第八节　函数与方程学案

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第八节　函数与方程
学习要求:
1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系.
2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在性定理.


　　1.函数零点的概念
(1)定义:对于函数y=f(x),把使① f(x)=0 的实数x叫做函数y=f(x)的零点. 
(2)意义:方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与② x轴 有交点⇔函数y=f(x)有③ 零点 . 
2.函数零点的判定(零点存在性定理)
一般地,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有④ f(a)·f(b)0)的图象与零点的关系

Δ>0
Δ=0
Δ0)的图象



与x轴的交点
⑧ (x1,0), (x2,0)
⑨ (x1,0)
无交点
零点个数
⑩ 两个
一个
无
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. (　　)
(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)0,则函数f(x)在区间(a,b)内 (　　)
A.一定有零点　　　　
B.一定没有零点
C.可能有两个零点　　　　
D.至多有一个零点
答案　C

判断函数零点的个数
　　典例1　(1)(2020湖南怀化高三期末)已知f(x)是R上的偶函数, f(x+π)=f(x),当0≤x≤π2时, f(x)=sin x,则函数y=f(x)-lg|x|的零点个数是 (　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
　　A.12　　　　B.10　　　　C.6　　　　D.5
(2)(2020河北石家庄二模)已知函数f(x)=|log2x|+1,x>0,x+4,x≤0,则y=f(f(x))-3的零点个数为 (　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6
答案　(1)B　(2)C
解析　(1)由f(x+π)=f(x)得函数周期是π,又f(x)是偶函数,且当x∈0,π2时, f(x)=sin x,因此可得f(x)=|sin x|,y=lg|x|是偶函数,作出函数y=f(x)的图象与当x>0时,y=lg|x|=lg x的图象,如图所示,

由图象可知,当x>0时,两函数图象共有5个交点,
又函数y=f(x)与y=lg|x|均为偶函数,
所以函数y=f(x)-lg|x|的零点个数是10,
即函数y=f(x)-lg|x|的零点个数是10.
(2)易知函数y=f(f(x))-3的零点个数,即方程f(f(x))=3的实数根个数,设t=f(x),则f(t)=3,作出f(x)的图象,
如图所示,

结合图象可知,方程f(t)=3有三个实根,t1=-1,t2=14,t3=4,
则f(x)=-1有一个解,f(x)=14有一个解,f(x)=4有三个解,
故方程f(f(x))=3有5个解,
即y=f(f(x))-3的零点个数为5.
名师点评
函数零点个数的判断方法
(1)直接求零点,令f(x)=0,有几个解就有几个零点;
(2)零点存在性定理,要求函数的图象在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)0,-1+lnx=0,解得x=-2或x=e.
因此函数f(x)共有2个零点.
解法二:函数f(x)的图象如图所示,由图象知函数f(x)共有2个零点.

确定零点所在的区间
　　典例2　(1)函数f(x)=ln(x+1)-2x的零点所在的区间是 (　　)
A.12,1　　　　B.(1,e-1)
C.(e-1,2)　　　　D.(2,e)
(2)设函数y=x3与y=12x-2的图象的交点为(x0,y0),若x0∈(n,n+1),n∈N,则x0所在的区间是　　　　. 
答案　(1)C　(2)(1,2)
解析　(1)因为函数f(x)=ln(x+1)-2x在(0,+∞)上单调递增且连续,
又f(e-1)=ln(e-1+1)-2e-1=1−2e-10,
即f(e-1)f(2)