数学1 因式分解单元测试练习

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专题04 因式分解（满分：100分 时间：90分钟）班级_________     姓名_________     学号_________     分数_________一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)1．（2020·广东深圳市八年级期中）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）A．(a＋2)(a－2)＝a2－4 B．a2－a－2＝a(a－1)－2C．x2－9＝(x－3)2 D．a2b－ab2＝ab(a－b)【答案】D【分析】直接利用因式分解的定义分析得出答案．【详解】解：A、（a+2）（a-2）=a2-4，从左到右的变形是整式的乘法运算，不是因式分解，故此选项不符合题意；B、a2－a－2＝a(a－1)－2，从左到右的变形，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、x2-9=（x-3）（x+3），故此选项不符合题意；D、a2b-ab2=ab（a-b），从左到右的变形，是因式分解，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查了因式分解，正确把握因式分解的定义是解题关键．2．（2020·辽宁锦州市·八年级期末）多项式-16分解因式的正确结果是（ ）A．-16(a+b) (a-b) B．-4(4a+b) (4a-b)C．-4(2a+b) (2a-b) D．4(2a+b) (2a-b)【答案】C【分析】先提取公因式，后运用平方差公式分解即可．【详解】∵-16= -4（）= -4[]= -4(2a+b) (2a-b)故选C．【点睛】本题考查了因式分解，按照先提取公因式法分解，再套用公式法分解是解题的关键．3．（2020·重庆市八年级期末）若，，则代数式的值是（    ）．A．-6 B．-5 C．1 D．6【答案】A【分析】由提公因式进行化简，然后把，代入计算，即可得到答案．【详解】解：∵，，∴；故选：A．【点睛】本题考查了提公因式法，以及求代数式的值，解题的关键是正确的把代数式进行化简．4．（2020·浙江杭州市·八年级期末）已知，，则M与N的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用完全平方公式把N-M变形，根据偶次方的非负性解答．【详解】解：N-M=（m2-3m）-（m-4）=m2-3m-m+4=m2-4m+4=（m-2）2≥0，∴N-M≥0，即M≤N，故选：B．【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．5．（2020·河南南阳市期末）下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【详解】A、能用完全平方公式分解因式，不符合题意；B、能用完全平方公式分解因式，不符合题意；C、不能用完全平方公式分解因式，符合题意；D、能用完全平方公式分解因式，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6．（2020·湖北鄂州市八年级期末）下列各组多项式中没有公因式的是（    ）．A．3x－2与 6x2－4x B．与C．mx—my与 ny—nx D．ab—ac与 ab—bc【答案】D【分析】根据公因式的定义可直接进行排除选项．【详解】A、由，所以与有公因式，故不符合题意；B、由可得公因式为，故不符合题意；C、由可得公因式为，故不符合题意；D、由可得没有公因式，故符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查提取公因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．7．（2020·广东汕头市·八年级期末）因式分解，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（    ）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根据甲看错了a的值，将分解的结果展开，能求出正确的b的值，乙看错了b的值，可以求出a的值，再因式分解即可得到答案．【详解】解：∵甲看错了a的值∴b是正确的∵=∴b=-6∵乙看错了b的值∴a是正确的∵=∴a=-1∴=故选：B．【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练因式分解以及计算是解决本题的关键．8．（2020·山东青岛市·八年级期末）下列四个多项式中，可以因式分解的有（   ）①；②；③；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】逐项观察即可判断．【详解】①不能因式分解；②可用完全平方公式因式分解；③可提取公因式；④可用平方差公式因式分解；故选：C．【点睛】本题考查因式分解的定义，熟记概念并准确判别是解题关键．9．（2020·福建泉州市八年级期中）已知，，则的值是（     ）A．实数 B．正实数 C．负实数 D．非负实数【答案】D【分析】将两个代数式相减，再利用完全平方公式进行因式分解判断即可．【详解】，，∴ ≥0，故选：D．【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握完全平方公式公式是关键．10．（2020·山东烟台市·八年级期中）一次课堂练习，小红做了如下四道因式分解题，你认为小红做得不够完整的一题是（     ）A．a3−a=a（a2−1） B．m2−2mn+n2=（m−n）2C．x2y−xy2=xy（x−y） D．2x2−xy−x=x（2x−y−1）【答案】A【分析】A中还可以利用平方差公式分解；B中直接利用完全平方公式分解；C中提公因式ab即可；D中直接利用平方差公式分解．【详解】解：A、a3-a=a（a2-1）=a（a+1）（a-1），所以此题做的不够完整；
B、a2-2ab+b2=（a-b）2，所以此题分解完整；
C、a2b-ab2=ab（a-b），所以此题分解完整；
D、a2-b2=（a+b）（a-b），所以此题分解完整．
故选：A．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用：若各项有公因式，则先提公因式，然后利用公式法分解．二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)11．（2020·北京市八年级期末）分解因式：_________．【答案】2x（x+2）（x-2）【分析】先提取公因式2x，再利用平方差公式分解即可得．【详解】解：原式=2x（x2-4）=2x（x+2）（x-2）；故答案为：2x（x+2）（x-2）．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和平方差公式．12．（2020·广东惠州市·八年级期末）若，则_____．【答案】2．【分析】先用平方差公式把等式变形，整体代入即可求出的值．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故答案为：2．【点睛】本题考查了平方差公式和求代数式的值，解题关键是恰当利用平方差公式，把等式变形，然后整体代入求值．13．（2020·上海市八年级期中）在实数范围内分解因式：_________．【答案】（x-2+）（x-2-）【分析】根据完全平方公式配方，然后再把5写成（）2利用平方差公式继续分解因式．【详解】解：原式=x2-4x+4-5
=（x-2）2-5
=（x-2+）（x-2-）．
故答案为：（x-2+）（x-2-）．【点睛】本题考查了实数范围内因式分解，主要利用了完全平方公式以及平方差公式，把5写成（）2的形式是解题的关键．14．（2020·四川成都市·八年级期中）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为，宽为的全等小长方形，且．（单位：cm）（1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______．（2）若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，则图中所有裁剪线（虚线部分）长之和______．【答案】    42cm    【分析】（1）根据大矩形面积可以表示为，也可以表示为即可求解；（2）根据题目可知，，利用完全平方公式变形，求出，即可求解．【详解】解：（1）由题知即为大矩形面积，由图知还可用求面积，∴可因式分解为．（2）由题知，，，∴，∵，∴，∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为，即42cm．故答案为：；42cm．【点睛】本题考查了因式分解与完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式和数形结合思想是解题关键．15．（2020·河南南阳市·八年级期末）边长为m、n的长方形的周长为14，面积为10，则的值为_________．【答案】290【分析】根据题意可知m＋n＝7，mn＝10，再由因式分解法将多项式进行分解后，可求出答案．【详解】解：由题意可知：m＋n＝7，mn＝10，原式＝mn（m2＋n2）＝mn[(m+n)2-2mn]=10×(72-2×10)=10×29＝290故答案为：290．【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是熟练运用因式分解法以及完全平方公式的变形公式．三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)16．（2020·重庆市八年级期中）若一个四位数A满足：①千位数字2﹣百位数字2＝后两位数，则称A为“美妙数”．例如：∵62﹣12＝35，∴6135为“美妙数”．②7×（千位数字﹣百位数字）＝后两位数，则称A是“奇特数”．例如：7×（8﹣5）＝21，∴8521为“奇特数”．（1）若一个“美妙数”的千位数字为8，百位数字为7，则这个数是　   　．若一个“美妙数”的后两位数字为16，则这个数是　   　．（2）一个“美妙数”与一个“奇特数”的千位数字均为m，百位数字均为n，且这个“美妙数”比“奇特数”大14，求满足条件的“美妙数”．【答案】（1）8715，4016或5316；（2）8628【分析】（1）根据美妙数的定义进行解答便可；（2）根据新定义表示出美妙数与奇特数，再根据题意列出方程，求得符合每件的解，进而求得结果．【详解】解：（1）∵82﹣72＝15，∴若一个“美妙数”的千位数字为8，百位数字为7，则这个数是8715，∵16＝42﹣02＝52﹣32，∴若一个“美妙数”的后两位数字为16，则这个数是4016或5316，故答案为8715；4016或5316；（2）根据题意得，（1000m+100n+m2﹣n2）﹣[1000m+100n+7（m﹣n）]＝14，化简得（m﹣n）（m+n﹣7）＝14，∵m、n均为整数，且1≤m≤9，0≤n≤9，∴m＝8，n＝6，∴满足条件的“美妙数”为，1000m+100n+m2﹣n2＝8628．【点睛】本题主要考查了新定义，整数的计算，因式分解的应用，关键是根据新定义列出代数式和方程．17．（2020·辽宁锦州市·八年级期中）将下列各式因式分解：（1）6p（p+q）﹣4q（q+p）．         （2）﹣3ma3+6ma2﹣3ma．【答案】（1）2(p+q)( 3p﹣2q)；（2）﹣3ma(a-1)2．【分析】（1）用提取公因式法因式分解即可；（2）用提取公因式法和公式法因式分解即可【详解】（1）6p（p+q）﹣4q（q+p）=2(p+q)( 3p﹣2q)；（2）﹣3ma3+6ma2﹣3ma=﹣3ma（a2﹣2a+1）＝﹣3ma(a-1)2．【点睛】本题主要考查因式分解，灵活选择因式分解的方法是解题的关键．18．（2020·广东深圳市·八年级期中）阅读下面的用配方法分解因式的过程，然后完成下列问题：，（1）模仿：根据材料运用配方法分解因式；（2）领悟：；（3）应用：已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足，求这个等腰三角形的周长【答案】（1）；（2）；（3）10或11【分析】（1）阅读配方法：把，再利用平方差公式分解因式即可得到答案；（2）直接利用新定义配方可得答案；（3）把的左边化为两个完全平方式的和，再利用非负数的性质结合等腰三角形的定义解题即可得到答案．【详解】解：（1） （2），故答案为： （3）解：原方程可变形为： ①若3为该等腰三角形的腰长，则周长为：3+3+4=10；②若4为该等腰三角形的腰长，则周长为：4+4+3=11；综上所述，等腰三角形的周长为10或11．【点睛】本题考查的是利用配方法的应用，利用配方法分解因式，同时考查的是完全平方公式的应用，等腰三角形的定义，掌握以上知识是解题的关键．19．（2020·云南临沧市·八年级期末）探究题．（1）若，，求的值；（2）若实数，且，，求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）首先把两式相加，然后根据完全平方公式计算即可；（2）把两式相减，进一步分组因式分解整理得出答案即可．【详解】解：（1）∵，，两式相加得：，∴，∴；（2）∵，，两式相减得：，∴，∴，∵，∴，则．【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握提取公因式法和完全平方公式，平方差公式是解决问题的关键．20．（2020·江门市八年级期中）阅读下列材料：材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成，如，材料2：因式分解：解：将“”看成一个整体，令，则原式再将“A”还原，得：原式上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．材料3：因式分解：．分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”．请你解答下列问题：（1）根据材料1，把分解因式为____（2）结合上述材料，完成下面小题：①分解因式：；②分解因式：．③分解因式：．【答案】（1）（x-2）（x-4）；（2）①（x-y+1）（x-y+3）；②（m+1）2（m-1）（m+3）；③【分析】（1）根据材料1对分解因式即可；
（2）①根据材料2的整体思想可以对（x-y）2+4（x-y）+3分解因式；
②根据材料1和材料2，令B=m2+2m，即可对m（m+2）（m2+2m-2）-3分解因式．③根据材料3加上4 x2 y2再减去4 x2 y2即可对分解因式．【详解】解：（1）x2-6x+8=（x-2）（x-4）；
（2）①令A=x-y，
则原式=A2+4A+3=（A+1）（A+3），
所以（x-y）2+4（x-y）+3=（x-y+1）（x-y+3）；
②令B=m2+2m，
则原式=（ m2+2m）（m2+2m-2）-3=B（B-2）-3
=B2-2B-3
=（B+1）（B-3），
所以原式=（m2+2m+1）（m2+2m-3）
=（m+1）2（m-1）（m+3）．③【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，可以根据材料中的例子对所求的式子进行因式分解．