湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2021-2022学年高二上学期期中联考数学试题含答案

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2021年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二期中联考数 学 试 题 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 角的终边经过点且，则的值为 A． B．     C．       D．2. 如图，在空间四边形各边上分别取点，若直线、相交于点，则A．点必在直线上            B．点必在直线上C．点必在平面内           D．点必在平面内3. 下列命题中，正确的是A.垂直于同一个平面的两个平面平行B. 三个平面两两相交，则交线平行C.一个平面与两个平行平面相交，则交线平行D. 平行于同一条直线的两个平面平行4. 已知则“”是“”的     条件.A. 充分不必要      B．必要不充分      C．充要条件    D．既不充分也不必要5. 设集合，则下列说法一定正确的是A．若，则       B．若，则C．若，则有4个元素     D．若，则6. 著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒（Johannes  Kepler）发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳中心处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运动的过程中，若地球轨道与太阳中心的最远距离与最近距离之比为2，则C的离心率为 A． B．       C．         D．7. 为庆祝中国共产党成立100周年，甲、乙、丙三个小组进行党史知识竞赛，每个小组各派5位同学参赛，若该组所有同学的得分都不低于7分，则称该组为“优秀小组”（满分为10分且得分都是整数），以下为三个小组的成绩数据，据此判断，一定是“优秀小组”的是甲：中位数为8，众数为7乙：中位数为8，平均数为8.4丙：平均数为8，方差小于2A. 甲         B．乙         C．丙         D．无法确定在棱长为2的正方体中，为的中点，点在正方体各棱及表面上运动且满足, 则点轨迹的面积为 A． B．     C．       D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是：任何一元次复系数多项式 在复数集中有个复数根（重根按重数计）.在复数集范围内，若的一个根，则=A．0       B．1       C．2 D．310. 在中，，，，则A．    B．C．外接圆直径是  D．内切圆半径是  正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是A.B．平面平面C．D．向量与向量的夹角是60° 已知椭圆的左右焦点分别为是圆上且不在轴上的一点，的面积为，设的离心率为,,则A.      B.     C.       D. 三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．长轴长为4且一个焦点为的椭圆的标准方程是           .14. 某圆柱的侧面展开图是面积为的正方形，则该圆柱一个底面的面积为      　．在三棱锥中，是正三角形，平面 ，，则三棱锥的外接球的表面积为       .16.若为的重心，，则的最小值为       .  四．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）已知直线（1） 求证：直线过定点，并求出该定点.（2） 若直线与圆相切，求直线的方程.     18.(12分)已知是三个内角的对边，且（1）求.（2）若，求周长的最大值.     19．(12分)已知四棱柱的底面是边长为2 的菱形，且=（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.     20．(12分) 已知，动点满足： （1）求动点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线；（2）设动点的轨迹为，对上任意一点，在轴上是否存在一个与(为坐标原点)不重合的定点，使得为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，说明理由.       21．(12分) 如图，周长为3cm圆形导轨上有三个等分点, 在点出发处放一颗珠子，珠子只  能沿导轨顺时针滚动. 现投掷一枚质地均匀的骰子.每当掷出3的倍数时，珠子滚动2cm后停止，每当掷出不是3的倍数时，珠子滚动1cm后停止.(1)    求珠子恰好滚动一周后回到点的概率.(2)    求珠子恰好滚动两周后回到点（中途不在点停留）的概率.              22．（12分）已知椭圆：的离心率为，椭圆的短轴长等于4．（1）求椭圆的标准方程；（2）设,,过且斜率为的动直线与椭圆交于，两点，直线，分别交：于异于点的点，，设直线的斜率为，直线，的斜率分别为．①求证：为定值；  ②求证：直线过定点.                   2021年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” 高二期中联考数学参考答案123456789101112BBCCDBAAADACDABCACD一．选择题：          三．填空题：                四． 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.解：(1)由得………1分   令得 ………………………………………………………………3分故不管取任何实数，直线恒过定点（1，1） ………………………………………4分（2）    由得平方得： 即 ………………………………6分所以  …………………………………………………………………8分故所求直线的方程为：………………………………………10分（用点斜式方程并讨论斜率同样给分.） 18解：（1）由得  …………2分故，……………………………………………………4分又，故 ………………………………………………………6分（2）由及 ……………8分故当且仅当时等号成立      ………10分故周长，即周长的最大值为……………12分19.解：（1）证明：设与的交点为，连接，因为，，，所以，所以，……………………………………………………………………………2分又因为是的中点，所以…………………………………………………3分在中，在 故在中，故故,故又，所以…………………5分而，故平面 …………………………………6分（2）（法一）连接，由（1）易知：平面，所以为直线与平面所成的角， ………………………………8分在中，，故…………………10分，所以. ………………………………………12分   （法二）由（1）知：两两垂直，分别以为x,y,z轴建立空间直角坐标系，依题意，得，，，，，,  …………………………………………9分  平面的法向量为  ……………………………………………………10分所以即直线与平面所成的角的正弦值为.  … ……………………………12分20解： (1)设由有…………………1分化简可得轨迹的方程为：   ………………………………3分表示圆心为，半径为的圆  ………………………………………………5分（2）设则，设,………………………7分要使为定值，则 ……9分………………………………………11分故存在定点使得…………………………………………………12分  21.解：（1）设掷出3的倍数为事件, 掷出不是3的倍数记为事件,则 ……………………………………………………………1分珠子恰好转一周回到A点包含的事件为（M,N）,(N,M),(N,N,N)且这三种情况互斥 …3分故所求概率为  ………………………………………5分(2)    珠子滚两周回到A点，则必须经历以下三个步骤：①②③①A至C:此时概率为   ……………………………………………………7分②C至B:掷出的必须是3的倍数，此时的概率为   …………………………………9分③B至A:概率与①相同   …………………………………………………………………11分又以上三个步骤相互独立，故所求概率为………………………12分 22.解：（1）由题意解得   所以椭圆的标准方程为：；…………………………………………………4分① 设MN的方程为，与联立得：，…5分设，，则……………………………6分 ……8分②设PQ的方程为 ，与联立得，设，则……………………………………9分 由……………………11分 ……………………………12分