【中考真题】2021年浙江省衢州实验学校教育集团中考数学四模试卷（含答案解析）

这是一份【中考真题】2021年浙江省衢州实验学校教育集团中考数学四模试卷（含答案解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年浙江省衢州实验学校教育集团中考数学四模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分）
1．（3分）下列温度比﹣3℃低的是（　　）
A．﹣4℃ B．﹣2℃ C．2℃ D．4℃
2．（3分）下列几何体中主视图为矩形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）2020年7月23日，中国首颗火星探测器“天问一号”成功发射.2021年2月10日，在经过长达七个月，475000000公里的漫长飞行之后，“天问一号”成功进入火星轨道．将475000000用科学记数法表示应为（　　）
A．4.75×107 B．4.75×108 C．4.75×109 D．475×106
4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABC＝60°，则∠D的度数为（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
5．（3分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（　　）
A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60°
6．（3分）某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间（单位：小时），并绘制了如图所示的折线统计图，下列说法中错误的是（　　）

A．众数是9
B．中位数是9
C．平均数是9
D．锻炼时间不低于9小时的有14人
7．（3分）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2），D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为（6，0），则点A的坐标为（　　）

A．（2，5） B．（2.5，5） C．（3，5） D．（3，6）
8．（3分）已知△ABC（AC＞BC），用尺规作图的方法在AB上确定一点P，使PA+PC＝AB，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．（3分）有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（　　）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
10．（3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为（　　）

A． B． C． D．6
二、填空题（共6小题，每小题4分，计24分）
11．（4分）分解因式：a2﹣1＝　 　．
12．（4分）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，BC∥EF，AC＝FD，请你添加一个条件　 　，使得△ABC≌△DEF．

13．（4分）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣3，0），B（4，0），边AD长为5．现固定边AB，“推”矩形使点D落在y轴的正半轴上（落点记为D′），相应地，点C的对应点C′的坐标为　 　．

14．（4分）已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣8x+m上的点，则y1、y2、y3的大小关系为　 　．
15．（4分）如图，已知双曲线）经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k＝　 　．

16．（4分）图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知O，P两点固定，连杆PA＝PC＝14，AB＝BC＝CQ＝QA＝6，OQ＝5，O，P两点间距离与OQ长度相等．当OQ绕点O转动时，点A，B，C的位置随之改变．
（1）点P、Q之间距离的最大值为 　 　；
（2）在转动过程中，则PQ•PB＝　 　．

三、解答题（共8小题，计66分）
17．（6分）计算：﹣（）﹣1+4sin60°﹣|1﹣|．
18．（6分）先化简、再求值：，其中．
19．（6分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．
求证：BE＝DF．

20．（8分）某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：t＜8；B档：8≤t＜9；C档：9≤t＜10；D档：t≥10．根据调查情况，给出了部分数据信息：
①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5；
②图1和图2是两幅不完整的统计图．
根据以上信息解答问题：
（1）求样本容量，并将图2补充完整；
（2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数；
（3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生中有1名男生3名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．

21．（8分）如图，O为Rt△ABC的直角边AC上一点，以 OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E．已知BC＝，AC＝3．
（1）求AD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．

22．（10分）教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题：

（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式；
（2）求出图中a的值；
（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？
23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
24．（12分）【方法尝试】
如图1，矩形ABFC是矩形ADGE以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转90°所得的图形，CB、ED分别是它们的对角线．求证：CB⊥ED．
【类比迁移】
如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AC＝，AB＝，AE＝，AD＝1．将△DAE绕点A在平面内逆时针旋转，设旋转角∠BAE为α（0°≤α＜360°），连接CE，BD．
①请判断线段CE和BD的数量关系和位置关系，并说明理由；
②当点B，D，E在同一直线上时，求线段CE的长．
【拓展延伸】
如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，过点A作AP∥BC，在射线AP上取一点D，连结CD，使得tan∠ACD＝，请直接写出线段BD的最值．


2021年浙江省衢州实验学校教育集团中考数学四模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分）
1．（3分）下列温度比﹣3℃低的是（　　）
A．﹣4℃ B．﹣2℃ C．2℃ D．4℃
【分析】先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除C、D，再根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比﹣3小的数是﹣4．
【解答】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知﹣4＜﹣3＜﹣2，
所以比﹣3℃低的温度是﹣4℃．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．
2．（3分）下列几何体中主视图为矩形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图，即可解答．
【解答】解：A、圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；
B、圆柱的主视图是矩形，符合题意；
C、三棱锥的主视图是三角形，不合题意；
D、球的主视图是圆，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了简单几何体的主视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
3．（3分）2020年7月23日，中国首颗火星探测器“天问一号”成功发射.2021年2月10日，在经过长达七个月，475000000公里的漫长飞行之后，“天问一号”成功进入火星轨道．将475000000用科学记数法表示应为（　　）
A．4.75×107 B．4.75×108 C．4.75×109 D．475×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：将475000000用科学记数法表示为4.75×108．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABC＝60°，则∠D的度数为（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】求出∠A＝30°，利用圆周角定理可得结论．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝30°，
∴∠D＝∠A＝30°，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（3分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（　　）
A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60°
【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．
【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．
故选：C．
【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
6．（3分）某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间（单位：小时），并绘制了如图所示的折线统计图，下列说法中错误的是（　　）

A．众数是9
B．中位数是9
C．平均数是9
D．锻炼时间不低于9小时的有14人
【分析】此题根据众数，中位数，平均数的定义解答．
【解答】解：由图可知，锻炼9小时的有18人，所以9在这组数中出现18次为最多，所以众数是9．
把数据从小到大排列，中位数是第23位数，第23位是9，所以中位数是9．
平均数是（7×5+8×8+9×18+10×10+11×4）÷45＝9，所以平均数是9．
锻炼时间不低于9小时的有18+10+4＝32，
故D错误．
故选：D．
【点评】此题考查了折线统计图，用到的知识点是平均数、中位数、众数，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．平均数是所有数的和除以所有数的个数．
7．（3分）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2），D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为（6，0），则点A的坐标为（　　）

A．（2，5） B．（2.5，5） C．（3，5） D．（3，6）
【分析】直接利用位似图形的性质得出位似比，进而得出A点坐标．
【解答】解：∵以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，D（2，0），点B的坐标为（6，0），
∴＝，
∴位似比为，
∵C（1，2），
∴点A的坐标为：（3，6）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了位似图形以及坐标与图形的性质，正确得出位似比是解题关键．
8．（3分）已知△ABC（AC＞BC），用尺规作图的方法在AB上确定一点P，使PA+PC＝AB，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用等线段代换得到PC＝PB，利用线段的垂直平分线的性质和基本作图进行判断．
【解答】解：∵PA+PB＝AB，PA+PC＝AB，
∴PC＝PB，
∴点P在BC的垂直平分线上．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
9．（3分）有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（　　）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
【分析】本题考查增长问题，应理解“增长率”的含义，如果设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，那么由题意可列出方程，解方程即可求解．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，
第一轮过后有（1+x）个人感染，第二轮过后有（1+x）+x（1+x）个人感染，
那么由题意可知1+x+x（1+x）＝100，
整理得，x2+2x﹣99＝0，
解得x＝9或﹣11，
x＝﹣11不符合题意，舍去．
那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人．
故选：B．
【点评】主要考查增长率问题，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
10．（3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为（　　）

A． B． C． D．6
【分析】先根据图形翻折变换的性质得出BC＝OC，BE＝OE，∠B＝∠COE＝90°，∠BCE＝∠ACE，求出AC＝2BC，求出∠BAC＝30°，求出∠BCE＝30°，解直角三角形求出CE即可．
【解答】解：∵△CEO是△CEB翻折而成，
∴BC＝OC，BE＝OE，∠B＝∠COE＝90°，∠BCE＝∠ACE，
∴EO⊥AC，
∵O是矩形ABCD的中心，
∴OE是AC的垂直平分线，AC＝2BC＝2×3＝6，
∴∠CAB＝30°，
∴∠BCA＝60°，
∴∠BCE＝∠ACE＝30°，
在Rt△BCE中，CE＝＝＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，直角三角形的性质，解直角三角形等知识点，能求出∠BAC＝30°是解此题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题4分，计24分）
11．（4分）分解因式：a2﹣1＝　（a+1）（a﹣1）　．
【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．
故答案为：（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．
12．（4分）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，BC∥EF，AC＝FD，请你添加一个条件　BC＝EF或∠B＝∠E或∠A＝∠D（答案不唯一）　，使得△ABC≌△DEF．

【分析】由全等三角形的判定定理可求解．
【解答】解：∵BC∥EF，
∴∠BCA＝∠EFD，
若添加BC＝EF，且AC＝FD，由“SAS”可证△ABC≌△DEF；
若添加∠B＝∠E，且AC＝FD，由“AAS”可证△ABC≌△DEF；
若添加∠A＝∠D，且AC＝FD，由“ASA”可证△ABC≌△DEF；
故答案为：BC＝EF或∠B＝∠E或∠A＝∠D（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
13．（4分）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣3，0），B（4，0），边AD长为5．现固定边AB，“推”矩形使点D落在y轴的正半轴上（落点记为D′），相应地，点C的对应点C′的坐标为　（7，4）　．

【分析】根据勾股定理，可得OD′，根据平行四边形的性质，可得答案．
【解答】解：由勾股定理，得
OD′＝＝4，
即D′（0，4）．
矩形ABCD的边AB在x轴上，
∴四边形ABC′D′是平行四边形，
AD′＝BC′，C′D′＝AB＝4﹣（﹣3）＝7，
C′与D′的纵坐标相等，
∴C′（7，4）
故答案为：（7，4）．
【点评】本题考查了多边形，利用平行四边形的性质得出AD′＝BC′，C′D′＝AB＝4﹣（﹣3）＝7是解题关键．
14．（4分）已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣8x+m上的点，则y1、y2、y3的大小关系为　y3＜y1＜y2　．
【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∵a＝﹣2＜0，
∴x＝﹣2时，函数值最大，
又∵﹣1到﹣2的距离比﹣4到﹣2的距离小，
∴y3＜y1＜y2．
故答案为y3＜y1＜y2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．
15．（4分）如图，已知双曲线）经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k＝　2　．

【分析】如果设F（x，y），表示点B坐标，再根据四边形OEBF的面积为2，列出方程，从而求出k的值．
【解答】解：设F（x，y），E（a，b），那么B（x，2y），
∵点E在反比例函数解析式上，
∴S△COE＝ab＝k，
∵点F在反比例函数解析式上，
∴S△AOF＝xy＝k，
∵S四边形OEBF＝S矩形ABCO﹣S△COE﹣S△AOF，且S四边形OEBF＝2，
∴2xy﹣k﹣xy＝2，
∴2k﹣k﹣k＝2，
∴k＝2．
故答案为：2．

【点评】本题的难点是根据点F的坐标得到其他点的坐标．在反比例函数上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．
16．（4分）图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知O，P两点固定，连杆PA＝PC＝14，AB＝BC＝CQ＝QA＝6，OQ＝5，O，P两点间距离与OQ长度相等．当OQ绕点O转动时，点A，B，C的位置随之改变．
（1）点P、Q之间距离的最大值为 　10　；
（2）在转动过程中，则PQ•PB＝　160　．

【分析】（1）由OQ＝5得到点Q的轨迹为以点O为圆心，半径长为5的圆上，然后由点到圆上点的距离求得PQ的最大值；
（2）利用特殊位置求得PQ•PB的值，选择点P、O、Q在同一条直线上时，连接BQ、AC交于点H，再利用勾股定理求得QH的长度，最后求得PQ•PB的值．
【解答】解：（1）由题意可得，点Q在点O为圆心，半径长为5的圆上，
∴当点Q为PO的延长线于圆O的交点时，P、Q两点间的距离最大，为10．
故答案为：10．
（2）以特殊位置法求PQ•PB的值，
如图，点P、O、Q在同一条直线上时，PQ＝10，
连接BQ、AC交于点H，
∵AB＝BC＝CQ＝QA，
∴四边形ABCQ为菱形，
∴BQ⊥AC，QH＝BH，
设QH＝BH＝x，则PH＝PQ+QH＝10+x，
在Rt△PCH中，CH2＝PC2﹣PH2，
在Rt△QCH中，CH2＝QC2﹣QH2，
∴PC2﹣PH2＝QC2﹣QH2，
∵PC＝14，CQ＝6，
∴142﹣（10+x）2＝62﹣x2，
解得：x＝3，
∴PB＝PQ+QH+BH＝10+x+x＝10+3+3＝16，
∴PQ•PB＝10×16＝160．
故答案为：160．

【点评】本题考查与圆有关的位置关系，勾股定理、菱形的性质，解题的关键是通过题意得到点Q的运动轨迹和利用特殊位置法求PQ•PB的值．
三、解答题（共8小题，计66分）
17．（6分）计算：﹣（）﹣1+4sin60°﹣|1﹣|．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及算术平方根、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣4+4×﹣（﹣1）
＝2﹣4+2﹣+1
＝3﹣3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．（6分）先化简、再求值：，其中．
【分析】将括号里通分，除法化为乘法，因式分解，约分，再代值计算．
【解答】解：原式＝•＝x﹣1，
当x＝+1时，原式＝+1﹣1＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值．解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．
19．（6分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．
求证：BE＝DF．

【分析】根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD＝BC，求出DE＝BF，DE∥BF，得出四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE＝CF，
∴DE＝BF，DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE＝DF．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等．
20．（8分）某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：t＜8；B档：8≤t＜9；C档：9≤t＜10；D档：t≥10．根据调查情况，给出了部分数据信息：
①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5；
②图1和图2是两幅不完整的统计图．
根据以上信息解答问题：
（1）求样本容量，并将图2补充完整；
（2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数；
（3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生中有1名男生3名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．

【分析】（1）用A档和D档所有数据数减去D档人数即可得到A档人数，用A档人数除以所占百分比即可得到总人数；用总人数减去A档，B档和D档人数，即可得到C档人数，从而可补全条统计图；
（2）先求出B档所占百分比，再乘以1200即可得到结论；
（3）通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由于A档和D档共有12个数据，而D档有4个，
因此A档共有：12﹣4＝8人，
则样本容量为：8÷20%＝40，
则C档的人数有40﹣8﹣16﹣4＝12（人），补全图形如下：


（2）1200×＝480（人），
答：估计全校B档的人数为480．

（3）列表如下：

男
女1
女2
女3
男
﹣﹣﹣
（女1，男）
（女2，男）
（女3，男）
女1
（男，女1）
﹣﹣﹣
（女2，女1）
（女3，女1）
女2
（男，女2）
（女1，女2）
﹣﹣﹣
（女3，女2）
女3
（男，女3）
（女1，女3）
（女2，女3）
﹣﹣﹣
∵共有12种等可能情况，抽到的2名学生恰好是1名男生和1名女生的有6种情况，
∴被抽到的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为＝
【点评】本题考查了扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点，解题时注意：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）如图，O为Rt△ABC的直角边AC上一点，以 OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E．已知BC＝，AC＝3．
（1）求AD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）首先利用勾股定理求出AB的长，再证明BD＝BC，进而由AD＝AB﹣BD可求出；
（2）利用特殊角的锐角三角函数可求出∠A的度数，则圆心角∠DOA的度数可求出，在直角三角形ODA中求出OD的长，最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：
（1）在Rt△ABC中，∵BC＝，AC＝3．
∴AB＝＝2，
∵BC⊥OC，
∴BC是圆的切线，
∵⊙O与斜边AB相切于点D，
∴BD＝BC，
∴AD＝AB﹣BD＝2﹣＝；

（2）在Rt△ABC中，
∵sinA＝＝＝，
∴∠A＝30°，
∵⊙O与斜边AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∴∠AOD＝90°﹣∠A＝60°，
∵＝tanA＝tan30°，
∴＝，
∴OD＝1，
∴S阴影＝＝．
【点评】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键．
22．（10分）教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题：

（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式；
（2）求出图中a的值；
（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？
【分析】（1）直接利用反比例函数解析式和一次函数解析式求法得出答案；
（2）利用（1）中所求解析式，当y＝20时，得出答案；
（3）当y＝40时，代入反比例函数解析式，结合水温的变化得出答案．
【解答】解：（1）当0≤x≤8时，设y＝k1x+b，
将（0，20），（8，100）的坐标分别代入y＝k1x+b得，
解得k1＝10，b＝20．
∴当0≤x≤8时，y＝10x+20．
当8＜x≤a时，设y＝，
将（8，100）的坐标代入y＝，
得k2＝800
∴当8＜x≤a时，y＝．
综上，当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝；

（2）将y＝20代入y＝，
解得x＝40，
即a＝40；

（3）当y＝40时，x＝＝20．
∴要想喝到不低于40℃的开水，x需满足8≤x≤20，
即李老师要在7：38到7：50之间接水．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．
23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标，根据平移的性质可求点C的坐标；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可求点A的坐标，进一步求得抛物线的对称轴；
（3）结合图形，分三种情况：①a＞0；②a＜0，③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求解．
【解答】解：（1）与y轴交点：令x＝0代入直线y＝4x+4得y＝4，
∴B（0，4），
∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，
∴C（5，4）；
（2）与x轴交点：令y＝0代入直线y＝4x+4得x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，
∴抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝1；
（3）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝1，
由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），
①a＞0时，如图1，
将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣3a＜4，
a＞﹣，
将x＝5代入抛物线得y＝12a，
∴12a≥4，
解得a≥；
②a＜0时，如图2，
将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣3a＞4，
解得a＜﹣；
③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，
将点（1，4）代入抛物线得4＝a﹣2a﹣3a，
解得a＝﹣1．
综上所述，a≥或a＜﹣或a＝﹣1．



【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程，待定系数法求抛物线解析式．本题属于中档题，难度不大，但涉及知识点较多，需要对二次函数足够了解才能快捷的解决问题．
24．（12分）【方法尝试】
如图1，矩形ABFC是矩形ADGE以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转90°所得的图形，CB、ED分别是它们的对角线．求证：CB⊥ED．
【类比迁移】
如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AC＝，AB＝，AE＝，AD＝1．将△DAE绕点A在平面内逆时针旋转，设旋转角∠BAE为α（0°≤α＜360°），连接CE，BD．
①请判断线段CE和BD的数量关系和位置关系，并说明理由；
②当点B，D，E在同一直线上时，求线段CE的长．
【拓展延伸】
如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，过点A作AP∥BC，在射线AP上取一点D，连结CD，使得tan∠ACD＝，请直接写出线段BD的最值．

【分析】【方法尝试】如图1中，延长CB交DE于T．利用旋转的性质证明可得结论；
【类比迁移】①结论：CE＝BD，CE⊥BD．证明△CAE∽△BAD，可得结论；
②分两种情形：如图2﹣1中，当点D落在线段BE上时，如图2﹣2中，当点E在线段BD上时，分别利用勾股定理构建方程求解即可；
【拓展延伸】如图3中，过点A作AE⊥AB，使得AE＝AB＝8，取AB的中点R，连接CR，ER．证明△DAB∽△CAE，推出＝＝，可得BD＝EC，再求出EC的取值范围，可得结论．
【解答】【方法尝试】：证明：如图1中，延长CB交DE于T．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CAB＝90°，
由旋转的性质可知，∠ACB＝∠AED，
∵∠ABC＝∠EBT，
∴∠BTE＝∠CAB＝90°，
∴CB⊥DE；

【类比迁移】：解：①结论：CE＝BD，CE⊥BD．
理由：如图2中，延长CE交BD于点Q，交AB于点O．

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠CAE＝∠BAD，
∵AC＝，AB＝，AE＝，AD＝1，
∵＝＝，
∴△CAE∽△BAD，
∴＝＝，∠ACE＝∠ABD，
∵∠AOC＝∠BOQ，
∴∠OQB＝∠OAC＝90°，
∴CE＝BD，CE⊥BD；

②如图2﹣1中，当点D落在线段BE上时，设BD＝x，

∵EC＝BD，EC⊥BD，
∴EC＝x，
∵BC＝＝＝2，DE＝＝＝2，
∵BC2＝EC2+BE2，
∴（2）2＝（2+x）2+（x）2，
整理得，x2+x﹣6＝0，
解得x＝﹣3或2（负根舍弃），
∴CE＝2．
如图2﹣2中，当点E在线段BD上时，设BD＝m，则EC＝m，BE＝m﹣2，

∵BC2＝BE2+EC2，
∴3m2+（m﹣2）2＝28，
∴m＝3或﹣2（负根舍弃），
∴EC＝m＝3，
综上所述，EC的长为2或3；

【拓展延伸】：解：如图3中，过点A作AE⊥AB，使得AE＝AB＝8，取AB的中点R，连接CR，ER．

∵∠CAD＝∠EAB＝90°，
∴∠CAE＝∠DAB，
∵tan∠ACD＝＝，
∴＝＝，
∴△DAB∽△CAE，
∴＝＝，
∴BD＝EC，
∵∠ACB＝90°，AR＝RB，
∴CR＝AB＝3，
∵∠EAB＝90°，AE＝8，AR＝3，
∴ER＝＝＝，
∵﹣3≤EC≤+3，
∴﹣≤BD≤+，
∴BD的最小值为﹣，最大值为+．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
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日期：2021/11/14 23:15:36；用户：张家港二中；邮箱：zjg2z@xyh.com；学号：41479226

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