山东省济宁市曲阜师大附属实验学校2019-2020学年九年级上学期期中考试数学【试卷+答案】

这是一份山东省济宁市曲阜师大附属实验学校2019-2020学年九年级上学期期中考试数学【试卷+答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年山东省济宁市曲阜师大附属实验学校九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共12个小题，每小题3分，共36分）
1．下面数学符号，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．抛物线y＝（x+2）2﹣2的顶点坐标是（　　）
A．（2，﹣2） B．（2，2） C．（﹣2，2） D．（﹣2，﹣2）
3．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（　　）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
4．把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为（　　）

A．π B．6π C．3π D．1.5π
6．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（　　）

A．8 B．6 C．12 D．10
7．某超市1月份营业额为90万元，1月、2月、3月总营业额为144万元，设平均每月营业额增长率为x，则下面所列方程正确的是（　　）
A．90（1+x）2＝144
B．90（1﹣x）2＝144
C．90（1+2x）＝144
D．90（1+x）+90（1+x）2＝144﹣90
8．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（　　）

A．π﹣1 B．2π﹣1 C．π﹣1 D．π﹣2
9．在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的圆周角的度数为（　　）
A．90° B．145° C．90°或270° D．135°或45°
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　）

A．1 B．1或5 C．3 D．5
11．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
12．如图，正方形ABCD的边AB＝2，和都是以2为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（　　）

A．π﹣2 B．2π﹣4 C．﹣2 D．﹣4
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
13．抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴两个交点之间的距离为　 　．
14．半径为8的圆内，垂直平分半径的弦长是　 　．
15．如图，用一个半径为30cm，面积为150πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计耗损），则圆锥的底面半径r为　 　．

16．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为 　 　．

三、解答题（本大题共6小题，满分0分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解方程：
（1）（2x+1）2＝（x﹣3）2；
（2）3x2﹣9x+4＝0．
18．已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠B＝30°，延长BA到D，使∠BDC＝30°．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AB＝2，求DC的长．

19．已知，如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，E，F分别是线段BC，CD上的点，且BE+FD＝EF．求证：∠EAF＝∠BAD．

20．如图，已知AB是半圆O的直径，点P是半圆上一点，连接BP，并延长BP到点C，使PC＝PB，连接AC．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若AB＝4，∠ABC＝30°．
①求弦BP的长．②求阴影部分的面积．

21．某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y＝﹣2x+80（20≤x≤40），设这种健身球每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种健身球的销售单价不高于28元，该商店销售这种健身球每天要获得150元的销售利润，销售单价应定为多少元？
22．如图所示，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上两点，经过点A，C，B的抛物线的一部分C1与经过点A，D，B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．
已知点C的坐标为（0，﹣），点M是抛物线C2：y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求经过点A，C，B的抛物线C1的函数表达式．
（3）探究“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由．



参考答案
一、选择题（共12个小题，每小题3分，共36分）
1．下面数学符号，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
2．抛物线y＝（x+2）2﹣2的顶点坐标是（　　）
A．（2，﹣2） B．（2，2） C．（﹣2，2） D．（﹣2，﹣2）
【分析】根据二次函数的顶点式方程可地直接写出其顶点坐标．
解：∵抛物线为y＝（x+2）2﹣2，
∴顶点坐标为（﹣2，﹣2），
故选：D．
3．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（　　）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
【分析】由于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，那么分两种情况：（1）当a﹣5＝0时，方程一定有实数根；（2）当a﹣5≠0时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出a的取值范围．
解：分类讨论：
①当a﹣5＝0即a＝5时，方程变为﹣4x﹣1＝0，此时方程一定有实数根；
②当a﹣5≠0即a≠5时，
∵关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根
∴16+4（a﹣5）≥0，
∴a≥1．
∴a的取值范围为a≥1且a≠5．
综上，a≥1．
故选：A．
4．把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】确定出平移前的抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出抛物线解析式即可．
解：抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），
∵向右平移一个单位，再向下平移2个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），
∴得到的抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣3．
故选：B．
5．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为（　　）

A．π B．6π C．3π D．1.5π
【分析】根据弧长公式列式计算即可得解．
解：的长＝＝1.5π．
故选：D．
6．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（　　）

A．8 B．6 C．12 D．10
【分析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案．
解：
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝6+6＝12，
即△PCD的周长为12，
故选：C．
7．某超市1月份营业额为90万元，1月、2月、3月总营业额为144万元，设平均每月营业额增长率为x，则下面所列方程正确的是（　　）
A．90（1+x）2＝144
B．90（1﹣x）2＝144
C．90（1+2x）＝144
D．90（1+x）+90（1+x）2＝144﹣90
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），由此可以求出第二个月和第三个月的营业额，而第一季度的总营业额已经知道，所以可以列出一个方程．
解：设平均每月营业额的增长率为x，
则第二个月的营业额为：90×（1+x），
第三个月的营业额为：90×（1+x）2，
则由题意列方程为：90（1+x）+90（1+x）2＝144﹣90．
故选：D．
8．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（　　）

A．π﹣1 B．2π﹣1 C．π﹣1 D．π﹣2
【分析】已知BC为直径，则∠CDB＝90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD＝DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看做是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．
解：在Rt△ACB中，AB＝＝2，
∵BC是半圆的直径，
∴∠CDB＝90°，
在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD＝BD＝，
∴D为半圆的中点，
S阴影部分＝S扇形ACB﹣S△ADC＝π×22﹣×（）2＝π﹣1．
故选：A．
9．在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的圆周角的度数为（　　）
A．90° B．145° C．90°或270° D．135°或45°
【分析】先利用垂径定理得出AD＝AB＝，再解直角三角形可得∠AOD＝45°，再得∠AOB＝90°，根据原圆周角定理求出圆周角即可．
解：
如图，作OD⊥AB，垂足为D．
则由垂径定理知，点D是AB的中点，AD＝AB＝，
∴sin∠AOD＝＝，
∴∠AOD＝45°，∠AOB＝90°，
∴∠ACB＝∠AOB＝45°，
∵A、C、B、E四点共圆，
∴∠ACB+∠AEB＝180°，
∴∠AEB＝135°，
故选：D．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　）

A．1 B．1或5 C．3 D．5
【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．
解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；
当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．
故选：B．
11．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x＝2时，y＞0，则得到4a+2b+c＞0，则可对③进行判断；通过点（﹣5，y1）和点（，y2）离对称轴的远近对④进行判断．
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，所以③错误；
∵点（﹣5，y1）离对称轴要比点（，y2）离对称轴要远，
∴y1＞y2，所以④错误．
故选：A．
12．如图，正方形ABCD的边AB＝2，和都是以2为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（　　）

A．π﹣2 B．2π﹣4 C．﹣2 D．﹣4
【分析】图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，1、2和两个3的面积和是两个扇形的面积，根据两个扇形的面积的和﹣正方形的面积＝无阴影两部分的面积之差计算．
解：如图：
正方形的面积＝S1+S2+S3+S4；①
两个扇形的面积＝2S3+S1+S2；②
②﹣①，得：S3﹣S4＝2S扇形﹣S正方形＝2×﹣22＝2π﹣4，
故选：B．

二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
13．抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴两个交点之间的距离为　2　．
【分析】令y＝0，可以求得相应的x的值，从而可以求得抛物线与x轴的交点坐标，进而求得抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴两个交点之间的距离．
解：∵抛物线y＝x2﹣4x+3＝（x﹣3）（x﹣1），
∴当y＝0时，0＝（x﹣3）（x﹣1），
解得，x1＝3，x2＝1，
∵3﹣1＝2，
∴抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴两个交点之间的距离为2，
故答案为：2．
14．半径为8的圆内，垂直平分半径的弦长是　8　．
【分析】首先作出图形，连接OA，在直角△OAD中根据勾股定理即可求得AD的长，则弦AB＝2AD．
解：连接OA，如图所示：
在直角△OAD中，
∵OA＝4cm，OD＝2cm，
∴AD＝＝＝4，
∵OC⊥AB，
∴AB＝2AD＝8．
故答案为：8．

15．如图，用一个半径为30cm，面积为150πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计耗损），则圆锥的底面半径r为　5cm　．

【分析】由圆锥的几何特征，我们可得用半径为30cm，面积为150πcm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，据此求得圆锥的底面圆的半径．
解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l，圆锥形容器底面半径为r，
则由题意得R＝30，由Rl＝150π得l＝10π；　
由2πr＝l得r＝5cm．
故答案是：5cm．
16．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为 　　．

【分析】首先利用在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点P的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算．
解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，连接OB，则P点就是所求作的点．
此时PA+PB最小，且等于AC的长．
连接OA，OC，
∵∠AMN＝30°，
∴∠AON＝60°，
∵＝
∴∠AOB＝∠BON＝30°，
∵MN⊥BC，
∴＝，
∴∠CON＝∠NOB＝30°，
则∠AOC＝90°，又OA＝OC＝1，
则AC＝．

三、解答题（本大题共6小题，满分0分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解方程：
（1）（2x+1）2＝（x﹣3）2；
（2）3x2﹣9x+4＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
解：（1）∵（2x+1）2＝（x﹣3）2，
∴2x+1＝x﹣3或2x+1＝3﹣x，
解得x1＝﹣4，x2＝；
（2）∵3x2﹣9x+4＝0，
∴a＝3，b＝﹣9，c＝4，
则Δ＝（﹣9）2﹣4×3×4＝33＞0，
∴x＝＝，
即x1＝，x2＝．
18．已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠B＝30°，延长BA到D，使∠BDC＝30°．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AB＝2，求DC的长．

【分析】（1）根据切线的判定方法，只需证CD⊥OC．所以连接OC，证∠OCD＝90°．
（2）易求半径OC的长．在Rt△OCD中，运用三角函数求CD．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵OB＝OC，∠B＝30°，
∴∠OCB＝∠B＝30°．
∴∠COD＝∠B+∠OCB＝60°． （1分）
∵∠BDC＝30°，
∴∠BDC+∠COD＝90°，DC⊥OC．
∵BC是弦，
∴点C在⊙O上，
∴DC是⊙O的切线，点C是⊙O的切点．

（2）解：∵AB＝2，
∴OC＝OB＝＝1．
∵在Rt△COD中，∠OCD＝90°，∠D＝30°，
∴DC＝OC＝．

19．已知，如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，E，F分别是线段BC，CD上的点，且BE+FD＝EF．求证：∠EAF＝∠BAD．

【分析】把△ADF绕点A顺时针旋转∠DAB的度数得到△ABG，AD旋转到AB，AF旋转到AG，根据旋转的性质得到AG＝AF，BG＝DF，∠ABG＝∠D，∠BAG＝∠DAF，由∠B+∠D＝180°得∠B+∠ABG＝180°，即点G、B、C共线，而BE+FD＝EF，则有GE＝EF，根据三角形全等的判定方法易得△AEG≌△AEF，则∠EAG＝∠EAF，而∠BAG＝∠DAF，于是有∠EAB+∠DAF＝∠EAF，即可得到结论．
【解答】证明：把△ADF绕点A顺时针旋转∠DAB的度数得到△ABG，AD旋转到AB，AF旋转到AG，如图，
∴AG＝AF，BG＝DF，∠ABG＝∠D，∠BAG＝∠DAF，
∵∠B+∠D＝180°，
∴∠B+∠ABG＝180°，
∴点G、B、C共线，
∵BE+FD＝EF，
∴BE+BG＝GE＝EF，
在△AEG和△AEF中，
，
∴△AEG≌△AEF，
∴∠EAG＝∠EAF，
而∠BAG＝∠DAF，
∴∠EAB+∠DAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠BAD．

20．如图，已知AB是半圆O的直径，点P是半圆上一点，连接BP，并延长BP到点C，使PC＝PB，连接AC．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若AB＝4，∠ABC＝30°．
①求弦BP的长．②求阴影部分的面积．

【分析】（1）连接AP，由圆周角定理可知∠APB＝90°，故AP⊥BC，再由PC＝PB即可得出结论；
（2）①先根据直角三角形的性质求出AP的长，再由勾股定理可得出PB的长；
②连接OP，根据直角三角形的性质求出△PAB的度数，由圆周角定理求出∠POB的长，根据S阴影＝S扇形BOP﹣S△POB即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接AP，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠APB＝90°，
∴AP⊥BC．
∵PC＝PB，
∴△ABC是等腰三角形，即AB＝AC；

（2）解：①∵∠APB＝90°，AB＝4，∠ABC＝30°，
∴AP＝AB＝2，
∴BP＝＝＝2；

②连接OP，
∵∠ABC＝30°，
∴∠PAB＝60°，
∴∠POB＝120°．
∵点O是AB的中点，
∴S△POB＝S△PAB＝×AP•PB＝×2×2＝，
∴S阴影＝S扇形BOP﹣S△POB
＝﹣
＝π﹣．

21．某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y＝﹣2x+80（20≤x≤40），设这种健身球每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种健身球的销售单价不高于28元，该商店销售这种健身球每天要获得150元的销售利润，销售单价应定为多少元？
【分析】（1）根据“每天的销售利润＝每个球的利润×每天的销售量”可得函数解析式；
（2）将（1）中所得函数解析式配方成顶点式，利用二次函数的性质解答可得；
（3）根据题意列出w＝150时关于x的一元二次方程，解之得出x的值，再根据“销售单价不高于28元”取舍即可得．
解：（1）根据题意可得：w＝（x﹣20）•y
＝（x﹣20）（﹣2x+80）
＝﹣2x2+120x﹣1600，
w与x之间的函数关系为：w＝﹣2x2+120x﹣1600；

（2）根据题意可得：w＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，
∵﹣2＜0，
∴当x＝30时，w有最大值，w最大值为200．
答：销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．

（3）当w＝150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+200＝150．
解得x1＝25，x2＝35，
∵35＞28，
∴x2＝35不符合题意，应舍去．
答：该商店销售这种健身球每天想要获得150元的销售利润，销售单价定为25元．
22．如图所示，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上两点，经过点A，C，B的抛物线的一部分C1与经过点A，D，B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．
已知点C的坐标为（0，﹣），点M是抛物线C2：y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求经过点A，C，B的抛物线C1的函数表达式．
（3）探究“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）把抛物线解析整理，令y＝0可求得x的值，则可求得A、B的坐标；
（2）由A、B、C的坐标，利用待定系数法可求得经过点A、B、C的抛物线解析式；
（3）连接BC、过点P作PQ∥y轴，交BC于点Q，由B、C的坐标可求得直线BC的解析式，则可设出P点坐标，从而表示出Q点坐标，则可求得PQ的长，从而用P点坐标表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得P点坐标和△PBC面积的最大值．
解：
（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣3）（x+1），且m≠0，
∴当y＝0时，可得m（x﹣3）（x+1）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；

（2）设过A、B、C三点的抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
则有，解得，
∴抛物线C1解析式为y＝x2﹣x﹣；

（3）如图，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，

设直线BC解析式为y＝kx+s，则有，解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣，
设P（x，x2﹣x﹣），则Q（x，x﹣），
∴PQ＝x﹣﹣（x2﹣x﹣）＝﹣x2+x，
∴S△PBC＝PQ•OB＝×（﹣x2+x）×3＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当x＝时，S△PBC有最大值，S最大＝，此时P点纵坐标为×（）2﹣﹣＝﹣，
此时P点坐标为（，﹣）．