初中数学1.2.4 绝对值学案

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学员编号： 年 级： 课 时 数：
学员姓名： 辅导科目： 学科教师：
授课类型
T
C
T
授课日期及时段
教学内容
绝对值
【要点梳理】
要点一、绝对值
1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.
要点诠释：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：

（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
要点二、有理数的大小比较
1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．
2.法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号
同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号
正数大于负数
－数为0
正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
要点诠释：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．
3. 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
4. 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.
【典型例题】
类型一、绝对值的概念
1．求下列各数的绝对值．
，-0.3，0，
【思路点拨】，-0.3，0，在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解．
【答案与解析】
解法一：因为到原点距离是个单位长度，所以．
因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3|＝0.3．
因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|＝0．
因为到原点的距离是个单位长度，所以．
解法二：因为，所以．
因为-0.3＜0，所以|-0.3|＝-(-0.3)＝0.3．
因为0的绝对值是它本身，所以|0|＝0．
因为，所以．
【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1)，一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2)，后种方法的具体做法：首先判断这个数是正数、负数还是0．再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0．从而求出该数的绝对值．
2．下列说法正确的是（ ）
A. 一个数的绝对值一定比0大
B. 一个数的相反数一定比它本身小
C. 绝对值等于它本身的数一定是正数
D. 最小的正整数是1
【答案】D．
【解析】A、一个数的绝对值一定比0大，有可能等于0，故此选项错误；
B、一个数的相反数一定比它本身小，负数的相反数，比它本身大，故此选项错误；
C、绝对值等于它本身的数一定是正数，0的绝对值也等于其本身，故此选项错误；
D、最小的正整数是1，正确．
【总结升华】此题主要考查了绝对值以及有理数和相反数的定义，正确掌握它们的区别是解题关键．
举一反三：
【变式1】求绝对值不大于3的所有整数．
【答案】绝对值不大于3的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3．
【变式2】已知一个数的绝对值是4，则这个数是 ．
【答案】±4.
【变式3】数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为 ．
【答案】6或-6
1．计算：（1） （2）|-4|+|3|+|0| （3）-|+(-8)|
【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.
解：(1) ，
(2)|-4|+|3|+|0|＝4+3+0＝7，
(3)-|+(-8)|＝-[-(-8)]＝-8．
【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解，一种是利用绝对值的代数意义求解，后种方法的具体做法：首先判断这个数是正数、负数还是0．再根据绝对值的代数意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0．从而求出该数的绝对值．
2．若|a﹣1|=a﹣1，则a的取值范围是（ ）
A. a≥1 B. a≤1 C. a＜1 D. a＞1
【思路点拨】根据|a|=a时，a≥0，因此|a﹣1|=a﹣1，则a﹣1≥0，即可求得a的取值范围．
【答案】A
【解析】
解：因为|a﹣1|=a﹣1，则a﹣1≥0，
解得：a≥1，
【总结升华】此题考查绝对值，只要熟知绝对值的性质即可解答．一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
举一反三：
【变式1】若a＞3，则|6﹣2a|= （用含a的代数式表示）．
【答案】2a-6
【变式2】如果数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为 ．
如果｜x－2｜＝1，那么x＝ ；
如果｜x｜＞3，那么x的范围是 ．
【答案】6或-6；1或3；或
【变式3】已知| a |＝3，| b |＝4，若a，b同号，则| a +b |＝_________；若a，b异号，则| a+b |＝________．据此讨论| a+b |与| a | + | b |的大小关系．
【答案】7，1；若a，b同号或至少有一个为零，则|a+b|=|a|+|b|；若a，b异号，则|a+b|＜|a|+|b|，
由此可得：|a+b|≤|a|+|b| .
类型二、比较大小
3．比较下列有理数大小：(1)-1和0； (2)-2和|-3| ；(3)和 ；（4）______
【答案】(1)0大于负数，即-1＜0；
(2)先化简|-3|＝3，负数小于正数，所以-2＜3，即-2＜|-3|；
(3)先化简，，，即．
(4)先化简，，这是两个负数比较大小：因为，，而，
所以，即＜
【解析】(2)、(3)、（4）先化简，再运用有理数大小比较法则．
【点评】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断．
举一反三：
【变式1】比大小：
______ ； -|-3.2|______-(+3.2)； 0.0001______－1000；
______－1.384； －π______－3.14．
【答案】＞；=；＞；＞；＜
【变式2】下列各数中，比－1小的数是（ ）
A．0B．1C．－2D．2
【答案】C
【变式3】数a在数轴上对应点的位置如图所示，则a，-a，-1的大小关系是( )．
A．-a＜a＜-1 B．-1＜-a＜a
C．a＜-1＜-a D．a＜-a＜-1
【答案】C
3． 比较下列每组数的大小：
(1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与0；(3)与；(4)与．
【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与0、负数与0、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比较．
【答案与解析】
解： (1)化简得：-(-5)＝5，-|-5|＝-5．
因为正数大于一切负数，所以-(-5)＞-|-5|．
(2)化简得：-(+3)＝-3．因为负数小于零，所以-(+3)＜0．
(3)化简得：．这是两个负数比较大小，因为，，且．所以．
(4)化简得：-|-3.14|＝-3.14，这是两个负数比较大小，因为 |-π|＝π，|-3.14|＝3.14，而π＞3.14，所以-π＜-|-3.14|．
【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断．
举一反三：
【变式1】比大小：
（2） ．
【答案】＞；＞
【变式2】比大小：（1）______－1.384；（2） －π___－3.14．
【答案】＞；＜
【变式3】若m＞0，n＜0，且|m|＞|n|，用“＞”把m，-m，n，-n连接起来．
【答案】解法一：∵ m＞0，n＜0，
∴ m为正数，-m为负数，n为负数，-n为正数．
又∵ 正数大于一切负数，且|m|＞|n|，
∴ m＞-n＞n＞-m．
解法二：因为m＞0，n＜0且|m|＞|n|，
把m，n，-m，-n表示在数轴上，如图所示．
∵ 数轴上的数右边的数总比左边的数大，
∴ m＞-n＞n＞-m．
类型三、含有字母的绝对值的化简
4. 把下列各式去掉绝对值的符号．
(1)|a-4|(a≥4)；(2)|5-b|(b＞5)．
【答案与解析】
(1)∵ a≥4，∴a-4≥0，∴ |a-4|＝a-4．
(2)∵ b＞5，∴ 5-b＜0，∴ |5-b|＝-(5-b)＝b-5．
【总结升华】由字母的取值范围来判断绝对值里面的符号情况，再根据绝对值的意义去掉绝对值的符号.
举一反三：
【变式1】已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示：


化简：.
【答案】
解：由图所示，可得．
∴ ，，，
∵
．
∴ 原式．
【变式2】求的最小值．
【答案】
解法一：当时，则
当时，则
当时，则
综上：当时，取得最小值为：5.
解法二：借助数轴分类讨论： ①； ②； ③.
的几何意义为对应的点到-2对应点的距离与对应点到3对应点的距离和．

由图明显看出时取最小值．
所以，时，取最小值5.
类型四、绝对值非负性的应用
4. 已知|2-m|+|n-3|＝0，试求m-2n的值．
【思路点拨】由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知，｜2-m｜≥0，｜n-3｜≥0，而它们的和为0．所以｜2-m｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m＝0，n-3＝0，所以m＝2，n＝3．
【答案与解析】因为|2-m|+|n-3|＝0
且|2-m|≥0，|n-3|≥0
所以|2-m|＝0，|n-3|＝0
即2-m＝0，n-3＝0
所以m＝2，n＝3
故m-2n＝2-2×3＝-4．
【总结升华】若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0，即|a|+|b|+…+|m|＝0时，则a＝b＝…＝m＝0．
类型四、绝对值的实际应用
5．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．
【答案】 因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．
【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好．这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大．
【点评】绝对值越小，越接近标准.
举一反三：
【变式1】某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L的误差．现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表：
+0.0018
-0.0023
+0.0025
-0.0015
+0.0012
+0.0010
请用绝对值知识说明：
(1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)?
(2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？
【答案】(1)绝对值不超过0.002的有4瓶，分别是检查结果为+0.0018，-0.0015，+0.0012，+0.0010的这四瓶．
(2)第6瓶净含量与规定的净含量相差最少，最接近规定的净含量．
【变式2】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?
【答案】小虫爬行的总路程为：
|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm) ．
小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒) ．
5. 已知a、b为有理数，且满足：，则a=_______，b=________．
【答案与解析】由，，，可得 ∴
【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0．
举一反三：
【变式1】已知，则x的取值范围是________．
【答案】；提示：将看成整体，即，则，故，．
【变式2】已知b为正整数，且a、b满足，求的值．
【答案】解：由题意得 ∴ 所以，
【巩固练习一】
一、选择题
1．-3的绝对值是（ ）．
A． 3 B．-3 C． D．
2．下列判断中，正确的是( )．
A. 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；
B. 如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等；
C.任何数的绝对值都是正数；
D.如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数.
3．下列各式错误的是( )．
A． B． C． D．
4．2010年12月某日我国部分城市的平均气温情况如下表(记温度零上为正，单位℃)
城市
温州
上海
北京
哈尔滨
广州
平均气温
6
0
-9
-15
15
则其中当天平均气温最低的城市是( )．
A．广州 B．哈尔滨 C．北京 D．上海
5．下列各式中正确的是( )．
A． B． C．-3.7＜-5.2 D．0＞-2
6．若两个有理数a、b在数轴上表示的点如图所示，则下列各式中正确的是( )．
A．a＞b B．|a|＞|b| C．-a＜-b D．-a＜|b|
7．若|a| + a＝0，则a是( )．
A. 正数 B. 负数 C.正数或0 D.负数或0
二、填空题
8．|﹣6.18|= ．
9. 若m，n互为相反数，则| m |________| n |；| m |=| n |，则m，n的关系是________．
10．已知| x |＝2，| y |＝5，且x＞y，则x＝________，y＝________．
11．满足3.5≤| x | ＜6的x的整数值是___________．
12. 式子|2x-1|+2取最小值时，x等于 .
13．数a在数轴上的位置如图所示．
则|a-2|＝__________．
14. 若，则 0；若，则 0；
若，则 0；若，则 ；
若，则的取值范围是 ．
15.在数轴上，与-1表示的点距离为2的点对应的数是 ．
三、解答题
16．比较3a-2与2a+1的大小．
17．如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a、b、c．
则：a﹣b 0，a+c 0，b﹣c 0．（用＜或＞或=号填空）
你能把|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|化简吗？能的话，求出最后结果．
18．某工厂生产某种圆形零件，从中抽出5件进行检验，比规定直径长的毫米数记作正数，比规定直径短的毫米数记作负数，检查结果记录如下：
零件
1
2
3
4
5
误差
-0.2
-0.3
+0.2
-0.1
+0.3
根据你所学的知识说明什么样的零件的质量好，什么样的零件的质量差，这5件中质量最好的是哪一件?
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】A
2.【答案】B
【解析】A错误，因为两个数的绝对值相等，这两个数可能互为相反数；B正确；C错误，因为0的绝对值是0，而0不是正数；D错误，因为一个数的绝对值是它本身的数除了正数还有0.
3．【答案】C
【解析】因为一个数的绝对值是非负数，不可能是负数.所以C是错误的．
4. 【答案】B
【解析】因为-15＜-9＜0＜6＜15，所以当天平均气温最低的城市是哈尔滨．
5. 【答案】D
【解析】0大于负数．
6．【答案】B
【解析】离原点越远的数的绝对值越大．
7. 【答案】D
【解析】若a为正数，则不满足|a| + a＝0；若a为负数，则满足|a| + a＝0；若a为0，也满足|a| + a＝0. 所以a≤0，即a为负数或0.
二、填空题
8. 【答案】
9. 【答案】=;m=±n
【解析】若m，n互为相反数，则它们到原点的距离相等，即绝对值相等；但反过来， m，n绝对值相等，则它们相等或互为相反数.
10. 【答案】 ±2，-5
【解析】| x |＝2，则x=±2； | y |＝5， y=±5.但由于x＞y，所以x=±2，y=-5
11. 【答案】±4, ±5
【解析】画出数轴，从数轴上可以看出：在原点右侧，有4,5满足到原点的距离大于等于3.5，且小于6；在原点左侧有-4，-5满足到原点的距离大于等于3.5，且小于6.
12. 【答案】
【解析】绝对值最小的数是0，所以当2x-1=0，即x=时，|2x-1|取到最小值0，同时|2x-1|+2也取到最小值.
13. 【答案】a-2
【解析】由图可知：a≥2，所以|a-2|=a-2.
14. 【答案】≥；≤；＜；任意有理数；a≤1
15. 【答案】-3,1
三、解答题
16. 【解析】
解：(3a-2)-(2a+1)=3a-2-2a-1=a-3
当a>3时，3a-2>2a+1；
当a=3时，3a-2=2a+1；
当a<3时，3a-2<2a+1.
17.【解析】
解：由数轴得，
a﹣b＜0，a+c＜0，b﹣c＜0，
∴|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|=﹣（a﹣b）﹣[﹣（a+c）]+[﹣（b﹣c）]
=﹣a+b+a+c﹣b+c
=2c．
18．【解析】
解：零件的直径与规定直径的偏差可以用绝对值表示，绝对值小表示偏差小，绝对值大表示偏差大．哪个零件的直径偏差越小，哪个零件的质量越好，哪个零件的直径偏差越大，哪个零件的质量越差，所以这5件中质量最好的是第4件．
【巩固练习二】
一、选择题
1． －6的绝对值是（ ）．
A．-6B．6C．D．
2． 如图(一)，数O是原点，
A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c.根据图中各点的位置，
下列各数的绝对值的比较何者正确？
A．|b|＜|c| B．|b|＞|c| C．|a|＜|b| D．|a|＞|c|
3．满足|x|＝-x的数有( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
4.（2015•黄石模拟）若|x﹣5|=5﹣x，下列不等式成立的是（ ）
A. x﹣5＞0 B. x﹣5＜0 C. x﹣5≥0 D. x﹣5≤0
5．a、b为有理数，且a＞0、b＜0，|b|＞a，则a、b、-a、-b的大小顺序是( )．
A．b＜-a＜a＜-b B．-a＜b＜a＜-b C．-b＜a＜-a＜b D．-a＜a＜-b＜b
6．下列推理：①若a＝b，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若a≠b，则|a|≠|b|；④若|a|≠|b|，则a≠b．其中正确的个数为( )．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．设a是最小的正整数，b是最大的负整数的相反数，c是绝对值最小的有理数，则a、b、c的大小关系是( )．
A．a＜b＜c B．a＝b＞c C．a＝b＝c D．a＞b＞c
二、填空题
8．写出一个比－1小的数是______．
9. 已知|x|=|﹣3|，则x的值为 ．
10. 绝对值不大于11的整数有 个.
11. 已知a、b都是有理数，且|a|=a，|b|=－b、，则ab是 .
12. 式子|2x-1|+2取最小值时，x等于 .
13．数a在数轴上的位置如图所示，则|a-2|＝__________．
14.若，则 0；若，则 .
三、解答题
15．将，，按从小到大的顺序排列起来．
16．正式的足球比赛对所用足球的质量都有严格的规定，标准质量为400克．下面是5个足球的质量检测结果（超过规定质量的克数记为正数，不足规定质量的克数记为负数）：
-25，+10，-20，+30，+15．
(1)写出每个足球的质量；
(2)请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值的知识进行说明．
17.定义：数轴上表示数a和数b的两点A和B之间的距离是|a﹣b|．完成下列问题：
（1）数轴上表示x和﹣4的两点A和B之间的距离是 ；如果|AB|=2，那么x为 ；
（2）利用数轴以及已知中的定义，可得式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是 ．
（3）拓展：当x= 时，式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2011|的值最小，最小值是 ．
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】B
2. 【答案】A
【解析】由图（一）可知，距离原点最远的是点C，其次是点A，最近的是点B，所以他们对应的数的绝对值的大小为：或，所以A正确.
3．【答案】D
【解析】x为负数或零时都能满足|x|＝-x，故有无数个．
4．【答案】D
5．【答案】A
【解析】画数轴，数形结合．
6．【答案】C
【解析】①正确；②错误，如|-2|＝|2|，但是-2≠2；③错误，如-2≠2，但是|-2|＝|2|；④正确．故选C．
7．【答案】B
【解析】a＝1，b＝-(-1)＝1，c＝0，故a＝b＞c．
二、填空题
8. 【答案】－2(答案不唯一)
9. 【答案】±3
10.【答案】23
【解析】要注意考虑负数.绝对值不大于11的数有：-11 、-10……0 、1 ……11共23个.
11.【答案】负数或零（或非正数均对）
【解析】≥0，≤0 .
12.【答案】
【解析】因为|2x-1|≥0，所以当2x-1=0，即x=时，|2x-1|取到最小值0，同时|2x-1|+2也取到最小值2.
13.【答案】-a+2
【解析】由图可知：a≤2，所以|a-2|=-（a-2）=-a+2.
14.【答案】＜；任意数
三、解答题
15.【解析】
解：因为，，，
因为，即，
所以．
16. 【解析】
解：（1）每个足球的质量分别为375克，410克，380克，430克，415克；（2）质量为410克（即质量超过+10克）的足球的质量好一些.理由：将检测结果求绝对值，再比较绝对值大小，绝对值最小的质量最好．
17. 【解析】
解：（1）数轴上表示x和﹣4的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣4）|；
如果|AB|=2，那么|x﹣（﹣4）|=2，
x+4=±2，解得x=﹣2或﹣6；
（2）x=2有最小值，最小值=|2﹣1|+|2﹣2|+|2﹣3|=1+0+1=2；
（3）1～2011共有2011个数，最中间一个为1006，此时|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2011|取得最小值，
最小值|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2011|
=|1006﹣1|+|1006﹣2|+|1006﹣3|+…+|1006﹣2011|
=1005+1004+1003+…+2+1+0+1+2+3+…+1005
=1011030．
故答案为|x﹣（﹣4）|；﹣2或﹣6；2；1006；1011030．