广东省部分名校2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题含答案

广东省部分名校2021-2022学年高二上学期期中考试

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名.考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册到第二章占70%，高一必修内容占30%。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知，，则

A.   B.

C.   D.

2.设复数z满足，则z的虚部为

A.1   B.   C.   D.

3.直线：的倾斜角为

A.45°   B.60°   C.120°   D.135°

4.函数图象的对称中心可能是

A.   B.   C.   D.

5.某工厂12名工人某天生产同-类型零件，生产的件数分别是10，15，12，16，17，12，15，13，11，14，16，17，则这组数据的第70百分位数是

A.11   B.12   C.15.5   D.16

6.已知平面的一个法向量为，点为内一点，则点到平面的距离为

A.4   B.3   C.2   D.1

7.如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为

A.   B.   C.   D.

8.已知圆M：，圆N：，圆N上存在点P，过P作圆M的两条切线PA，PB，若，则m的取值范围为

A.   B.   C.   D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列函数中，在上的值域是的是

A.   B.   C.   D.

10.已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则下列结论正确的有

A.若，则   B.若，则

C.若，则   D.若，则

11.已知直线与曲线有且仅有1个公共点，则m的取值可能是

A.   B.   C.1   D.

12.正方体的棱长为2，且，过P作垂直于平面的直线l，分别交正方体的表面于M，N两点.下列说法不正确的是

A.平面

B.四边形面积的最大值为

C.若四边形的面积为，则

D.若，则四棱锥的体积为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.已知，且，则的最小值是___________.

14.已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为___________.

15.在平行六面体中，点P是AC与BD的交点，若，且，则___________.

16.已知不经过坐标原点的直线与圆：交于A，B两点，若锐角的面积为，则___________， ___________.（本题第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知直线：.

（1）若直线与直线：平行，求的值；

（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.

18.（12分）

在①，，②当时，取得最大值3，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.

问题：已知函数，且

（1）求的解析式；

（2）若在上的值域为，求的值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

19.（12分）

如图，四棱锥的底面ABCD为矩形，，，AC与BD相交于点.

（1）证明：平面平面ABCD.

（2）若，求平面PAD与平面夹角的余弦值.

20.（12分）

已知圆经过，，三点.

（1）求圆的方程.

（2）设为坐标原点，直线：与圆交于，两点，是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

21.（12分）

已知PA，PB，PC是从点P出发的三条线段，每两条线段的夹角均为60°，，，，点G为的重心，即点G是三条中线的交点，且.

（1）求x，y，z的值；

（2）求点G到直线PA的距离，

22.（12分）

已知A，B是圆C：与y轴的两个交点，且A在B上方.

（1）若直线过点，且与圆C相切，求的方程；

（2）已知斜率为k的直线m过点，且与圆C交于M，N两点，直线AM，BN相交于点T，证明点T在定直线上.

高二数学参考答案

1.D因为，，所以.

2.C，则的虚部为.

3.D因为直线的斜率为-1，所以的倾斜角为135°.

4.A令，，解得，.当时，，则是函数图象的一个对称中心.

5.D这组数据按从小到大的顺序排列为10，11，12，12，13.14，15，15，16，16，17，17.因为12×70%=8.4，所以这组数据的第70百分位数是16..

6.D因为，，所以，，则点P到平面的距离.

7.A以C为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得，，，，则，，.所以异面直线与所成角的余弦值为.

8.D圆：可化为，因为，所以四边形MAPB是正方形，所以，于是点P的轨迹是圆心在原点，半径为的圆.又因为点P在圆N上，所以，解得.

9.AD函数和在上的值域是，则A，D正确；函数在上的值域是，则B错误；函数在上的值域是，则C错误.

10.AD由，得，则，即，故A正确，C错误；由，得，则，即，故B错误，D正确.

11.ABD曲线的图象如图所示，直线过定点.当时，直线与曲线有且仅有1个公共点.

12.ACD因为与不垂直.所以与平面不垂直.A不正确.如图，以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，.因为.所以.因为平面，所以，则，.若平面，则，即，，；若平面.则，即，，.因为，所以四边形的面积当时，四边形的面积最大，且最大值为，点B到直线的距离为，即点B到平面的距离为，故四棱锥的体积，B正确，D不正确.若四边形的面积为.则或，解得或，C不正确.

13.  因为，所以，则，当且仅当时，等号成立.

14.设直线的方程为，则，解得.所以直线的方程为.

15.由题意可得，，则

，故.

16.；或  因为圆C的半径，所以的面积，所以.又为锐角三角形，所以，.因为点O在圆C上，所以或150°，故或.

17.解：（1）因为，所以

解得.

（2）令，得，即直线在轴上的截距为.

令，得，即直线在x轴上的截距为.

因为直线在两坐标轴上的截距相等，所以.

所以，解得或.

则直线的方程是或，即或.

18.解：（1）若选①，

由题意可得

解得，.

故.

若选②，

由题意可得

解得，.

故

若选③.

因为，所以图象的对称轴方程为，则，即.

因为，所以.

故.

（2）因为在上的值域为，所以，即.

因为图象的对称轴方程为，且，所以在上单调递增，

则

整理得，即.

因为，所以，即.

19.（1）证明：因为底面ABCD为矩形，所以O为AC，BD的中点，连接PO.因为，，所以，，

又AC与BD相交于点O，所以平面ABCD.

因为平面PAC，所以平面平面ABCD.

（2）解：取AB的中点E，BC的中点F，连接OE，OF.因为底面ABCD为矩形，所以.设，则，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.

设平面的法向量为，

由令，所以.

设平面的法向量为，

由令，所以.

故，所以平面PAD与平面PAB夹角的余弦值为.

20.解：（1）设圆M的方程为，

则

解得

故圆M的方程为.

（2）假设存在实数，使得.

由（1）可知，圆M的圆心坐标为，半径为，点O在圆M上，因为，所以直线，所以，所以，

此时点M到直线l的距离，符合条件，

.

21.解：（1），

因为点G为的重心，所以，则，即，，.

（2）

，

.

故点G到直线PA的距离.

22.（1）解：点的坐标满足，所以P为圆C上一点.

圆C：的圆心为，则，

所以直线的斜率为-1，

所以直线的方程为，即，

（2）证明：设，，直线m的方程为，

由圆C：，可得，.

联立方程组消去y并化简得，

所以，.

直线AM的方程为，①

直线BN的方程为，②

由①②知.

由，化简得.故点在定直线上.