第三节　函数的奇偶性、周期性学案

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第三节　函数的奇偶性、周期性
学习要求:
1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.
2.了解周期性的概念和几何意义.


　　1.函数的奇偶性

定义
图象特点
偶函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且① f(-x)=f(x) ,那么函数 f(x)就叫做偶函数
关于② y轴 对称
奇函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且③ f(-x)=-f(x) ,那么函数 f(x)就叫做奇函数
关于④ 原点 对称
　　▶提醒　函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.
2.周期性
(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有⑤ f(x+T)=f(x) 成立,那么就称函数y=f(x)为周期函数,T为这个函数的周期. 
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期.
知识拓展
　　1.函数奇偶性的常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
(3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.

2.函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任意一自变量x,
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0);
(2)若f(x+a)=1f(x),则T=2a(a>0);
(3)若f(x+a)=-1f(x),则T=2a(a>0).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-x)+f(x)=0. (　　)
(2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.(　　)
(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. (　　)
(4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称. (　　)
答案　(1)√　(2)✕　(3)√　(4)√
2.(新教材人教A版必修第一册P84例6改编)下列函数中为偶函数的是 (　　)
A.y=x2sin x　　　　B.y=x2cos x
C.y=|ln x|　　　　D.y=2-x
答案　B
3.定义在R上的偶函数f(x)满足对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),都有 f(x2)-f(x1)x2-x1