初中数学人教版七年级上册2.2 整式的加减学案及答案

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学员编号： 年 级： 课 时 数：
学员姓名： 辅导科目： 学科教师：
授课类型
T
C
T
授课日期及时段
教学内容
整式的加减（二）—去括号与添括号（基础）
【学习目标】
1．掌握去括号与添括号法则，充分注意变号法则的应用；
2. 会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的化简及求值．
【要点梳理】
要点一、去括号法则
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
要点诠释：
(1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．
（2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．
(3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．
（4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．
要点二、添括号法则
添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；
添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．
要点诠释：
(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．
(2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误：
如：，
要点三、整式的加减运算法则
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
要点诠释：
（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．
（2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来．
(3)整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数．
【典型例题】
类型一、去括号
1．去括号：(1)d-2(3a-2b+3c)；(2)-(-xy-1)+(-x+y)．
【答案与解析】(1)d-2(3a-2b+3c)＝d-(6a-4b+6c)＝d-6a+4b-6c；
(2)-(-xy-1)+(-x+y)＝xy+1-x+y．
【总结升华】去括号时．若括号前有数字因数，应先把它与括号内各项相乘，再去括号．
举一反三
【变式1】去掉下列各式中的括号：
(1). 8m-(3n+5)； (2). n-4(3-2m)；(3). 2(a-2b)-3(2m-n).
【答案】(1). 8m-(3n+5)＝8m-3n-5.
(2). n-4(3-2m)＝n-(12-8m)＝n-12+8m.
(3). 2(a-2b)-3(2m-n)＝2a-4b-(6m-3n)＝2a-4b-6m+3n.
【变式2】化简﹣16（x﹣0.5）的结果是（ ）
A．B．C．16x﹣8D．﹣16x+8
【答案】D
1．化简m﹣n﹣（m+n）的结果是（ ）
A．0B．2mC．﹣2nD．2m﹣2n
【答案】C
【解析】
解：原式=m﹣n﹣m﹣n=﹣2n．故选C．
【总结升华】解决此类题目的关键是熟记去括号法则，及熟练运用合并同类项的法则，其是各地中考的常考点．注意去括号法则为：﹣﹣得+，﹣+得﹣，++得+，+﹣得﹣．
类型二、添括号
2．在各式的括号中填上适当的项，使等式成立．
(1). ；
(2). ．
【答案】（1）. ，，，.
（2）. ，，，.
【解析】(1)
；
(2)
．
【总结升华】在括号里填上适当的项，要特别注意括号前面的符号，考虑是否要变号．
举一反三
【变式】
．
【答案】；；；.
2．按要求把多项式添上括号：
(1)把含a、b的项放到前面带有“+”号的括号里，不含a、b的项放到前面带有“-”号的括号里；
(2)把项的符号为正的放到前面带有“+”号的括号里，项的符号为负的放到前面带有“-”号的括号里．
【答案与解析】
解：(1)；
(2)．
【总结升华】在括号里填上适当的项，要特别注意括号前面的符号，考虑是否要变号．
举一反三：
【变式】添括号：
（1）．
（2）．
【答案】(1)； (2) ．
类型三、整式的加减
3．下面是小芳做的一道多项式的加减运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面．（﹣x2+3xy﹣y2）﹣（﹣x2+4xy﹣y2）=﹣x2+y2，阴影部分即为被墨迹弄污的部分．那么被墨汁遮住的一项应是 ．
【答案】﹣xy．
【解析】
解：根据题意得：﹣x2+3xy﹣y2+x2﹣4xy+y2+x2﹣y2=﹣xy，
【总结升华】整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．
3． ．
【答案与解析】
解：在解答此题时应先根据题意列出代数式，注意把加式、和式看作一个整体，用括号括起来，然后再进行计算，在计算过程中找同类项，可以用不同的记号标出各同类项，减少运算的错误．

答：所求多项式为．
【总结升华】整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．
举一反三：
【变式】化简：
(1)15+3(1-x)-(1-x+x2)+(1-x+x2-x3).
(2)3x2y-[2x2z-(2xyz-x2z+4x2y)].
(3)-3[(a2+1)-(2a2+a)+(a-5)].
(4)ab-{4a2b-[3a2b-(2ab-a2b)+3ab]}.
【答案】
解： (1) 15+3(1-x)-(1-x+x2)+(1-x+x2-x3)
＝15+3(1-x)-(1-x+x2)+(1-x+x2)-x3
＝18-3x-x3.. ……整体合并，巧去括号
(2) 3x2y-[2x2z-(2xyz-x2z+4x2y)]
＝3x2y-2x2z+(2xy-x2z+4x2y) ……由外向里，巧去括号
＝3x2y-2x2z+2xyz-x2z+4x2y
＝7x2y-3x2z+2xyz.
(3)
.
(4)ab-{4a2b-[3a2b-(2ab-a2b)+3ab]}
＝ab-4a2b+3a2b-2ab+a2b+3ab ……一举多得，括号全脱
＝2ab.
类型四、化简求值
4. 先化简，再求各式的值：
【答案与解析】原式=,
当时，原式=.
【总结升华】化简求值题一般采用“一化二代三计算”，此类题的书写格式一般为：当……时，原式=？
举一反三
【变式1】先化简再求值：(-x2+5x+4)+(5x-4+2x2)，其中x＝-2．
【答案】 (-x2+5x+4)+(5x-4+2x2)＝-x2+5x+4+5x-4+2x2＝x2+10x.
当x＝-2，原式=(-2)2+10×(-2)＝-16．
【变式2】先化简，再求值：，其中化为相反数.
【答案】
因为互为相反数，所以
所以
5. 已知，，求整式的值．
【答案与解析】由，很难求出，的值，可以先把整式化简，然后把，分别作为一个整体代入求出整式的值．
原式
．
把，代入得，原式．
【总结升华】求整式的值，一般先化简后求值，但当题目中含未知数的部分可以看成一个整体时，要用整体代入法，即把“整体”当成一个新的字母，求关于这个新的字母的代数式的值，这样会使运算更简便．
举一反三
【变式】已知代数式的值为8，求的值．
【答案】∵ ，∴ ．
当时，原式＝．
6. 如果关于x的多项式的值与x无关．你知道a应该取什么值吗？试试看．
【答案与解析】所谓多项式的值与字母x无关，就是合并同类项，结果不含有“x”的项，所以合并同类项后，让含x的项的系数为0即可．注意这里的a是一个确定的数．
(8x2+6ax+14)-(8x2+6x+5)
＝8x2+6ax+14-8x2-6x-5
＝6ax-6x+9
＝(6a-6)x+9
由于多项式(8x2+6ax+14)-(8x2+6x+5)的值与x无关，可知x的系数6a-6＝0．
解得a＝1．
【总结升华】本例解题的题眼是多项式的值与字母x无关．“无关”意味着合并同类项后，其结果不含“x”的项．
4. 先化简，再求各式的值：
．
【答案与解析】
解：原式
将代入，得：.
【总结升华】化简求值题一般采用“一化二代三计算”，此类题最后结果的书写格式一般为：当……时，原式=？
举一反三：
【变式】（2015春•万州区期末）先化简，再求值：﹣2x2﹣[3y2﹣2（x2﹣y2）+6]，其中x=﹣1，y=﹣．
【答案】
解：原式=﹣2x2﹣y2+x2﹣y2﹣3=﹣x2﹣y2﹣3，
当x=﹣1，y=﹣时，原式=﹣1﹣﹣3=﹣4．
5. 已知3a2-4b2＝5，2a2+3b2＝10．求：(1)-15a2+3b2的值；(2)2a2-14b2的值．
【答案与解析】显然，由条件不能求出a、b的值．此时，应采用技巧求值，先进行拆项变形．
解：(1)-15a2+3b2＝-3(5a2-b2)＝-3[(3a2+2a2)+(-4b2+3b2)]
＝-3[(3a2-4b2)+(2a2+3b2)]＝-3×(5+10)＝-45；
(2)2a2-14b2＝2(a2-7b2)＝2[(3a2-2a2)+(-4b2-3b2)]
＝2×[(3a2-4b2)-(2a2+3b2)]＝2×(5-10)＝-10．
【总结升华】求整式的值，一般先化简后求值，但当题目中含未知数的部分可以看成一个整体时，要用整体代入法，即把“整体”当成一个新的字母，求关于这个新的字母的代数式的值，这样会使运算更简便．
举一反三：
【变式】当时，多项式的值是0，则多项式．
【答案】∵ ， ∴ ，即．
∴．
6. .已知多项式与的差的值与字母无关，求代数式：
的值．
【答案与解析】
解：.
由于多项式与的差的值与字母无关，可知：
，，即有.
又,
将代入可得：.
【总结升华】本例解题的关键是多项式的值与字母x无关．“无关”意味着合并同类项后，其结果不含“x”的项，所以合并同类项后，让含x的项的系数为0即可．
类型五、整式加减运算的应用
7. 有一种石棉瓦(如图所示)，每块宽60厘米，
用于铺盖屋顶时，每相邻两块重叠部分的宽都为10厘米，
那么n(n为正整数)块石棉瓦覆盖的宽度为 ( ) ．
A．60n厘米 B．50n厘米 C．(50n+10)厘米 D．(60n-10)厘米
【答案】C.
【解析】观察上图，可知n块石棉瓦重叠的部分有(n-1)处，则n块石棉瓦覆盖的宽度为：60n-10(n-1)＝（50n+10）厘米．
【总结升华】求解本题时一定要注意每相邻两块重叠部分的宽都为10厘米这一已知条件，一不小心就可能弄错．
举一反三：
【变式】如图所示，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和a2(a＞0)．那么阴影部分的面积为________．
【答案】3a-a2
提示：由图形可知阴影部分面积＝长方形面积，而长方形的长为3+a，宽为3，从而使问题获解．
【巩固练习一】
一、选择题
1.计算：a﹣2（1﹣3a）的结果为（ ）
A．7a﹣2B．﹣2﹣5aC．4a﹣2D．2a﹣2
2.下列各式中，去括号正确的是（ ）
A．x＋2(y－1)＝x＋2y－1 B．x－2(y－1)＝x＋2y＋2
C．x－2(y－1)＝x－2y－2 D．x－2(y－1)＝x－2y＋2
3．计算-(a-b)+(2a+b)的最后结果为( )．
A．a B．a+b C．a+2b D．以上都不对
4. 已知一个多项式与3x2+9x的和等于3x2+4x-1，则这个多项式是( ) ．
A．-5x-1 B．5x+1 C．-13x-1 D．13x+1
5．代数式的值( )．
A．与x，y都无关 B．只与x有关 C．只与y有关 D．与x、y都有关
6．如图所示，阴影部分的面积是( )．

A． B． C．6xy D．3xy
二、填空题
7．添括号：
（1）.．
（2）.．
8. 化简：5（x﹣2y）﹣4（x﹣2y）=________.
9．若则的值是________．
10．m＝-1时，-2m2-[-4m+(-m)2]＝________．
11．已知a＝-(-2)2，b＝-(-3)3，c＝-(-42)，则-[a-(b-c)]的值是________．
12．如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n(n是正整数)个图案中由________个基础图形组成．
三、解答题
13. 化简 (1). 2（3x2﹣2xy）﹣4（2x2﹣xy﹣1）
(2).
(3).
(4).
(5).
(6).
14.化简求值：
（1）. 已知：，求的值.
（2）. ,其中a = 1, b = 3, c = 1.
（3）. 已知的值是6，求代数式 的值．
15. 有一道题目：当a=2,b=-2时，求多项式:3a3b3-2a2b+b-(4a3b3-a2b-b2)+(a3b3+a2b)-2b2+3的值.甲同学做题时把a=2错抄成a=-2，乙同学没抄错题，但他们做出的结果恰好一样。你能说明这是为什么吗？
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】A.
2．【答案】D
【解析】根据去括号法则来判断．．
3. 【答案】 C．
【解析】原式．
4．【答案】A
【解析】 (3x2+4x-1)-(3x2+9x)＝3x2+4x-1-3x2-9x＝-5x-1．
5．【答案】B
【解析】化简后的结果为，故它的值只与有关．
6．【答案】A
【解析】．
二、填空题
7.【答案】(1), . (2)
8.【答案】x﹣2y ．
【解析】原式=5x﹣10y﹣4x+8y=x﹣2y.
9．【答案】2010
【解析】
10．【答案】-7
【解析】，将m＝-1代入上式得-3m2+4m＝-3(-1)2+4(-1)＝-7．
11．【答案】15
【解析】因为a＝-(-2)2＝-4，b＝-(-3)3＝27，c＝-(-42)＝16，所以-[a-(b-c)]＝-a+b-c＝15．
12．【答案】3n+1
【解析】第1个图形由3×1+1＝4个基础图形组成；第2个图形由3×2+1＝7个基础图形组成；第3个图形由3×3+1＝10个基础图形组成，故第n个图形由(3n+1)个基础图形组成．
三、解答题
13. 【解析】(1)原式=6x2﹣4xy﹣8x2+4xy+4=﹣2x2+4；
（2）原式=；
（3）原式==
（4）原式==
（5）原式==
（6）原式==
14．【解析】（1）原式=
=
原式恒为1，与的值无关。
（2）原式=
=
当a=-1,b=-3,c=1时，原式=9．
（3）解：因为，所以，
原式=
15.【解析】原式=3+b-b2，因为结果中不含a，所以与a无关，进而可得他们做出的结果一样．
【巩固练习二】
一、选择题
1．下列各式中去括号正确的是（ ）
A. a2﹣（2a﹣b2+b）=a2﹣2a﹣b2+b
B. ﹣（2x+y）﹣（﹣x2+y2）=﹣2x+y+x2﹣y2
C. 2x2﹣3（x﹣5）=2x2﹣3x+5
D. ﹣a3﹣[﹣4a2+（1﹣3a）]=﹣a3+4a2﹣1+3a
2. 已知一个多项式与3x2+9x的和等于3x2+4x-1，则这个多项式是( ) ．
A．-5x-1 B．5x+1 C．-13x-1 D．13x+1
3．代数式的值( )．
A．与x，y都无关 B．只与x有关 C．只与y有关 D．与x、y都有关
，那么代数式的值为 （ ）．
A. 6 B.8 C. -6 D. -8
5.化简5（2x﹣3）﹣4（3﹣2x）之后，可得下列哪一个结果（ ）．
A. 2x﹣27B. 8x﹣15 C. 12x﹣15D. 18x﹣27
6. 已知有理数在数轴上的位置如图所示，且，则代数式的值为（ ）．
A. B . 0 C. D.
7.若甲、乙两种糖果，原价分别为每千克元和元。根据柜台组调查，将两种糖果按甲种糖果千克和乙种糖果千克的比例混合，取得了较好的销售效果。现在糖果价格有了调整：甲种糖果单价上涨，乙种糖果单价下跌，但按原比例混合的糖果单价恰好不变，那么等于 （ ）．
A. B. C. D.
的任意允许值，的值恒为一个常数，则此值为 （ ）．A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题
9．
．
10. 如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n(n是正整数)个图案中由________个基础图形组成．
11．计算：2（a﹣b）+3b= ．
12. 当时，代数式的值等于-17，那么当时，代数式的值等于
．
13. 有理数a,-b在数轴上的位置如图所示，化简= ．
14. 任意一个三位数，减去它的三个数字之和所得的差一定能被______整除.
三、解答题：
15. 已知：互为相反数，互为倒数，， ，
求： 的值．
16. .已知：ax2+2xy-x与2x2-3bxy+3y的差中不含2次项，求a2-15ab+9b2的值.
17.先化简，再求值：（﹣4x2+2x﹣8y）﹣（﹣x﹣2y），其中x=，y=2012．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D.
【解析】A、a2﹣（2a﹣b2+b）=a2﹣2a+b2﹣b，故本选项错误；
B、﹣（2x+y）﹣（﹣x2+y2）=﹣2x﹣y+x2﹣y2，故本选项错误；
C、2x2﹣3（x﹣5）=2x2﹣3x+15，故本选项错误；
D、﹣a3﹣[﹣4a2+（1﹣3a）]=﹣a3﹣[﹣4a2+1﹣3a]=﹣a3+4a2﹣1+3a，故本选项正确．
2．【答案】A
【解析】(3x2+4x-1)-(3x2+9x)＝3x2+4x-1-3x2-9x＝-5x-1．
3．【答案】B
【解析】合并同类项后的结果为，故它的值只与有关．
4．【答案】C
【解析】，．
5. 【答案】D
【解析】5（2x﹣3）﹣4（3﹣2x）=5（2x﹣3）+4（2x﹣3）=9（2x﹣3）=18x﹣27．
6．【答案】A
【解析】由图可知：，
所以．
7．【答案】D
【解析】由题意可得：，化简可得：．
8．【答案】B
【解析】值恒为一常数，说明原式去绝对值后不含项，进而可得下图：
由此得：P =．
二、填空题
9. 【答案】
10. 【答案】3n+1
【解析】第1个图形由3×1+1＝4个基础图形组成；第2个图形由3×2+1＝7个基础图形组成；第3个图形由3×3+1＝10个基础图形组成，故第n个图形由(3n+1)个基础图形组成．
11. 【答案】2a+b
【解析】原式=2a﹣2b+3b=2a+b.
12．【答案】 22
【解析】由题意可得：，即有.
又因为.
13．【答案】
【解析】，所以原式=.
14．【答案】9
【解析】设任意一个的三位数为a×102+b×10+c.其中a是1～9的正整数，b,c分别是0～9的自然数.
∵(a×102+b×10+c)-(a+b+c)=99a+9b=9(11a+b)=9m. (用m表示整数11a+b) .
∴任意一个三位数，减去它的三个数字之和所得的差一定能被9整除.
三、解答题
15．【解析】
解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，
∴a+b=0, cd=1,
x=3(a-1)-(a-2b)=3(a-1)-(a+2a)=3a-3-3a=-3.
当x=-3且y=2时，
∴在已知条件下，原式 .
16. 【解析】
解： (ax2+2xy-x)-(2x2-3bxy+3y)=ax2+2xy-x-2x2+3bxy-3y=(a-2)x2+(2+3b)xy-x-3y.
∵此差中不含二次项，
解得：
当a=2且3b= -2时，
a2-15ab+9b2=a2-5a(3b)+(3b)2=22-5×2×(-2)+(-2)2=4+20+4=28.
17.【解析】
解：原式=﹣x2+x﹣2y+x+2y=﹣x2+x，
当x=，y=2012时，原式=﹣+ = ．