2021年广东省深圳市罗湖区中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2021年广东省深圳市罗湖区中考数学一模试卷（含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年广东省深圳市罗湖区中考数学一模试卷
一、选择题（本部分共10小题，每小题3分每小题给出4个选项，其中只有一个选项是正确的.）
1．（3分）﹣2的绝对值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
2．（3分）下列立体图形中，俯视图是正方形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）未来三年，国家将投入8450亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题．将8450亿元用科学记数法表示为（　　）
A．0.845×104亿元 B．8.45×103亿元
C．8.45×104亿元 D．84.5×102亿元
4．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）某市6月份某周气温（单位：℃）为23、25、28、25、28、31、28，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．25、25 B．28、28 C．25、28 D．28、31
6．（3分）下列命题是假命题的是（　　）
A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等
B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等
C．平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦
D．同弧所对的圆周角相等
7．（3分）已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费（　　）
A．17元 B．19元 C．21元 D．23元
8．（3分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的度数是（　　）

A．70° B．44° C．34° D．24°
9．（3分）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（　　）

A． B．1 C． D．2
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E、F，连接EM，则下列结论中：①BF＝CE；②∠AEM＝∠DEM；③CF•DM＝BM•DE；④DE2+DF2＝2DM2，其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（3分）分解因式：x2y﹣y3＝　 　．
12．（3分）有两双完全相同的鞋，从中任取两只，恰好成为一双的概率为　 　．
13．（3分）对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p、q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝　 　．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过点P作PE⊥PA交CD于E，将△PEC沿PE翻折到平面内，使点C恰好落在AD边上的点F，则BP长为 　 　．

15．（3分）如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上，△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD，OD＝3，OC＝5，则k的值为　 　．

三、解答题（本题共小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题10分，共55分）
16．（5分）计算：﹣4sin45°+（﹣π）0﹣（）﹣1．
17．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝﹣1．
18．（8分）某校为了解本校九年级学生2020年适应性考试数学成绩，现从九年级学生中随机抽取部分学生的适应性考试数学成绩，按A，B，C，D四个等级进行统计，并将统计结果绘成如图所示不完整的统计图，请根据统计图中的信息回答下列问题：

（说明：A等级：80～100分，B等级：70～80分，C等级：60～70分，D等级：0～60分，每组中包含最小值不包含最大值，但是80～100分既包含最小值又包含最大值）
（1）此次抽查的人数为　 　．
（2）补全条形统计图，补充完整．
（3）扇形统计图中D等级所对的圆心角的度数是　 　．
（4）从该校九年级的学生中随机抽查1人，数学成绩是A等级的概率是　 　．
19．（8分）如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，分别将△ABD、△ACD沿AB、AC对折，得到△ABE、△ACF，延长EB、FC相交于G点．
（1）求证：四边形AEGF是正方形；
（2）若BD＝2，DC＝3，求AD的长．

20．（8分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．

21．（10分）问题：如图1，⊙O中，AB是直径，AC＝BC，点D是劣弧BC上任一点．（不与点B、C重合）
求证：为定值．
思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明△ACE≌△BCD．按思路完成下列证明过程．
证明：在AD上截取点E．使AE＝BD．连接CE．
运用：如图2，在平面直角坐标系中，⊙O1与x轴相切于点A（3，0），与轴相交于B、C两点，且BC＝8，连接AB，O1B．

（1）OB的长为 　 　．
（2）如图3，过A、B两点作⊙O2与y轴的负半轴交于点M，与O1B的延长线交于点N，连接AM、MN，当⊙O2的大小变化时，问BM﹣BN的值是否变化，为什么？如果不变，请求出BM﹣BN的值．
22．（10分）如图1，已知抛物线y＝﹣（x+3）（x﹣4）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）写出A、B、C三点的坐标．
（2）若点P为△OBC内一点，求OP+BP+CP的最小值．
（3）如图2，点Q为对称轴左侧抛物线上一动点，点D（4，0），直线DQ分别与y轴、直线AC交于E、F两点，当△CEF为等腰三角形时，请直接写出CE的长．


2021年广东省深圳市罗湖区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本部分共10小题，每小题3分每小题给出4个选项，其中只有一个选项是正确的.）
1．（3分）﹣2的绝对值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．
【解答】解：|﹣2|＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值的定义，关键是利用了绝对值的性质．
2．（3分）下列立体图形中，俯视图是正方形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】俯视图是从物体上面看，所得到的图形．
【解答】解：A、圆柱的俯视图是圆，故此选项错误；
B、正方体的俯视图是正方形，故此选项正确；
C、三棱锥的俯视图是三角形，故此选项错误；
D、圆锥的俯视图是带圆心的圆，故此选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3．（3分）未来三年，国家将投入8450亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题．将8450亿元用科学记数法表示为（　　）
A．0.845×104亿元 B．8.45×103亿元
C．8.45×104亿元 D．84.5×102亿元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将8450亿元用科学记数法表示为8.45×103亿元．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
5．（3分）某市6月份某周气温（单位：℃）为23、25、28、25、28、31、28，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．25、25 B．28、28 C．25、28 D．28、31
【分析】根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数
【解答】解：将这组数据从小到大的顺序排列23，25，25，28，28，28，31，
在这一组数据中28是出现次数最多的，故众数是28℃．
处于中间位置的那个数是28，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是28℃；
故选：B．
【点评】本题为统计题，考查中位数与众数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
6．（3分）下列命题是假命题的是（　　）
A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等
B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等
C．平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦
D．同弧所对的圆周角相等
【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系、垂径定理、圆周角定理判断即可．
【解答】解：A、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，本选项说法是假命题；
B、在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，本选项说法是真命题；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，本选项说法是真命题；
D、同弧所对的圆周角相等，本选项说法是真命题；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．（3分）已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费（　　）
A．17元 B．19元 C．21元 D．23元
【分析】根据题意列出算式计算，即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：13+（8﹣5）×2＝13+6＝19（元）．
则需要付费19元．
故选：B．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的度数是（　　）

A．70° B．44° C．34° D．24°
【分析】由AB＝BD，∠B＝40°得到∠ADB＝70°，再根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝BD，∠B＝40°，
∴∠ADB＝70°，
∵∠C＝36°，
∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝34°．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形外角性质的应用．
9．（3分）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（　　）

A． B．1 C． D．2
【分析】根据题意平移AB使A点与P点重合，进而得出，△QPB′是直角三角形，再利用tan∠QMB＝tan∠P＝，进而求出答案．
【解答】解：如图所示：平移AB使A点与P点重合，连接B′Q，
可得∠QMB＝∠P，
∵PB′＝2，PQ＝2，B′Q＝4，
∴PB′2+QB′2＝PQ2，
∴△QPB′是直角三角形，
∴tan∠QMB＝tan∠P＝＝＝2．
故选：D．

【点评】此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系，正确得出△QPB′是直角三角形是解题关键．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E、F，连接EM，则下列结论中：①BF＝CE；②∠AEM＝∠DEM；③CF•DM＝BM•DE；④DE2+DF2＝2DM2，其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】证明△BCF≌△CAE，得到BF＝CE，可判断①；再证明△BFM≌△CEM，从而判断△EMF为等腰直角三角形，得到∠MEF＝∠MFE＝45°，可判断②；证明△CDM∽ADE，得到对应边成比例，结合BM＝CM，AE＝CF，可判断③；证明△DFM≌△NEM，得到△DMN为等腰直角三角形，得到DN＝DM，可判断④．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠ACE＝90°，
∵∠BCF+∠CBF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
又∵∠BFD＝90°＝∠AEC，AC＝BC，
∴△BCF≌△CAE（AAS），
∴BF＝CE，故①正确；
由全等可得：AE＝CF，BF＝CE，
∴AE﹣CE＝CF﹣CE＝EF，
如图，连接FM，CM，

∵点M是AB中点，
∴CM＝AB＝BM＝AM，CM⊥AB，
在△BDF和△CDM中，∠BFD＝∠CMD，∠BDF＝∠CDM，
∴∠DBF＝∠DCM，
又BM＝CM，BF＝CE，
∴△BFM≌△CEM（SAS），
∴FM＝EM，∠BMF＝∠CME，
∵∠BMC＝90°，
∴∠EMF＝90°，即△EMF为等腰直角三角形，
∴∠MEF＝∠MFE＝45°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠MEF＝∠AEM＝45°，故②正确，
∵∠CDM＝∠ADE，∠CMD＝∠AED＝90°，
∴△CDM∽△ADE，
∴＝＝，
∵BM＝CM，AE＝CF，
∴＝，
∴CF•DM＝BM•DE，故③正确；
如图，设AE与CM交于点N，连接DN，

∵∠DMF＝∠NME，FM＝EM，∠DFM＝∠DEM＝∠AEM＝45°，
∴△DFM≌△NEM（ASA），
∴DF＝EN，DM＝MN，
∴△DMN为等腰直角三角形，
∴DN＝DM，而∠DEA＝90°，
∴DE2+DF2＝DN2＝2DM2，故④正确；
故正确结论为：①②③④．共4个．
故选：D．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等量代换，难度较大，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．
二、填空题
11．（3分）分解因式：x2y﹣y3＝　y（x+y）（x﹣y）　．
【分析】先提取公因式y，再利用平方差公式进行二次分解．
【解答】解：x2y﹣y3
＝y（x2﹣y2）
＝y（x+y）（x﹣y）．
故答案为：y（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解是解题的关键，分解要彻底．
12．（3分）有两双完全相同的鞋，从中任取两只，恰好成为一双的概率为　　．
【分析】设其中一双鞋分别为a，a′；画出树状图，可知共有12种情况，能配成一双的有8种情况，根据概率公式计算即可；
【解答】解：设其中一双鞋分别为a，a′；
画树状图得：

∵共有12种情况，能配成一双的有8种情况，
∴取出两只刚好配一双鞋的概率是：＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（3分）对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p、q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝　2或﹣1　．
【分析】首先理解题意，进而可得min{（x﹣1）2，x2}＝1时分情况讨论：当（x﹣1）2＝1时；x2＝1时；进而可得答案．
【解答】解：∵min{（x﹣1）2，x2}＝1，
当（x﹣1）2＝1时，解得x＝2或0，
x＝0时，不符合题意，
∴x＝2．
当x2＝1时，解得x＝1或﹣1，
x＝1不符合题意，
∴x＝﹣1，
故答案为：2或﹣1．
【点评】此题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，实数的比较大小，以及分类思想的运用，关键是正确理解题意．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过点P作PE⊥PA交CD于E，将△PEC沿PE翻折到平面内，使点C恰好落在AD边上的点F，则BP长为 　或1　．

【分析】作PH⊥AD于H，如图，设BP＝x，则CP＝2﹣x，利用等角的余角相等得到∠1＝∠3，则根据相似三角形的判定得到Rt△ABP∽Rt△PCE，利用相似比、折叠的性质得表示相应的线段，然后证明Rt△PHF∽Rt△FDE，利用相似比得到FD，在Rt△DFE中，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：作PH⊥AD于H，如图，设BP＝x，则CP＝2﹣x．

∵PE⊥PA，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
∴Rt△ABP∽Rt△PCE，
∴．即．
∴CE＝x（2﹣x）．
∵△PEC沿PE翻折到△PEF位置，使点F落到AD上，
∴EF＝CE＝x（2﹣x），PF＝PC＝2﹣x，∠PGE＝∠C＝90°，
∴DE＝DC﹣CE＝1﹣x（2﹣x）＝（x﹣1）2．
∴∠5+∠6＝90°．
∵∠4+∠6＝90°，
∴∠5＝∠4．
∴Rt△PHF∽Rt△FDE，
∴，即．
∴FD＝x，
在Rt△DFE中，
∵DE2+DF2＝FE2，
∴[（x﹣1）2]2+x2＝[x（2﹣x）]2，
解得x1＝，x2＝1，
∴BP的长为或1．
解法二：过点A作AM⊥BF于M．

∵△PEF由△PEC翻折得到，
∴△PEF≌△PEC，
∴PF＝PC，∠FPE＝∠EPC，
又∵∠BPA+∠EPC＝90°，∠APM+∠EPF＝90°，
∴∠APB＝∠APM，
又∵∠B＝∠AMP＝90°，AP＝AP，
∴△ABP≌△AMP（AAS），
∴AB＝AM＝1，BP＝PM，
令BP＝x，则PC＝PF＝2﹣x，BP＝PM＝x，
∴MF＝2﹣x﹣x＝2﹣2x，
∵AD∥BC，
∴∠APB＝∠PAD，
又∵∠APB＝∠APF，
∴△APF为等腰三角形，
∴AF＝PF＝2﹣x，
在△AMF中，AF2＝AM2+MF2，
∴（2﹣x）2＝12+（2﹣2x）2，
∴x＝1或．
故答案为：或1．
【点评】本题考查了折叠的性质、相似三角形的性质和判定，证得Rt△ABP∽Rt△PCE、Rt△PHG∽Rt△GDE是解题的关键．
15．（3分）如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上，△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD，OD＝3，OC＝5，则k的值为　　．

【分析】作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H，连接OP．利用角平分线的性质得出PM＝PN，可以假设P（m，m），则k＝m2，利用勾股定理得到m2+m2＝OP2，通过证得△COP∽△POD，得到OP2＝OC•OD＝5×3＝15，即可求得k的值．
【解答】解：作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H，连接OP．
∵△AOB的两条外角平分线交于点P，
∴PM＝PH，PN＝PH，
∴PM＝PN，
∴可以假设P（m，m），
∵P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，
∴k＝m2，
∵∠POA＝∠POB＝∠CPD＝45°，
∴∠COP＝∠POD＝135°，
∵∠POB＝∠PCO+∠OPC＝45°，∠APO+∠OPD＝45°，
∴∠PCO＝∠OPD，
∴△COP∽△POD，
∴OP2＝OC•OD＝5×3＝15，
∴OP＝，
根据勾股定理，m2+m2＝15，
∴k＝m2＝
故答案为．

【点评】本题属于考查了反比例函数的应用，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
三、解答题（本题共小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题10分，共55分）
16．（5分）计算：﹣4sin45°+（﹣π）0﹣（）﹣1．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣4×+1﹣2
＝3﹣2+1﹣2
＝﹣1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
17．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝﹣1．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：当x＝﹣1时，
原式＝×
＝3x+2
＝﹣1
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
18．（8分）某校为了解本校九年级学生2020年适应性考试数学成绩，现从九年级学生中随机抽取部分学生的适应性考试数学成绩，按A，B，C，D四个等级进行统计，并将统计结果绘成如图所示不完整的统计图，请根据统计图中的信息回答下列问题：

（说明：A等级：80～100分，B等级：70～80分，C等级：60～70分，D等级：0～60分，每组中包含最小值不包含最大值，但是80～100分既包含最小值又包含最大值）
（1）此次抽查的人数为　150　．
（2）补全条形统计图，补充完整．
（3）扇形统计图中D等级所对的圆心角的度数是　36°　．
（4）从该校九年级的学生中随机抽查1人，数学成绩是A等级的概率是　　．
【分析】（1）根据统计图可知，C等级有36人，占调查人数的24%，从而可以得到本次抽查的学生数；
（2）根据（1）中求得的抽查人数可以求得A等级的学生数，从而可以将统计图补充完整；
（3）用360°乘以D等级人数所占比例即可；
（4）用样本中A等级人数除以被调查的总人数即可．
【解答】解：（1）此次抽查的学生有：36÷24%＝150（人）；
故答案为：150；
（2）A等级的学生数是：150×20%＝30（人），
补全统计图如下：

（3）扇形统计图中D等级所对的圆心角的度数是360°×＝36°，
故答案为：36°；
（4）从该校九年级的学生中随机抽查1人，数学成绩是A等级的概率是＝，
故答案为：．
【点评】本题考查概率、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
19．（8分）如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，分别将△ABD、△ACD沿AB、AC对折，得到△ABE、△ACF，延长EB、FC相交于G点．
（1）求证：四边形AEGF是正方形；
（2）若BD＝2，DC＝3，求AD的长．

【分析】（1）根据邻边相等的矩形是正方形证明即可．
（2）设正方形AEGF的边长是x．则BG＝EC﹣BE＝x﹣2，CG＝FG﹣CF＝x﹣3，在直角△BGC中利用勾股定理即可得到关于x的方程，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
用翻折的性质可知，
∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°，AE＝AD＝AF，∠BAD＝∠BAE，∠CAD＝∠CAF，
∵∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝90°，
∴四边形AEGF是矩形，
∵AE＝AF，
∴四边形AEGF是正方形．

（2）解：根据对称的性质可得：BE＝BD＝2，CF＝CD＝3，
设AD＝x，则正方形AEGF的边长是x，
则BG＝EG﹣BE＝x﹣2，CG＝FG﹣CF＝x﹣3，
在直角△BCG中，根据勾股定理可得：（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52，
解得：x＝6或﹣1（舍去）．
∴AD＝6．
【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
20．（8分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．

【分析】（1）根据题意得出长×宽＝192，进而得出答案；
（2）由题意可得出：S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，再利用二次函数增减性求得最值．
【解答】解：（1）∵AB＝x，则BC＝（28﹣x），
∴x（28﹣x）＝192，
解得：x1＝12，x2＝16，
答：x的值为12或16；

（2）∵AB＝xm，
∴BC＝28﹣x，
∴S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，
∵28﹣15＝13，
∴6≤x≤13，
∴当x＝13时，S取到最大值为：S＝﹣（13﹣14）2+196＝195，
答：花园面积S的最大值为195平方米．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．
21．（10分）问题：如图1，⊙O中，AB是直径，AC＝BC，点D是劣弧BC上任一点．（不与点B、C重合）
求证：为定值．
思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明△ACE≌△BCD．按思路完成下列证明过程．
证明：在AD上截取点E．使AE＝BD．连接CE．
运用：如图2，在平面直角坐标系中，⊙O1与x轴相切于点A（3，0），与轴相交于B、C两点，且BC＝8，连接AB，O1B．

（1）OB的长为 　1　．
（2）如图3，过A、B两点作⊙O2与y轴的负半轴交于点M，与O1B的延长线交于点N，连接AM、MN，当⊙O2的大小变化时，问BM﹣BN的值是否变化，为什么？如果不变，请求出BM﹣BN的值．
【分析】证明：在AD上截取AE＝BD，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠CAD＝∠CBD，然后证明△ACE≌△BCD，然后根据角的等量代换得出∠ECD＝90°，进而得出△ECD为等腰直角三角形，用ED表示CD，因为ED＝AD﹣BD最后即可得出结论；
（1）连接O1A，过O1作O1H⊥BC于点H，根据垂径定理和勾股定理求出O1B的长度，根据切线的性质得出O1A⊥x轴，得到OH＝5，进而即可得出结果；
（2）在图2中先根据平行和O1A＝O1B得出∠ABO1＝∠ABO，然后在MB上取一点G，使MG＝BN构造全等，证明△AMG≌△ANB，得到AG＝AB，然后根据等腰三角形三线合一得出BG＝2，再根据等量代换即可得到结论．
【解答】证明：如图1，在AD上截AE＝BD，

∵，
∴∠CAD＝∠CBD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ECD＝90°，
∴△ECD是等腰直角三角形，
∴CD＝ED，
∵ED＝AD﹣BD，
∴＝，即为定值；
（1）如图2，连接O1A，过O1作O1H⊥BC于点H，

∴CH＝BH＝4，O1H＝3，O1A⊥x轴，
∴O1B＝＝5，
∴O1A＝O1B＝5，
∴HO＝5，
∴OB＝HO﹣HB＝5﹣4＝1，
故答案为：1；
（2）BM﹣BN的值不变，
如图2，
由（1）得，O1A⊥OA，
∵OB⊥AO，
∴O1A∥OB，
∴∠O1BA＝∠OBA，
∵O1A＝O1B，
∴∠O1BA＝∠O1AB，
∴∠ABO1＝∠ABO，
如图3，在MB上取一点G，使MG＝BN，连接AN，AG，

∵∠ABO1＝∠ABO，∠ABO1＝∠AMN，
∴∠ABO＝∠AMN，
∵∠ABO＝∠ANM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴AM＝AN，
∵，
∴∠AMG＝∠ANB，
在△AMG和△ANB中，
，
∴△AMG≌△ANB（SAS），
∴AG＝AB，
∵AO⊥BG，
∴BG＝2BO＝2，
∴BM﹣BN＝BM﹣MG＝BG＝2，即BM﹣BN的值不变．
【点评】本题考查圆的综合题，同弧所对的圆周角相等，两条半径所形成的三角形是等腰三角形，等腰三角形三线合一，垂径定理是解本题的必备知识，利用“截长补短”法证明全等是解本题的关键．
22．（10分）如图1，已知抛物线y＝﹣（x+3）（x﹣4）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）写出A、B、C三点的坐标．
（2）若点P为△OBC内一点，求OP+BP+CP的最小值．
（3）如图2，点Q为对称轴左侧抛物线上一动点，点D（4，0），直线DQ分别与y轴、直线AC交于E、F两点，当△CEF为等腰三角形时，请直接写出CE的长．

【分析】（1）令y＝0，可求出点A，点B的坐标，令x＝0，可得出点C的坐标；
（2）将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BP'C'，连接PP'，CC'，当O，P，P'，C′四点共线，OP+BP+CP的值最小，再在直角三角形中，求出此时的最小值；
（3）需要分类讨论，当CE＝CF，CE＝EF，CF＝EF时，分别求解．
【解答】解：（1）∵y＝﹣（x+3）（x﹣4）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
∴A（﹣3，0），B（4，0），C（0，4）．
（2）将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BP'C'，连接PP'，CC'，
∴BP＝BP'，BC＝BC，∠PBP'＝60°，∠CBC′＝60°，PC＝P'C′，
∴△BPP'和△BCC′为等边三角形，
∴BC′＝BC，PP′＝BP，
当O，P，P'，C′四点共线，OP+BP+CP的值最小，
∴tan∠OBC＝＝＝，
∴∠OBC＝30°，
∴BC＝2OC＝8，
∴BC′＝BC＝8，
∵∠OBC′＝∠OBC+∠CBC′＝30°+60°＝90°，
∴OC′＝＝，
∴OP+BP+CP＝OP+PP'+C'P'＝OC′＝4．

（3）需要分类讨论：
①如图，当CE＝CF，且点F在点C左侧时，过点F作FG⊥CE于点G，则△CFG∽△CAO，

∵OA＝3，OC＝4，
∴AC＝5，
∴FG：GC：FC＝OA：OC：AC＝3：4：5，
设FG＝3m，则CG＝4m，FC＝5m，
∴CE＝FC＝5m，
∴GE＝m，OE＝4﹣5m，
∵△FGE∽△DOE，
∴，
∴，
∴m＝，
∴CE＝5m＝；
当点F在点C右侧时，如图所示，过点F作FG⊥y轴于点G，
则△FCG∽△ACO，
∴FG：GC：FC＝OA：OC：AC＝3：4：5，
设FG＝3m，则CG＝4m，FC＝5m，
∴CE＝FC＝5m，
∴GE＝9m，OE＝5m﹣4，
∵△FGE∽△DOE，
∴，
∴，解得m＝，
∴CE＝5m＝16；

②如图，当CE＝EF时，过点A作AG∥EF交y轴于点G，由EF＝CE，可得，AG＝CG，

设OG＝m，则AG＝CG＝4﹣m，
∵OA2+OG2＝AG2，
∴32+m2＝（4﹣m）2，解得，m＝．
由A（﹣3，0）和G（0，），可得直线AG的解析式为：y＝x+，
设直线DF为：y＝x+b，将D（4，0）代入得：b＝﹣，
∴E（0，﹣），
∴CE＝4+＝．
③如图，当CF＝EF时，过点C作CG∥DE交x轴于点G，则∠GCO＝∠ACO，

∴OG＝OA＝3，
∴G（3，0），
由G（3，0），C（0，4）可得直线CG的解析式为：y＝﹣x+4，
设直线DE为：y＝﹣x+n，将D（4，0）代入得：n＝，
∴E（0，），
∴CE＝﹣4＝．
故CE的长为：或或或16．
【点评】本题主要考查等腰三角形存在性问题，分类讨论，并结合背景图形进行求解是解题关键．
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日期：2021/11/15 14:07:25；用户：张家港二中；邮箱：zjg2z@xyh.com；学号：41479226

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