2021-2022学年北京西城区部分学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）（Word版含解析）

这是一份2021-2022学年北京西城区部分学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）（Word版含解析），共28页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年北京西城区部分学校九年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本题共16分，每小题2分
1．抛物线y＝（x﹣1）2+2的对称轴为（　　）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2
2．把一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后，下列变形正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣4）2＝5 D．（x﹣4）2＝3
3．将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（　　）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，△＝b2﹣4ac，则下列四个选项正确的是（　　）

A．b＜0，c＜0，Δ＞0 B．b＞0，c＜0，Δ＞0
C．b＞0，c＜0，Δ＞0 D．b＜0，c＞0，Δ＜0
5．若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+a2﹣4＝0有一个根为0，则a的值为（　　）
A．±2 B．± C．﹣2 D．2
6．下列方程中，无实数根的方程是（　　）
A．x2+3x＝0 B．x2+2x﹣1＝0 C．x2+2x+1＝0 D．x2﹣x+3＝0
7．小高发现，用微波炉加工爆米花时，时间太短，一些颗粒没有充分爆开，时间太长，就糊了．如果将爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a、b、c是常数），小高记录了三次实验的数据（如图）．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（　　）

A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四点，以下推断：①若y1＝y4，则y2＝y3；②若y2＞y3＞y1，则y4＜y1；③当b＝﹣2a时，若y2y3＜0，则y1y4＞0．
所有正确推断的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．一元二次方程x2+3x＝0的解是　 　．
10．抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（2，3），抛物线的对称轴为　 　．
11．二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，若点A（0，y1）和B（﹣3，y2）在此函数图象上，则y1　 　y2（填“＜”“＞”或“＝”）．

12．二次函数y＝ax2﹣2ax﹣m的部分图象如图所示，则方程ax2﹣2ax﹣m＝0的根为 　 　．

13．某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直，如图），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流落地点B离墙的距离OB是　 　．

14．已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）和直线y2＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，当x满足 　 　条件时，y1＞y2．

15．如图表所给二次函数的解析式中，其图象不与x轴相交的是 　 　（填编号）；对于任意的二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0），当a、b、c满足 　 　条件时，图象不与x轴相交．

16．在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B（0，3），可以判断该抛物线的开口方向为 　 　，a的取值范围是 　 　．

三、解答题
17．解下列方程
（1）（x﹣3）2＝25
（2）x2﹣3x﹣1＝0
18．已知a是方程x2﹣2x﹣4＝0的一个实数根，求代数式（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）的值．
19．已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，﹣3），且经过点B（2，5）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．
21．对于抛物线y＝x2﹣4x+3．
（1）它与x轴交点的坐标为 　 　，与y轴交点的坐标为 　 　，顶点坐标为 　 　；
（2）在坐标系中画出此抛物线的图象；
（3）当﹣1＜x＜时，y的取值范围是 　 　．

22．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．
t（s）
0
0.5
1
1.5
2
…
h（m）
0
8.75
15
18.75
20
…
（1）求h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）；
（2）求小球飞行3s时的高度；
（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．

23．在平面直角坐标系xOy中，定义形如y＝（k≠0）的函数，叫做反比例函数，它的图象是双曲线（同学们可以借助列表、描点的方法，画出此类函数的图象）．当k＞0时，图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．
下面，试着解决以下问题：
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点P（1，a）
（1）求点P的坐标及反比例函数的解析式；
（2）点Q（n，0）是x轴上的一个动点，若PQ≤5，直接写出n的取值范围．

四.解答题
24．悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结构主要承重构件的桥梁．其缆索几何形状一般近似于抛物线．从缆索垂下许多吊杆（吊杆垂直于桥面），把桥面吊住．
某悬索桥（如图1），是连接两个地区的重要通道．图2是该悬索桥的示意图．小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引．他通过查找资料了解到此桥的相关信息：这座桥的缆索（即图2中桥上方的曲线）的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即AB＝CD，两个索塔均与桥面垂直．主桥AC的长为600m，引桥CE的长为124m．缆索最低处的吊杆MN长为3m，桥面上与点M相距100m处的吊杆PQ长为13m．若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息，建立适当的平面直角坐标系，求出索塔顶端D与锚点E的距离．

25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．
（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．求抛物线的表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；
（3）当m＝4时，抛物线上有两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，试判断y1与y2的大小，并说明理由．

26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）经过点A（﹣1，0），将点B（0，4）向右平移5个单位长度，得到点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
27．对于平面直角坐标系xOy中的点P和正方形给出如下定义：若正方形的对角线交于点O，四条边分别和坐标轴平行，我们称该正方形为原点正方形．当原点正方形上存在点Q，满足PQ≤1时，称点P为原点正方形的友好点．

（1）当原点正方形边长为4时，
①在点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（3，2）中，原点正方形的友好点是　 　；
②点P在直线y＝x的图象上，若点P为原点正方形的友好点，求点P横坐标的取值范围；
（2）一次函数y＝﹣x+2的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，若线段AB上存在原点正方形的友好点，直接写出原点正方形边长a的取值范围．


参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分
1．抛物线y＝（x﹣1）2+2的对称轴为（　　）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2
【分析】由抛物线解析式可求得答案．
解：
∵y＝（x﹣1）2+2，
∴对称轴为直线x＝1，
故选：A．
2．把一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后，下列变形正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣4）2＝5 D．（x﹣4）2＝3
【分析】移项，配方，变形后即可得出答案．
解：x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝1+4，
（x﹣2）2＝5，
故选：A．
3．将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（　　）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
解：∵y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2），
∴将抛物线y＝﹣3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2．
故选：D．
4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，△＝b2﹣4ac，则下列四个选项正确的是（　　）

A．b＜0，c＜0，Δ＞0 B．b＞0，c＜0，Δ＞0
C．b＞0，c＜0，Δ＞0 D．b＜0，c＞0，Δ＜0
【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定b的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定△的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案．
解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴﹣＞0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴c＜0，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
故选：A．
5．若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+a2﹣4＝0有一个根为0，则a的值为（　　）
A．±2 B．± C．﹣2 D．2
【分析】根据一元二次方程的解定义把x＝0代入一元二次方程得a2﹣4＝0，解得a＝±2，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．
解：把x＝0代入方程，得a2﹣4＝0，
解得 a＝2或a＝﹣2，
而a﹣2≠0，
所以a的值为﹣2．
故选：C．
6．下列方程中，无实数根的方程是（　　）
A．x2+3x＝0 B．x2+2x﹣1＝0 C．x2+2x+1＝0 D．x2﹣x+3＝0
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可分别找出四个选项中方程的根的判别式△的值，取Δ＜0的选项即可得出结论．
解：A、∵Δ＝32﹣4×1×0＝9＞0，
∴方程x2+3x＝0有两个不相等的实数根，选项A不符合题意；
B、∵Δ＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，选项B不符合题意；
C、∵Δ＝22﹣4×1×1＝0，
∴方程x2+2x+1＝0有两个相等的实数根，选项C不符合题意；
D、∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×3＝﹣11＜0，
∴方程x2﹣x+3＝0没有实数根，选项D符合题意．
故选：D．
7．小高发现，用微波炉加工爆米花时，时间太短，一些颗粒没有充分爆开，时间太长，就糊了．如果将爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a、b、c是常数），小高记录了三次实验的数据（如图）．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（　　）

A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
【分析】由题意函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数）经过点（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5），列出方程组，推导出p＝﹣0.2t2+1.5t﹣2.2＝﹣0.2（t﹣3.75）2+0.6125，由此能得到最佳加工时间．
解：由题意函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数）经过点（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5），
代入得：，
解得：，
∴p＝﹣0.2t2+1.5t﹣2.2＝﹣0.2（t﹣3.75）2+0.6125，
∴得到最佳加工时间为3.75分钟．
故选：B．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四点，以下推断：①若y1＝y4，则y2＝y3；②若y2＞y3＞y1，则y4＜y1；③当b＝﹣2a时，若y2y3＜0，则y1y4＞0．
所有正确推断的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】利用对称轴的公式对称性和图像结合起来看每个选项，根据到对称轴的距离远近和坐标的大小来判断．
解：①若y1＝y4，对称轴x＝＝＝，则y2＝y3，故①是对的；
②若y2＞y3＞y1，说明a＜0的，开口向下，对称轴x＝﹣，
∴＜x＜，即﹣＜x＜，
则4的对称点范围﹣5＜x＜﹣3，则y4＜y1，故②是对的；
③当b＝﹣2a时，则对称轴x＝﹣＝1，
若y2y3＜0，则y2y3异号，y＝0介于y2，y3之间，
又∵﹣3＜﹣1，4＞2，
∴y1，y4同号，
则y1y4＞0．故③是对的；
故选：D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．一元二次方程x2+3x＝0的解是　x1＝0，x2＝﹣3　．
【分析】提公因式后直接解答即可．
解：提公因式得，x（x+3）＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝0，x2＝﹣3．
10．抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（2，3），抛物线的对称轴为　直线x＝1　．
【分析】先根据抛物线上两点的纵坐标相等可知此两点关于对称轴对称，再根据中点坐标公式求出这两点横坐标的中点坐标即可．
解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，3）和B（2，3），
∴此两点关于抛物线的对称轴对称，
∴x＝＝1．
故答案为：直线x＝1．
11．二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，若点A（0，y1）和B（﹣3，y2）在此函数图象上，则y1　＞　y2（填“＜”“＞”或“＝”）．

【分析】根据抛物线的对称性，在对称轴同侧的可根据增减性由自变量x的大小得出函数值y的大小，在对称轴一侧的可根据离对称轴的远近和抛物线的增减性进行判断．
解：点A（0，y1）和B（﹣3，y2）在抛物线对称轴x＝﹣2的两侧，且点A比点B离对称轴要远，因此y1＞y2，
故答案为＞．
12．二次函数y＝ax2﹣2ax﹣m的部分图象如图所示，则方程ax2﹣2ax﹣m＝0的根为 　x＝﹣1或x＝3　．

【分析】ax2﹣2ax﹣m＝0的根为y＝ax2﹣2ax﹣m的图象与x轴的交点的横坐标，根据图象求出抛物线与x轴交点的横坐标即可．
解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣m的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴ax2﹣2ax﹣m＝0的根为x＝﹣1或x＝3，
故答案为：x＝﹣1或x＝3．
13．某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直，如图），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流落地点B离墙的距离OB是　3　．

【分析】由题意可以知道M（1，），A（0，10）用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y＝0时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值．
解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+，由题意，得
10＝a+，
a＝﹣．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+．
当y＝0时，
0＝﹣（x﹣1）2+，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝3．
OB＝3．
故答案为：3
14．已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）和直线y2＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，当x满足 　﹣5＜x＜0　条件时，y1＞y2．

【分析】根据图象，找出二次函数图象在一次函数图象上方的部分的x的取值范围即可．
解：由图象可知，当﹣5＜x＜0时，二次函数图象在一次函数图象上方，
∴使y1＞y2成立的x的取值范围是﹣5＜x＜0．
故答案为：﹣5＜x＜0．
15．如图表所给二次函数的解析式中，其图象不与x轴相交的是 　①　（填编号）；对于任意的二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0），当a、b、c满足 　b2﹣4ac＜0　条件时，图象不与x轴相交．

【分析】根据判别式Δ的值即可确定图象与x轴的交点情况．
解：若图象不与x轴相交，则Δ＜0，
对于y＝4x2+5，Δ＝﹣4×4×5＝﹣80＜0，
∴①不与x轴相交，
对于y＝4x2，Δ＝﹣4×4×0＝0，
∴②与x轴有交点，
对于y＝x2﹣5x，Δ＝（﹣5）2﹣4×1×0＝25＞0，
∴③与x轴有交点，
对于y＝2（x+1）2﹣3，顶点为（﹣1，﹣3），且开口向上，
∴④与x轴有交点，
∴图象不与x轴相交的是①，
对于任意的二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0），
当Δ＝b2﹣4ac＜0时，图象不与x轴相交，
故答案为：①，b2﹣4ac＜0．
16．在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B（0，3），可以判断该抛物线的开口方向为 　下　，a的取值范围是 　﹣3＜a＜0　．

【分析】根据图象得出a＜0，b＜0，由抛物线与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B （0，3），得出a+b＝﹣3，得出﹣3＜a＜0即可．
解：根据图象得：a＜0，b＜0，
∴开口向下，
∵抛物线与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B （0，3），
∴，
∴a+b＝﹣3，
∵b＜0，
∴﹣3＜a＜0．
故答案为：下，﹣3＜a＜0．
三、解答题
17．解下列方程
（1）（x﹣3）2＝25
（2）x2﹣3x﹣1＝0
【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
解：（1）解：（x﹣3）2＝25，
开方得：x﹣3＝±5，
解得：x1＝8，x2＝﹣2；

（2）x2﹣3x﹣1＝0，
b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13，
x＝，
x1＝，x2＝．
18．已知a是方程x2﹣2x﹣4＝0的一个实数根，求代数式（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）的值．
【分析】将x＝a代人方程，得到a2﹣2a＝4，然后整体代人即可．
解：∵a是方程x2﹣2x﹣4＝0的一个实数根，
∴a2﹣2a＝4，
∴原式＝a2﹣4a+4+a2﹣1
＝2a2﹣4a+3
＝2（a2﹣2a）+3
＝2×4+3
＝11．
19．已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，﹣3），且经过点B（2，5）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）利用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式即可．
解：（1）把点（0，﹣3），（2，5）代入y＝x2+bx+c，
得，，解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）y＝x2+2x﹣3
＝x2+2x+1﹣1﹣3
＝（x+1）2﹣4．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．
（2）根据因式分解法求出两根，然后列出不等式即可求出答案．
解：（1）由题意可知：Δ＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2
∵（m﹣2）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）由题意可知：x＝m﹣1或x＝1
∵方程有一个根为负数，
∴m﹣1＜0．
∴m＜1．
21．对于抛物线y＝x2﹣4x+3．
（1）它与x轴交点的坐标为 　（1，0），（3，0）　，与y轴交点的坐标为 　（0，3）　，顶点坐标为 　（2，﹣1）　；
（2）在坐标系中画出此抛物线的图象；
（3）当﹣1＜x＜时，y的取值范围是 　﹣1≤y＜8．　．

【分析】（1）设y＝0，求出x的值，即可确定图象与x轴的交点坐标，取x＝0，求出y的值，即可确定图象与y轴的交点坐标，将该函数的一般式化成顶点式，即可确定顶点坐标；
（2）根据抛物线的顶点，与坐标轴的交点即可画出图象；
（3）根据图象先确定x＝﹣1和x＝时y的值，在由图象的增减性即可得出答案．
解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
取y＝0，则（x﹣2）2﹣1＝0，
解得x＝1或x＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0），
取x＝0，则y＝3，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），
由抛物线的顶点式可得顶点为（2，﹣1），
故答案为：（1，0），（3，0）；（0，3）；（2，﹣1）；
（2）图象如下：

（3）当x＝﹣1时，y＝（﹣1﹣2）2﹣1＝8，
当x＝2时，y＝﹣1，
当x＝时，y＝，
由图象可知﹣1≤y＜8，
故答案为：﹣1≤y＜8．
22．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．
t（s）
0
0.5
1
1.5
2
…
h（m）
0
8.75
15
18.75
20
…
（1）求h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）；
（2）求小球飞行3s时的高度；
（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．

【分析】（1）设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），然后再根据表格代入t＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20可得关于a、b的方程组，再解即可得到a、b的值，进而可得函数解析式；
（2）根据函数解析式，代入t＝3可得h的值；
（3）把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案．
解：（1）∵t＝0时，h＝0，
∴设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），
∵t＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20，
∴，
解得，
∴h与t之间的函数关系式为h＝﹣5t2+20t；

（2）小球飞行3秒时，t＝3（s），此时h＝﹣5×32+20×3＝15（m）．
答：小球飞行3s时的高度为15米；

（3）∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，
∴小球飞行的最大高度为20m，
∵22＞20，
∴小球的飞行高度不能达到22m．
23．在平面直角坐标系xOy中，定义形如y＝（k≠0）的函数，叫做反比例函数，它的图象是双曲线（同学们可以借助列表、描点的方法，画出此类函数的图象）．当k＞0时，图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．
下面，试着解决以下问题：
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点P（1，a）
（1）求点P的坐标及反比例函数的解析式；
（2）点Q（n，0）是x轴上的一个动点，若PQ≤5，直接写出n的取值范围．

【分析】（1）依据直线y＝x+2与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点P（1，a），即可得到点P的坐标为（1，3），进而得出反比例函数的解析式为y＝．
（2）依据点P的坐标为（1，3），Q（n，0）是x轴上的一个动点，PQ≤5，即可得到n的取值范围为﹣3≤n≤5．
解：（1）∵直线y＝x+2与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点P（1，a），
∴a＝1+2＝3．
∴点P的坐标为（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）∵点P的坐标为（1，3），Q（n，0）是x轴上的一个动点，PQ≤5，
由勾股定理得＝4，
∴1﹣4＝﹣3，1+4＝5，
∴n的取值范围为﹣3≤n≤5．
四.解答题
24．悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结构主要承重构件的桥梁．其缆索几何形状一般近似于抛物线．从缆索垂下许多吊杆（吊杆垂直于桥面），把桥面吊住．
某悬索桥（如图1），是连接两个地区的重要通道．图2是该悬索桥的示意图．小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引．他通过查找资料了解到此桥的相关信息：这座桥的缆索（即图2中桥上方的曲线）的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即AB＝CD，两个索塔均与桥面垂直．主桥AC的长为600m，引桥CE的长为124m．缆索最低处的吊杆MN长为3m，桥面上与点M相距100m处的吊杆PQ长为13m．若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息，建立适当的平面直角坐标系，求出索塔顶端D与锚点E的距离．

【分析】建立平面直角坐标系并求得函数的解析式，令y＝300求得DC的长，然后利用勾股定理求得DE的长即可．
解：如图所示建立平面直角坐标系．
依题意可知MN＝3，PQ＝13，MP＝100，AC＝600，CE＝124，AB＝DC，BA⊥AC，DC⊥AC，MN⊥AC，PQ⊥AC．
由抛物线的对称性可知，NC＝AC＝300．则可得点坐标：M（0，0），N（0，3），Q（100，13）．
设抛物线的表达式为y＝ax2+3，
因为抛物线经过点Q，
所以将点Q的坐标代入得13＝1002a+3．
解得，
得抛物线的表达式为，
当x＝300时，得，
因为DC⊥AC，
所以∠DCE＝90°．
所以．
答：索塔顶端D与锚点E的距离为155米．

25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．
（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．求抛物线的表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；
（3）当m＝4时，抛物线上有两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，试判断y1与y2的大小，并说明理由．

【分析】（1）先根据抛物线和x轴的交点及线段的长，求出抛物线的解析式；
（2）根据平移后抛物线的特点设出抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质求出抛物线解析式；
（3）根据抛物线的解析式判断出点M，N的大概位置，再关键点M，N的横坐标的范围即可得出结论．
解：（1）抛物线 y＝﹣x2+mx+n的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．
∴点 A（﹣5，0），点B（﹣1，0）．
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+5）（ x+1）
∴y＝﹣x2﹣6x﹣5．
（2）如图1，
依题意，设平移后的抛物线表达式为：y＝﹣x2+bx．
∴抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴正半轴交于点C（b，0）．
∴b＞0．
记平移后的抛物线顶点为P，
∴点P的坐标（，），
∵△OCP是等腰直角三角形，
∴＝
∴b＝2．
∴点P的坐标（1，1）．
（3）如图2，
当m＝4时，抛物线表达式为：y＝﹣x2+4x+n．
∴抛物线的对称轴为直线 x＝2．
∵点M（x1，y1）和N（x2，y2）在抛物线上，
且x1＜2，x2＞2，
∴点M在直线x＝2的左侧，点N在直线x＝2的右侧．
∵x1+x2＞4，
∴2﹣x1＜x2﹣2，
∴点M到直线x＝2的距离比点N到直线x＝2的距离近，
∴y1＞y2．


26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）经过点A（﹣1，0），将点B（0，4）向右平移5个单位长度，得到点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【分析】（1）根据平移点的坐标的不变规律，得出答案；
（2）利用抛物线的对称轴的计算方法x＝﹣求得即可；
（3）结合图象，分两种情况，第1种为顶点在BC上，即顶点（1，4），第2种为与y轴的交点在（0，4）以上，抛物线与线段BC恰有一个公共点．
解：（1）根据平移规律，向右平移5个单位，其纵坐标不变，横坐标加5，因此C（5，4），
（2）由抛物线的对称轴的计算方法得：x＝﹣＝1，
（3）如图所示：①当抛物线的顶点在线段BC上时，顶点（1，4），即：a﹣2a﹣3a＝4，解得：a＝﹣1，
②当抛物线与y轴交点在（0，4）以上，即：﹣3a＞4，解得：a＜﹣，
综上所述：a＜﹣或a＝﹣1．

27．对于平面直角坐标系xOy中的点P和正方形给出如下定义：若正方形的对角线交于点O，四条边分别和坐标轴平行，我们称该正方形为原点正方形．当原点正方形上存在点Q，满足PQ≤1时，称点P为原点正方形的友好点．

（1）当原点正方形边长为4时，
①在点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（3，2）中，原点正方形的友好点是　P₂和P₃　；
②点P在直线y＝x的图象上，若点P为原点正方形的友好点，求点P横坐标的取值范围；
（2）一次函数y＝﹣x+2的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，若线段AB上存在原点正方形的友好点，直接写出原点正方形边长a的取值范围．
【分析】（1）由已知结合图象，找到点P所在的区域；
（2）分别求出点A与B的坐标，由线段AB的位置，通过做圆确定正方形的位置．
解：（1）①∵原点正方形边长为4，

当P1（0，0）时，正方形上与P1的最小距离是2，故不存在Q使P1Q≤1；
当P2（﹣1，1）时，存在Q（﹣2，1），使P2Q≤1；
当P3（3，2）时，存在Q（2，2），使P3Q≤1；
故答案为P₂、P₃；
②如图所示：阴影部分就是原点正方形友好点P的范围，
由计算可得，点P横坐标的取值范围是：
1≤x≤2+或﹣2﹣≤x≤﹣1；
（2）一次函数y＝﹣x+2的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，
∴A（2，0），B（0，2），
∵线段AB上存在原点正方形的友好点，
如图所示：
原点正方形边长a的取值范围2﹣≤a≤6．