第二节　函数的单调性与最值学案

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第二节　函数的单调性与最值
学习要求:
1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.
2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义.


　　1.函数的单调性
(1)增函数与减函数的定义:

增函数
减函数
定义
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,且D⊆I,如果对任意x1,x2∈D
当x1
f(x2) ,那么就称y=f(x)在区间D上是减函数
图象
描述

自左向右看图象是③ 上升的

自左向右看图象是④ 下降的
　　(2)单调区间的定义:
若函数y=f(x)在区间D上⑤ 单调递增或单调递减 ,则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. 
　　▶提醒　(1)求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域.
(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接.
(3)“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念,显然N⊆M.


2.函数的最值
前提
设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意的x∈I,都有⑥ f(x)≤M ;
(2)存在x0∈I,使得⑦ f(x0)=M
(1)对于任意的x∈I,都有⑧ f(x)≥M ;
(2)存在x0∈I,使得⑨ f(x0)=M
结论
M为函数y=f(x)的最大值
M为函数y=f(x)的最小值
知识拓展
　　1.单调性定义的等价形式
设任意的x1,x2∈[a,b],x1≠x2.
(1)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或 f(x1)-f(x2)x1-x2>0,则f(x)在闭区间[a,b]上是增函数.
(2)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0)的增区间为(-∞,-a]和[a,+∞),减区间为(-a,0)和(0,a).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).
(1)若定义在R上的函数f(x)满足f(-1)0,-2a≤-2,
即a2>12,a≥1,故a≥1.

求函数的最值(值域)
　　典例6　(1)(2020安徽六安一中高三月考)若函数f(x)=2x2+31+x2,则f(x)的值域为 (　　)
A.(-∞,3]　　　　B.(2,3)
C.(2,3]　　　　D.[3,+∞)
(2)已知函数f(x)=x+2x-3,x≥1,lg(x2+1),x