形AEF的面积﹣△ABD的面积．
【解答】解：利用对称性可知：阴影部分的面积＝扇形AEF的面积﹣△ABD的面积＝×4×2＝4π﹣4，
故答案为：4π﹣4
【点评】本题考查扇形的面积公式、正方形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
18．如图，点A、B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最小值为　﹣　．

【分析】先证点C在半径为1的⊙B上，可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，根据三角形的中位线定理可得结论．
【解答】解：∵A（2，0），B（0，2），
∴OA＝OB＝2，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半径为1，
取OD＝OA＝2，连接CD，

∵M为线段AC的中点，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD，
当OM最小时，即CD最小，而D，B，C三点共线时，
当C在线段DB上时，OM最小，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝OB＝2，
∴CD＝2﹣1，
∴OM＝CD＝﹣，
即OM的最小值为﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最小值时点C的位置是关键．
19．如图，△ABC中，AC＝6，BC＝4，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为　10　．

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
则△BCE的周长＝BC+EC+EB＝BC+EC+EA＝BC+AC＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
20．如图，在▱ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是　3﹣π　（结果保留π）．

【分析】过D点作DF⊥AB于点F．可求▱ABCD和△BCE的高，观察图形可知阴影部分的面积＝▱ABCD的面积﹣扇形ADE的面积﹣△BCE的面积，计算即可求解．
【解答】解：过D点作DF⊥AB于点F．
∵AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，
∴DF＝AD•sin30°＝1，EB＝AB﹣AE＝2，
∴阴影部分的面积：
4×1﹣﹣2×1÷2
＝4﹣π﹣1
＝3﹣π．
故答案为：3﹣π．

【点评】考查了平行四边形的性质，扇形面积的计算，本题的关键是理解阴影部分的面积＝▱ABCD的面积﹣扇形ADE的面积﹣△BCE的面积．
三．解答题（共9小题）
21．计算：（﹣1）0+（﹣）﹣1+|﹣1|﹣4cos45°．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣2+﹣1﹣4×
＝1﹣2+﹣1﹣2
＝﹣2﹣．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
22．先化简，再求值：1﹣÷，其中a＝3．
【分析】先按分式的混合运算顺序化简分式，再代入求值．
【解答】解：原式＝1﹣×（a﹣1）
＝1﹣
＝．
当a＝3时，
原式＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．
23．已知：如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF．连接EF，与对角线AC交于点O．
求证：OE＝OF．

【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，证出AE＝CF，∠E＝∠F，∠OAE＝∠OCF，由ASA证明△AOE≌△COF，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵BE＝DF，
∴AB+BE＝CD+DF，即AE＝CF，
∵AB∥CD，
∴AE∥CF，
∴∠E＝∠F，∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
24．某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A组（60≤x＜70）；B组（70≤x＜80）；C组（80≤x＜90）；D组（90≤x≤100），并绘制出如图不完整的统计图．
（1）求被抽取的学生成绩在C组的有多少人？并把条形统计图补完整；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在　C　组内；
（3）若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在A组的学生有多少人？

【分析】（1）根据：总人数＝部门人数÷该部门人数占总人数的百分比，总人数＝各个部门人数的和，求出抽样人数和C组人数；
（2）根据中位数的定义，确定成绩在30、31名所在组数，可得结论；
（3）根据：部门人数＝总人数×部门人数所占百分比，计算得结论．
【解答】解：（1）由图知：B组有12人，占抽样人数的20%，A组有6人，D组有18人，
∴本次抽取的学生有：12÷20%＝60（人），
C组学生有：60﹣6﹣12﹣18＝24（人），
（2）∵共抽样60人，由于成绩在A组的6人，在B组的12人，C组24人，
所以成绩位于第30、31的两位同学在C组．
即：所抽取学生成绩的中位数落在C这一组内；
故答案为：C．
（3）1500×＝150（人），
答：这次竞赛成绩在A组的学生有150人．

【点评】本题考查了中位数、条形统计图和扇形统计图等知识点，题目难度不大，看懂图表是解决本题的关键．
25．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求m，n的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x为整数），求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．
【分析】（1）根据“该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜（100﹣x）千克，根据总价＝单价×数量结合投入资金不少于1160元又不多于1168元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出各购买方案；
（3）设超市获得的利润为y元，根据总利润＝每千克的利润×销售数量可得出y关于x的函数关系式，利用一次函数的性质可得出获得利润最多的方案，由总利润＝每千克的利润×销售数量结合捐款后的利润率不低于20%，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）依题意，得：，
解得：．
答：m的值为10，n的值为14．
（2）设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜（100﹣x）千克，
依题意，得：，
解得：58≤x≤60．
∵x为正整数，
∴x＝58，59，60，
∴有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克．
（3）设超市获得的利润为y元，则y＝（16﹣10）x+（18﹣14）（100﹣x）＝2x+400．
∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝60时，y取得最大值，最大值为2×60+400＝520．
依题意，得：（16﹣10﹣2a）×60+（18﹣14﹣a）×40≥（10×60+14×40）×20%，
解得：a≤1.8．
答：a的最大值为1.8．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用一次函数的性质，找出利润最大的购物方案．
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tan∠D＝，求的值．
（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．

【分析】（1）由于题目没有说明直线AB与⊙O有交点，所以过点O作OF⊥AB于点F，然后证明OC＝OF即可；
（2）连接CE，先求证∠ACE＝∠ODC，然后可知△ACE∽△ADC，所以＝，而tan∠D＝于是得到结论；
（3）由（2）可知，AC2＝AE•AD，所以可求出AE和AC的长度，由（1）可知，△OFB∽△ABC，所以＝，然后利用勾股定理即可求得AB的长度．
【解答】解：（1）如图，过点O作OF⊥AB于点F，
∵AO平分∠CAB，
OC⊥AC，OF⊥AB，
∴OC＝OF，
∴AB是⊙O的切线；

（2）如图，连接CE，
∵ED是⊙O的直径，
∴∠ECD＝90°，
∴∠ECO+∠OCD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠ECO＝90°，
∴∠ACE＝∠OCD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠ACE＝∠ODC，
∵∠CAE＝∠CAE，
∴△ACE∽△ADC，
∴＝，
∴∠ACE+∠ECO＝90°，
∵tan∠D＝，
∴＝，
∴＝；
（3）由（2）可知：＝，
∴设AE＝x，AC＝2x，
∵△ACE∽△ADC，
∴＝，
∴AC2＝AE•AD，
∴（2x）2＝x（x+6），
解得：x＝2或x＝0（不合题意，舍去），
∴AE＝2，AC＝4，
由（1）可知：AC＝AF＝4，
∠OFB＝∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△OFB∽△ACB，
∴＝，
设BF＝a，
∴BC＝，
∴BO＝BC﹣OC＝﹣3，
在Rt△BOF中，
BO2＝OF2+BF2，
∴（﹣3）2＝32+a2，
解得：a＝或a＝0（不合题意，舍去），
∴AB＝AF+BF＝．
【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是证明△ACE∽△ADC．本题涉及勾股定理，解方程，圆的切线判定知识，内容比较综合，需要学生构造辅助线才能解决问题，对学生综合能力要求较高．
27．如图1，平面直角坐标系xOy中，A（4，3），反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交矩形ABOC的两边AC，AB于E、F两点（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D两点重合．
（1）AE＝　4﹣　（用含有k的代数式表示）；
（2）如图2，当点D恰好落在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长度；
（3）若折叠后，△ABD是等腰三角形，求此时点D的坐标．

【分析】（1）根据点A的坐标可得点E的纵坐标为3，所以得CE＝，从而得AE的长；
（2）如图2中，连接AD交EF于M，想办法证明△AEF∽△ACB，推出EF∥BC，再利用平行线的性质和等腰三角形的判定证明AE＝EC＝2即可；
（3）分三种情况讨论：①AD＝BD，②AD＝AB，③AB＝BD，分别计算DN和BN的长确定点D的坐标即可解答．
【解答】解：（1）∵四边形ABOC是矩形，且A（4，3），
∴AC＝4，OC＝3，
∵点E在反比例函数y＝上，
∴E（，3），
∴CE＝，
∴AE＝4﹣；
故答案为：4﹣；
（2）如图2，∵A（4，3），
∴AC＝4，AB＝3，
∴，
∴点F在y＝上，
∴F（4，），
∴＝，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△AEF∽△ACB，
∴∠AEF＝∠ACB，
∴EF∥BC，
∴∠FED＝∠CDE，
连接AD交EF于M点，

∴△AEF≌△DEF，
∴∠AEM＝∠DEM，AE＝DE，
∴∠FED＝∠CDE＝∠AEF＝∠ACB，
∴CE＝DE＝AE＝AC＝2；
（3）过D点作DN⊥AB，
①当BD＝AD时，如图3，有∠AND＝90°，AN＝BN＝AB＝，

∴∠DAN+∠ADN＝90°，
∵∠DAN+∠AFM＝90°，
∴∠ADN＝∠AFM，
∴tan∠ADN＝tan∠AFM＝，
∴，
∵AN＝，
∴DN＝，
∴D（4﹣，），即D（，）；
②当AB＝AD＝3时，如图4，

在Rt△ADN中，tan∠ADN＝tan∠AFM＝，
∴，
∴AN＝AD＝＝，
∴BN＝3﹣AN＝3﹣＝，
∵DN＝AN＝＝，
∴D（4﹣，），即D（，）；
③当AB＝BD时，△AEF≌△DEF，
∴DF＝AF，
∴DF+BF＝AF+BF，即DF+BF＝AB，
∴DF+BF＝BD，
此时D、F、B三点共线且F点与B点重合，不符合题意舍去，
∴AB≠BD，
综上所述，所求D点坐标为（，）或（，）．
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，翻折的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
28．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣2，0），D（10，﹣12），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A，D重合）．
（1）求抛物线和直线l的解析式．
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；
（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N，C，M，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）设点P的坐标为（x，﹣x2+7x+18），点E的坐标为（x2﹣7x﹣20，﹣x2+7x+18），则PE+PF＝（x﹣x2+7x+20）+（﹣x2+7x+18+x+2），即可求解；
（3）分NC是边、NC是对角线两种情况，利用平行四边形的性质和中点公式，分别求解即可．
【解答】解：（1）将点A、D的坐标代入一次函数表达式得：
，
解得，
故直线l的表达式为y＝﹣x﹣2；
将点A、D的坐标代入二次函数表达式得：
，
解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+7x+18；
（2）设点P的坐标为（x，﹣x2+7x+18），则点F（x，﹣x﹣2），

∵点E在y＝﹣x﹣2上，则点E的坐标为（x2﹣7x﹣20，﹣x2+7x+18），
则PE+PF＝（x﹣x2+7x+20）+（﹣x2+7x+18+x+2）＝﹣2（x﹣4）2+72，
∵﹣2＜0，故PE+PF有最大值，
当x＝4时，PE+PF的最大值为72；
（3）存在，理由：
由点N、C的坐标得，NC＝20，
①当NC是边时，
设点P的坐标为（x，﹣x2+7x+18），则点M（x，﹣x﹣2），
由题意得：|yP﹣yM|＝20，即|﹣x2+7x+18+x+2|＝20，
解得x＝0（舍去）或8或4±2，
故点M的坐标为（8，﹣10）或（4+2，﹣6﹣2）或（4﹣2，﹣6+2）；
②当NC是对角线时，则NC的中点坐标为（0，8），
设点P的坐标为（m，﹣m2+7m+18），则点M（n，﹣n﹣2），
由中点公式得：，
解得（舍去）或，
故点M点的坐标为（8，﹣8）；
综上，点M的坐标为（8，﹣10）或（4+2，﹣6﹣2）或（4﹣2，﹣6+2）或（8，﹣8）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
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日期：2021/11/14 23:18:37；用户：张家港二中；邮箱：zjg2z@xyh.com；学号：41479226

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