【中考真题】2021年山东省济南市商河县清华园学校中考数学模拟试卷（26）（含答案解析）

这是一份【中考真题】2021年山东省济南市商河县清华园学校中考数学模拟试卷（26）（含答案解析），共30页。试卷主要包含了﹣7的相反数为，2020年新冠肺炎席卷全球，计算的结果是，函数y＝kx+k与y＝等内容，欢迎下载使用。
2021年山东省济南市商河县清华园学校中考数学模拟试卷（26）
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．﹣7的相反数为（　　）
A．﹣7 B． C．7 D．﹣0.7
2．2020年新冠肺炎席卷全球．据经济日报3月8日报道，为支持发展中国家应对新冠肺炎疫情，中国向世卫组织捐款2000万美元．其中的2000万用科学记数法表示为（　　）
A．20×106 B．2×107 C．2×108 D．0.2×108
3．以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，直线AB∥CD，∠B＝40°，∠C＝50°，则∠E的度数是（　　）

A．70° B．80° C．90° D．100°
5．若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（　　）

A．a﹣c＞b﹣c B．a+c＜b+c C．ac＞bc D．＜
6．下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（　　）
A．赵爽弦图 B．马螺线
C．笛卡尔心形线 D．斐波那契螺旋线
7．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
8．疫情无情人有情，爱心捐款传真情，新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间，某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如表：
金额/元
5
10
20
50
100
人数
6
17
14
8
5
则他们捐款金额的平均数和中位数分别是（　　）
A．27.6，10 B．27.6，20 C．37，10 D．37，20
9．函数y＝kx+k与y＝（k≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．18﹣3π B．18﹣π C．32﹣16π D．18﹣9π
11．如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（　　）

A．15千米 B．10千米 C．10千米 D．5千米
12．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝，与x轴的一个交点A（﹣，0），抛物线的顶点B纵坐标1＜yB＜2，则以下结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a﹣b＝0；④4a+c＜0；⑤﹣，其中正确结论的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．分解因式：a﹣6ab+9ab2＝　 　．
14．如图，一个可以自由转动的圆形转盘被等分成6个相同的扇形区域，并涂上了相应的颜色，随机转动转盘，转盘停止时，指针恰好落在黄色区域的概率是　 　．

15．已知一个n边形的内角和等于1980°，则n＝　 　．
16．当x＝　 　时，代数式2x﹣与代数式x﹣3的值相等．
17．某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中l1，l2分别表示去年、今年水费y（元）与用水量x（m3）之间的关系．小雨家去年用水量为160m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多　 　元．

18．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处PE、DE分别交AB于点O、F，且OP＝OF，则BF的长为　 　．

三．解答题（共9小题，满分78分）
19．计算：﹣（﹣2020）0﹣4cos45°．
20．解下面一元一次不等式组，并写出它的所有非负整数解．
．
21．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC上的点，且BF＝DE．求证：AF＝CE．

22．某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲乙两队合作完成该工程需要多少天？
23．如图，已知AB是⊙O的直径，DC与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点D．
（1）求证：∠BAC＝∠BCD；
（2）若BD＝4，DC＝6，求⊙O的半径．

24．某校开设了“3D”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制例图1、图2两幅均不完整的统计图表．
最受欢迎的校本课程调查问卷
您好！这是一份关于您最喜欢的校本课程问卷调查表，请在表格中选择一个（只能选一个）您最喜欢的课程选项，在其后空格内打“√”，非常感谢您的合作．
选项
校本课程

A
3D打印

B
数学史

C
诗歌欣赏

D
陶艺制作



校本课程
频数
频率
A
36
0.45
B

0.25
C
16
b
D
8

合计
a
1
请您根据图表中提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中的a＝　 　，b＝　 　；
（2）“D”对应扇形的圆心角为　 　度；
（3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数；
（4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．

25．直线y＝kx+b与反比例函数（x＞0）的图象分别交于点A（m，4）和点B（8，n），与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）观察图象，当x＞0时，直接写出的解集；
（3）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．

26．如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是　 　，位置关系是　 　．
（2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝BC＝13，DE＝10，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出AD的长．

27．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．
（1）求二次函数表达式；
（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；
（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．


2021年山东省济南市商河县清华园学校中考数学模拟试卷（26）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．﹣7的相反数为（　　）
A．﹣7 B． C．7 D．﹣0.7
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：﹣7的相反数为7，
故选：C．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．2020年新冠肺炎席卷全球．据经济日报3月8日报道，为支持发展中国家应对新冠肺炎疫情，中国向世卫组织捐款2000万美元．其中的2000万用科学记数法表示为（　　）
A．20×106 B．2×107 C．2×108 D．0.2×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：2000万＝20000000＝2×107．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据几何体的正面看得到的图形，可得答案．
【解答】解：A、主视图是圆，俯视图是圆，故A不符合题意；
B、主视图是矩形，俯视图是矩形，故B不符合题意；
C、主视图是三角形，俯视图是三角形，故C不符合题意；
D、主视图是个矩形，俯视图是圆，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟记简单几何的三视图是解题关键．
4．如图，直线AB∥CD，∠B＝40°，∠C＝50°，则∠E的度数是（　　）

A．70° B．80° C．90° D．100°
【分析】根据平行线的性质求出∠1，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠B＝40°，
∴∠E＝180°﹣∠1＝∠C＝90°，
故选：C．

【点评】本题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
5．若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（　　）

A．a﹣c＞b﹣c B．a+c＜b+c C．ac＞bc D．＜
【分析】根据数轴判断出a、b的大小以及c是正数，再根据不等式的性质对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：由图可知，a＜b＜0，c＞0，
A、应为a﹣c＜b﹣c，故本选项错误；
B、a+c＜b+c正确，故本选项正确；
C、应为ac＜bc，故本选项错误；
D、＞0，＜0，应为＞，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，实数与数轴熟记性质并准确识图，正确确定出a、b、c的关系是解题的关键．
6．下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（　　）
A．赵爽弦图 B．马螺线
C．笛卡尔心形线 D．斐波那契螺旋线
【分析】根据轴对称图形定义进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
7．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
故选：A．
【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
8．疫情无情人有情，爱心捐款传真情，新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间，某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如表：
金额/元
5
10
20
50
100
人数
6
17
14
8
5
则他们捐款金额的平均数和中位数分别是（　　）
A．27.6，10 B．27.6，20 C．37，10 D．37，20
【分析】根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再根据中位数的定义直接求出这组数据的中位数即可．
【解答】解：这组数的平均数是：（5×6+10×17+20×14+50×8+100×5）＝27.6（元），
把这些数从小到大排列，最中间两个数的平均数是＝20元，
则中位数是20元；
故选：B．
【点评】本题考查了平均数和中位数．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．
9．函数y＝kx+k与y＝（k≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分两种情况讨论，当k＞0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k＜0时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案．
【解答】解：①当k＞0时，y＝kx+k过一、二、三象限；y＝（k≠0）过一、三象限；
②当k＜0时，y＝kx+k过二、三、四象象限；y＝（k≠0）过二、四象限．
观察图形可知，只有B选项符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数中k的符号对函数图象的影响是解题的关键．
10．如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．18﹣3π B．18﹣π C．32﹣16π D．18﹣9π
【分析】由菱形的性质得出AD＝AB＝8，∠ADC＝120°，由三角函数求出菱形的高DF，图中阴影部分的面积＝菱形ABCD的面积﹣扇形DEG的面积，根据面积公式计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴AD＝AB＝8，∠ADC＝180°﹣60°＝120°，
∵DF是菱形的高，
∴DF⊥AB，
∴DF＝AD•sin60°＝8×＝4，
∴图中阴影部分的面积＝菱形ABCD的面积﹣扇形DEG的面积＝8×4﹣＝32﹣16π．
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．
11．如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（　　）

A．15千米 B．10千米 C．10千米 D．5千米
【分析】根据直角三角形的三角函数得出AE，BE，进而得出CE，利用勾股定理得出AC即可．
【解答】解：如图，

∵BC⊥AE，
∴∠AEB＝90°，
∵∠EAB＝30°，AB＝10千米，
∴BE＝5米，AE＝5千米，
∴CE＝BC﹣BE＝20﹣5＝15（千米），
∴AC＝（千米），
故选：C．
【点评】此题考查解直角三角形的应用，关键是根据直角三角形的三角函数得出AE，BE解答．
12．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝，与x轴的一个交点A（﹣，0），抛物线的顶点B纵坐标1＜yB＜2，则以下结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a﹣b＝0；④4a+c＜0；⑤﹣，其中正确结论的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据二次函数图象与性质即可求出答案．
【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，
对称轴x＝＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故②正确；
③由对称轴可知：x＝＝，
∴b+3a＝0，故③错误；
④由图可知：x＝﹣1，y＜0，
∴a﹣b+c＝a+3a+c＝4a+c＜0，故④正确；
⑤由题意可知：x＝，1＜y＜2，
即1＜+b+c＜2，
∵抛物线与x轴的一个交点A（﹣，0），
∴a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣3a，
∴c＝，
∴1＜﹣﹣＜2，
∴＜a＜，故⑤错误；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．分解因式：a﹣6ab+9ab2＝　a（1﹣3b）2　．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：a﹣6ab+9ab2，
＝a（1﹣6b+9b2），
＝a（1﹣3b）2．
故答案为：a（1﹣3b）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．如图，一个可以自由转动的圆形转盘被等分成6个相同的扇形区域，并涂上了相应的颜色，随机转动转盘，转盘停止时，指针恰好落在黄色区域的概率是　　．

【分析】首先确定在图中黄色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向黄色区域的概率．
【解答】解：∵圆被等分成6份，其中黄色部分占2份，
∴指针指向黄色区域的概率是＝；
故答案为：．
【点评】此题考查了几何概率，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
15．已知一个n边形的内角和等于1980°，则n＝　13　．
【分析】根据n边形的内角和为（n﹣2）•180°得到（n﹣2）•180°＝1980°，然后解方程即可求解．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
则（n﹣2）•180°＝1980°，
解得n＝13．
故答案为：13．
【点评】本题考查了多边行的内角和定理：n边形的内角和为（n﹣2）•180°．
16．当x＝　﹣　时，代数式2x﹣与代数式x﹣3的值相等．
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题意得：2x﹣＝x﹣3，
去分母得：4x﹣1＝x﹣6，
移项合并得：3x＝﹣5，
解得：x＝﹣，
故答案为：﹣
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
17．某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中l1，l2分别表示去年、今年水费y（元）与用水量x（m3）之间的关系．小雨家去年用水量为160m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多　240　元．

【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出今年用水量与去年相同，水费将比去年多多少元．
【解答】解：由图象可得，
去年用水量160m3时，需缴纳水费480元，今年用水量160m3时，需缴纳水费720元，
∴今年用水量与去年相同，水费将比去年多720﹣480＝240（元），
故答案为：240．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处PE、DE分别交AB于点O、F，且OP＝OF，则BF的长为　　．

【分析】根据折叠的性质可得出DC＝DE、CP＝EP，证明△OEF≌△OBP，得出OE＝OB，EF＝BP，设BF＝EP＝CP＝x，则AF＝3﹣x，BP＝﹣x＝EF，DF＝DE﹣EF＝2+x，在Rt△ADF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝，CD＝AB＝3，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
根据折叠可知：△DCP≌△DEP，
∴DC＝DE＝3，CP＝EP．∠E＝∠C＝90°，
在△OEF和△OBP中，，
∴△OEF≌△OBP（AAS），
∴OE＝OB，EF＝BP，
∴BF＝EP＝CP，
设BF＝EP＝CP＝x，则AF＝3﹣x，BP＝﹣x＝EF，DF＝DE﹣EF＝3﹣（﹣x）＝2+x，
∵∠A＝90°，
∴Rt△ADF中，AF2+AD2＝DF2，
即（3﹣x）2+（）2＝（2+x）2，
解得：x＝，
∴BF＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、折叠变换的性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
三．解答题（共9小题，满分78分）
19．计算：﹣（﹣2020）0﹣4cos45°．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式性质，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：原式＝2+4﹣1﹣4×
＝2+4﹣1﹣2
＝3．
【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．解下面一元一次不等式组，并写出它的所有非负整数解．
．
【分析】求出不等式组的解集，根据不等式组的解集求出即可．
【解答】解：，
解不等式①得x＞﹣1；
解不等式②得x≤2；
∴原不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
∴原不等式组的所有非负整数解为0，1，2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式的整数解，关键是求出不等式组的解集．
21．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC上的点，且BF＝DE．求证：AF＝CE．

【分析】根据“平行四边形ABCD的对边平行且相等的性质”证得四边形AECF为平行四边形，然后由“平行四边形的对边相等”的性质证得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC；
又∵BF＝DE，
∴AE∥CF，AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形），
∴AF＝CE（平行四边形的对边相等）．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
22．某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲乙两队合作完成该工程需要多少天？
【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x天完工，根据甲队完成的工作量+乙队完成的工作量＝总工作量（单位1），即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）由（1）可求出甲、乙单独施工所需天数，再利用两队合作完工所需时间＝总工作量÷（甲队一天完成的工作量+乙队一天完成的工作量），即可求出结论．
【解答】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x天完工，
依题意，得：+＝1，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意．
答：这项工程的规定时间是30天．
（2）由（1）可知：甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工，
1÷（+）＝18（天）．
答：甲乙两队合作完成该工程需要18天．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23．如图，已知AB是⊙O的直径，DC与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点D．
（1）求证：∠BAC＝∠BCD；
（2）若BD＝4，DC＝6，求⊙O的半径．

【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角以及圆的切线垂直于经过切点的半径，可得∠OCD＝∠OCB+BCD＝90°，∠ACB＝∠OCB+ACO＝90°，于是∠ACO＝∠BCD，又OA＝OC，所以∠ACO＝∠BAC，因此∠BAC＝∠BCD；
（2）易证∴△CDB∽△ADC，由BD＝4，DC＝6通过相似比求出DA的长，然后求出AB，从而求出⊙O的半径．
【解答】解：（1）如图，连接OC．
证明：∵DC与⊙O相切，
∠OCD＝∠OCB+∠BCD＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠OCB+∠ACO＝90°，
∴∠ACO＝∠BCD
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠BCD；
（2）由（1）可得，∠BAC＝∠BCD；
∵∠CDB＝∠ADC，
∴△CDB∽△ADC，
∴，即，
∴DA＝9
∴AB＝DA﹣BD＝9﹣4＝5，
∴⊙O的半径为．

【点评】本题考查了切线的性质，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．
24．某校开设了“3D”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制例图1、图2两幅均不完整的统计图表．
最受欢迎的校本课程调查问卷
您好！这是一份关于您最喜欢的校本课程问卷调查表，请在表格中选择一个（只能选一个）您最喜欢的课程选项，在其后空格内打“√”，非常感谢您的合作．
选项
校本课程

A
3D打印

B
数学史

C
诗歌欣赏

D
陶艺制作



校本课程
频数
频率
A
36
0.45
B

0.25
C
16
b
D
8

合计
a
1
请您根据图表中提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中的a＝　80　，b＝　0.20　；
（2）“D”对应扇形的圆心角为　36　度；
（3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数；
（4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．

【分析】（1）根据A的频数和频率求出a的值，再用C的频数除以总数即可求出b；
（2）用360°乘以“D”所占的百分比即可；
（3）根据题意列出算式，再求出即可；
（4）先列出表格得出所有等可能的结果数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）a＝36÷0.45＝80，
b＝16÷80＝0.20，
故答案为：80，0.20；

（2）“D”对应扇形的圆心角的度数为：
360°×＝36°，
故答案为：36；

（3）估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数为：2000×0.25＝500（人）；

（4）列表格如下：

A
B
C
A
A，A
B，A
C，A
B
A，B
B，B
C，B
C
A，C
B，C
C，C
共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有3种，所以两人恰好选中同一门校本课程的概率为：＝．
【点评】本题考查了列表法或树形图、用样本估计总体、频数分布表、扇形统计图等知识点，能根据题意列出算式是解此题的关键．
25．直线y＝kx+b与反比例函数（x＞0）的图象分别交于点A（m，4）和点B（8，n），与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）观察图象，当x＞0时，直接写出的解集；
（3）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．

【分析】（1）将点A，B坐标代入双曲线中即可求出m，n，最后将点A，B坐标代入直线解析式中即可得出结论；
（2）根据点A，B坐标和图象即可得出结论；
（3）先求出点C，D坐标，进而求出CD，AD，设出点P坐标，最后分两种情况利用相似三角形得出比例式建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点A（m，4）和点B（8，n）在y＝图象上，
∴m＝＝2，n＝＝1，
即A（2，4），B（8，1）
把A（2，4），B（8，1）两点代入y＝kx+b中得
解得：，
所以直线AB的解析式为：y＝﹣x+5；

（2）由图象可得，当x＞0时，kx+b＞的解集为2＜x＜8．

（3）由（1）得直线AB的解析式为y＝﹣x+5，
当x＝0时，y＝5，
∴C（0，5），
∴OC＝5，
当y＝0时，x＝10，
∴D点坐标为（10，0）
∴OD＝10，
∴CD＝＝5
∵A（2，4），
∴AD＝＝4
设P点坐标为（a，0），由题可以，点P在点D左侧，则PD＝10﹣a
由∠CDO＝∠ADP可得
①当△COD∽△APD时，，
∴，解得a＝2，
故点P坐标为（2，0）
②当△COD∽△PAD时，，
∴，解得a＝0，
即点P的坐标为（0，0）
因此，点P的坐标为（2，0）或（0，0）时，△COD与△ADP相似．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，用方程的思想和分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
26．如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是　AE＝BD　，位置关系是　AE⊥BD　．
（2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝BC＝13，DE＝10，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出AD的长．

【分析】（1）如图1中，延长AE交BD于H．只要证明△ACE≌△BCD即可；
（2）结论不变．如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O．只要证明△ACE≌△BCD即可；
（3）分两种情形分别求解即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，延长AE交BD于H．

∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠EAC+∠AEC＝90°，∠AEC＝∠BEH，
∴∠BEH+∠EBH＝90°，
∴∠EHB＝90°，即AE⊥BD，
故答案为AE＝BD，AE⊥BD．

（2）结论：AE＝BD，AE⊥BD．
理由：如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O．

∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠EAC+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，
∴∠BOH+∠OBH＝90°，
∴∠OHB＝90°，即AE⊥BD．

（3）①当射线AD在直线AC的上方时，作CH⊥AD用H．

∵CE＝CD，∠ECD＝90°，CH⊥DE，
∴EH＝DH，CH＝DE＝5，
在Rt△ACH中，∵AC＝13，CH＝5，
∴AH＝＝12，
∴AD＝AH+DH＝12+5＝17．

②当射线AD在直线AC的下方时时，作CH⊥AD用H．

同法可得：AH＝12，故AD＝AH﹣DH＝12﹣5＝7，
综上所述，满足条件的AD的值为17或7．
【点评】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的射线思考问题，属于中考压轴题．
27．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．
（1）求二次函数表达式；
（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；
（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）用A、B、C三点坐标代入，用待定系数法求二次函数表达式．
（2）设点P横坐标为t，用t代入二次函数表达式得其纵坐标．把t当常数求直线BP解析式，进而求直线BP与x轴交点C坐标（用t表示），即能用t表示AC的长．把△PBA以x轴为界分成△ABC与△ACP，即得到S△PBA＝AC（OB+PD）＝4，用含t的式子代入即得到关于t的方程，解之即求得点P坐标．
（3）作点O关于直线AB的对称点E，根据轴对称性质即有AB垂直平分OE，连接BE交抛物线于点M，即有BE＝OB，根据等腰三角形三线合一得∠ABO＝∠ABM，即在抛物线上（AB下方）存在点M使∠ABO＝∠ABM．设AB与OE交于点G，则G为OE中点且OG⊥AB，利用△OAB面积即求得OG进而得OE的长．易求得∠OAB＝∠BOG，求∠OAB的正弦和余弦值，应用到Rt△OEF即求得OF、EF的长，即得到点E坐标．求直线BE解析式，把BE解析式与抛物线解析式联立，求得x的解一个为点B横坐标，另一个即为点M横坐标，即求出点M到y轴的距离．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点A（3，0）、B（0，﹣2）、C（2，﹣2）
∴ 解得：
∴二次函数表达式为y＝x2﹣x﹣2

（2）如图1，记直线BP交x轴于点N，过点P作PD⊥x轴于点D
设P（t，t2﹣t﹣2）（t＞3）
∴OD＝t，PD＝t2﹣t﹣2
设直线BP解析式为y＝kx﹣2
把点P代入得：kt﹣2＝t2﹣t﹣2
∴k＝t﹣
∴直线BP：y＝（t﹣）x﹣2
当y＝0时，（t﹣）x﹣2＝0，解得：x＝
∴N（，0）
∵t＞3
∴t﹣2＞1
∴，即点N一定在点A左侧
∴AN＝3﹣
∵S△PBA＝S△ABN+S△ANP＝AN•OB+AN•PD＝AN（OB+PD）＝4
∴＝4
解得：t1＝4，t2＝﹣1（舍去）
∴t2﹣t﹣2＝
∴点P的坐标为（4，）

（3）在抛物线上（AB下方）存在点M，使∠ABO＝∠ABM．
如图2，作点O关于直线AB的对称点E，连接OE交AB于点G，连接BE交抛物线于点M，过点E作EF⊥y轴于点F
∴AB垂直平分OE
∴BE＝OB，OG＝GE
∴∠ABO＝∠ABM
∵A（3，0）、B（0，﹣2），∠AOB＝90°
∴OA＝3，OB＝2，AB＝
∴sin∠OAB＝，cos∠OAB＝
∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OG
∴OG＝
∴OE＝2OG＝
∵∠OAB+∠AOG＝∠AOG+∠BOG＝90°
∴∠OAB＝∠BOG
∴Rt△OEF中，sin∠BOG＝，cos∠BOG＝
∴EF＝OE＝，OF＝OE＝
∴E（，﹣）
设直线BE解析式为y＝ex﹣2
把点E代入得：e﹣2＝﹣，解得：e＝﹣
∴直线BE：y＝﹣x﹣2
当﹣x﹣2＝x2﹣x﹣2，解得：x1＝0（舍去），x2＝
∴点M横坐标为，即点M到y轴的距离为．
补充方法：第（2）小问过点P作x的垂线与直线BA交于点C，用三角形PCB的面积减去三角形PCA的面积等于4直接求出点P的横坐标．
第（3）用一线三等角相似直接求出点E的坐标了（过点A作直线FE的垂线段，记垂足为H，连接AE，三角形AHE和三角形EFB相似）．


【点评】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，一元二次方程的解法，轴对称的性质，等腰三角形性质，三角函数的应用．第（3）题点的存在性问题，可先通过画图确定满足∠ABO＝∠ABM的点M位置，通过相似三角形对应边成比例或三角函数为等量关系求线段的长．
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日期：2021/11/14 23:19:07；用户：张家港二中；邮箱：zjg2z@xyh.com；学号：41479226

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