第五节　指数与指数函数学案

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第五节　指数与指数函数
学习要求:
1.掌握指数幂的运算性质.
2.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.
3.能画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.


　　1.指数幂的概念
(1)根式的概念
方根的概念
符号表示
备注
如果① xn=a ,n>1,n∈N*,那么x叫做a的n次方根


当n为奇数时,正数的n次方根是一个② 正数 ,负数的n次方根是一个③ 负数
na
0的n次方根是0
当n为偶数时,正数的n次方根有④ 两个 ,它们互为⑤ 相反数
±na
负数没有偶次方根
(2)两个重要公式
nan=⑥a,n为奇数,|a|=⑦a(a≥0),⑧-a(a0,m,n∈N*,n>1), 
a-mn= 1amn =1nam(a>0,m,n∈N*,n>1). 

(2)0的分数指数幂
0的正分数指数幂是 0 ,0的负分数指数幂无意义. 
　　(3)有理数指数幂的运算法则
(i)aras= ar+s (a>0,r,s∈Q). 
(ii)(ar)s= ars (a>0,r,s∈Q). 
(iii)(ab)r= arbr (a>0,b>0,r∈Q). 
　　3.指数函数的图象与性质

a>1
01 ;
当x0.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象越高,底数越大.


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).
(1)nan=(na)n=a. (　　)
(2)(-1)24=(-1)12=-1. (　　)
(3)函数y=a-x(a>0,且a≠1)是R上的增函数. (　　)
(4)函数y=2x-1是指数函数. (　　)
(5)若am0,且a≠1),则m0,将a2a·3a2表示成分数指数幂,其结果是(　　)
A.a12　　　　B.a56　　　　C.a76　　　　D.a32
答案　C
3.(新教材人教A版必修第一册P115T2改编)若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点2,13,则f(-1)= (　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.3
答案　C
4.(新教材人教A版必修第一册P115T3改编)某种产品的产量原来是a件,在今后m年内,计划使每年的产量比上一年增加p%,则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为 (　　)
A.y=a(1+p%)x(00,b>0).
解析　(1)原式=1+14×4912−110012=1+14×23−110=1+16−110=1615.
(2)原式=(a3b2a13b23)12ab2a-13b13=a32+16-1+13b1+13-2-13=ab.
名师点评
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的,无括号的先进行指数运算.
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是负数的,先确定符号;底数是小数的,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.
(4)若是根式,则化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.
▶提醒　运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数幂,形式要统一.
指数函数的图象及应用
　　典例1　(1)在同一平面直角坐标系中,如果a>0且a≠1,那么函数f(x)=xa与g(x)=a-x在[0,+∞)上的图象可能是 (　　)

(2)(多选题)已知实数a,b满足等式12a=13b,则下列关系式中不可能成立的是(　　)
A.0