人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质达标测试

5.4.2  正弦函数、余弦函数的性质（二）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含解析）

一．单选题

1. 函数在下列哪个区间上是减函数

A.  B.  C.  D.

2. 下列函数中，周期为，且在上为减函数的是     

A.  B.
C.  D.

3. 使和均为减函数的一个区间是

A.  B.  C.  D.

4. 设函数，则下列结论错误的是

A. 的一个周期为
B. 的图象关于直线对称
C. 的一个零点为
D. 在单调递减

5. 函数的最大值与最小值之和为   

A.  B. 0 C.  D.

6. 函数的图象的对称轴可以是直线   

A.  B.  C.  D.

7. 已知，是锐角，且，则，满足

A.  B.  C.  D.

8. 函数的值域为

A.  B.  C.  D.

9. 已知函数的图像和直线围成了一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为

A. 4 B. 8 C.  D.

10. 已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则的值是   

1.  B. 1 C. 2 D. 3

二．多选题

11. 已知函数，则下列结论正确的是

A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称
C. 在区间上单调递增 D. 在区间上有两个零点

12. 下列几个式子不正确的是

1.  B.  C.  D.

三．填空题

13. 设函数，给出以下四个论断：

它的最小正周期为；

它的图象关于直线成轴对称图形；

它的图象关于点成中心对称图形；

在区间上是增函数．

以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________用序号表示即可．

14. 已知函数的最大值是，最小值是，则          ，          ．
15. 函数的单调递增区间为________．
16. 函数的图象的对称中心为________．
17. 已知方程在时有解，求实数a的取值范围________．

三．解答题

18. 已知函数．

求函数的单调递减区间．

若，求的最大值和最小值．






 

19. 已知函数的最小正周期为．

求的值；

求函数在区间上的取值范围．






 

20. 已知函数，其中，若对任意R恒成立，且，求函数的解析式与单调递减区间．
    
    

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

 【分析】
本题主要考查的是三角函数的单调性，属于基础题．
结合余弦函数的单调性及复合函数的单调性求解即可．
【解答】
解：因为函数 x在上是减函数，
所以函数在上是减函数，
故选C．  

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查正余弦函数，以及三角函数的图象和性质属于基础题，可直接利用相关定义和正余弦函数单调性以及单调区间进行作答．
【解答】
解：考虑函数周期为，于是对形如
的三角函数，必有，因此排除选C、D，
又时，有，
又因为正弦函数在区间上单调递减，于是选项A符合题意，
余弦函数在区间上单调递增，故选项B错误．
故本题选项为A．  

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了正余弦函数的单调区间，属于基础题．
先写出正余弦函数的单调递减区间，再求它们在上的交集即可．
【解答】
解：正弦函数的单调递减区间为，
余弦函数的单调递减区间为，
当时可利用交集求得正余弦函数的一个单调递减区间为，
故选B．  

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查函数的图象与性质，属于中档题．
根据的图象与性质，对各选项逐一分析，即可得到答案．
【解答】
解：最小正周期，则也是的周期，故是的一个周期．
B.把代入函数解析式，得，故直线为图像的对称轴．
C.，所以为的一个零点．
D.原函数相当于的图像左移个单位长度后所得图像对应的函数，在上先减后增，故错误．
故选D  

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】本题考查了函数的图象与性质的相关知识，试题难度一般
【解答】

解：因为，
所以，

所以，

所以，

所以．

所以函数的最大值与最小值之和为．

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了三角函数的对称性，诱导公式，属于基础题．
利用诱导公式得出，即可得出函数的对称轴．
【解答】
解：
令，则．
只有选项A符合题意，
故选A．  

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了三角函数的单调性以及诱导公式，属于基础题．
首先利用诱导公式得出，再利用正弦函数在锐角范围内是增函数得出，即可得出选项．
【解答】
解：因为，
所以，
因为在上是增函数，
所以，则．
故选C．  

8.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查的知识要点：同角三角函数的基本关系，余弦函数的性质的应用，属于基础题型．
首先利用同角三角函数基本关系化简解析式，结合余弦函数和二次函数的性质最后确定函数的值域．

【解答】

解：函数
，
因为，
当时，，
当时，，
所以函数的值域为
故选：A．

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】本题考查余弦函数性质，属于基础题．
由余弦函数的图像关于点和点成中心对称，可得的图像和直线围成的封闭图形的面积为．
【解答】解：由余弦函数的图像关于点和点成中心对称，
可得的图像和直线围成的封闭图形的面积为．  

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查三角函数的图像和性质，属于基础题．
利用相邻两条对称轴之间的距离为，可得相邻两条对称轴之间的距离为，进而可得．
【解答】
解：由函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
即相邻两条对称轴之间的距离为，
，

．
故选B．  

11.【答案】AC
 

【解析】

【分析】
本题考查三角函数的单调性和对称性，考查函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
由可判断A；由可判断B；由可得，可判断C；由可得，可判断D．
【解答】
解：对于A，，为最值，所以的图象关于直线对称，故A正确；
对于B，，所以的图象关于点对称，故B错误；
对于C，当时，，在区间上单调递增，故C正确；
对于D，当时，，，无零点，故D错误，
故选AC．  

12.【答案】ACD
 

【解析】

【分析】
本题主要考查任意角的三角函数在各个象限的符号，正弦函数与余弦函数的性质．
利用cos1，cos2，sin1，sin2的正负，即可得．
【解答】
解：因为，，，，
所以，故A错误；
，故D错误；
由正弦函数，余弦函数的性质，可知，，故B正确，C错误．
故选ACD．  

13.【答案】也可填
 

【解析】

【分析】本题考查了正弦、余弦函数的图象与性质、函数的图象与性质的相关知识，试题难度一般
【解答】

解：若成立，则；
令，Z，且，故，

，此时，

当时，，

的图象关于成中心对称图形；

又在上是增函数，

在上也是增函数．

因此．

用类似的分析可得．

因此填或．

14.【答案】

1或

【解析】

【分析】
本题考查三角函数的最值，属于基础题．
分，两种情况求解即可．
【解答】
解：函数的最大值为，最小值为，
，
当时，，解得
当时，，解得．
故答案为；1或．  

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了三角函数的单调性，以及诱导公式，属于基础题．
由题意得出，求出x的范围结合给定的即可求解．
【解答】
解：，
令，
则．
因为，所以函数的单调递增区间为．
故答案为．  

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查函数的图象与性质，属于基础题．
由，即可求出结果．
【解答】
解：由，得，
所以函数的图象的对称中心为．
故答案为．  

17.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了三角函数的同角公式，正弦函数的性质，方程的零点，属于中档题．
方程在时有解，转化为，与有交点，求出函数的值域即可得出a的取值范围．
【解答】
解：方程在时有解，
转化为，与有交点，
所以，，
则．
故答案为．  

18.【答案】解：由题意
则
所以函数的单调递减区间，Z．
因为，所以，
当时取得最大值为2，
当时取得最小值为．
最大值是2，最小值是．
 

【解析】本题主要考查了余弦函数的性质，属于基础题．
由题意，求出x的范围即可；
先求出，再利用余弦函数的性质求解．
 

19.【答案】解：因为函数的最小正周期为，且，

所以，解得．

由得．

因为，
所以．

所以．

因此．

即的取值范围为

【解析】本题考查了函数的图象与性质的相关知识，试题难度一般
 

20.【答案】解：若对恒成立，则，
所以，，，
由，可知，即，
所以，，
因为，所以，
代入得
由知
令，，得，
所以函数单调递减区间，
 

【解析】本题考查了函数正弦函数的性质，函数解析式的求解，属于中档题．
为的最大值1，解出，根据判断的取值，得出的解析式
根据正弦函数的单调性得出不等式，解出单调减区间．