河北省邢台市四校联考2022届高三上学期期中数学试题

2021~2022学年高三年级上学期期中考试

数学

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

4．本试卷主要考试内容：集合、逻辑、函数、导数、三角函数与解三角形、向量、数列、不等式．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，则（    ）

A．    B．    C．    D．

2．若向量，则（    ）

A．且       B．且

C．且      D．且

3．若各项均不为零的等差数列满足，则（    ）

A．    B．    C．    D．

4．已知函数，命题，则（    ）

A．为幂函数    B．     C．p是真命题    D．p的否定是

5．函数的图象大致为（    ）

A．    B．    C．    D．

6．已知函数，则（    ）

A．    B．    C．    D．

7．函数图象的对称中心的坐标为（    ）

A．          B．

C．       D．

8．2021年小林大学毕业后，9月1日开始工作，他决定给自己开一张储蓄银行卡，每月的10号存钱至该银行卡（假设当天存钱次日到账）．2021年9月10日他给卡上存人1元，以后每月存的钱数比上个月多一倍，则他这张银行卡账上存钱总额（不含银行利息）首次达到1万元的时间为（    ）

A．2022年12月11日    B．2022年11月11日    C．2022年10月11日    D．2022年9月11日

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知函数的定义域为，则（    ）

A．的最大值是最小值的2倍        B．函数为单调递增函数

C．函数的最大值为

D．将的图象向下平移1个单位长度，得到的图象

10．已知角的终边经过点，则（    ）

A．         B．

C．           D．若为钝角，则

11．已知，则（    ）

A．的最小值为9            B．“”是“”的必要不充分条件

C．的最小值为9         D．“”是“”的充分不必要条件

12．已知，函数的零点为b，的极小值点为c，则（    ）

A．    B．    C．    D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13．数列的最小项为_______．

14．定义：两个向量的叉乘的模．在正中，若，则_____________．

15．雾灵山，位于河北承德市兴隆县内．雾灵山历史上曾称伏凌山、孟广硎山、五龙山，明代始称雾灵山．雾灵山主峰的海拔超过1000米，为了测量主峰的海拔，甲和乙分别在海拔都为1000米的A，B两点观测主峰的最高点P（与海拔1000米所在平面垂直，O为垂足，且A，B都在O的正东方向），从A点和B点观测到P点的仰角分别为，，且米，则雾灵山主峰的海拔约为_______米．（结果精确到整数，取）

16．若对恒成立，则a的取值范围是_______________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知定义在上的偶函数的图象经过点，且的最小值为负数．

（1）写出的一个解析式（无需写出过程）；

（2）若是周期为4的函数，求的值．

18．（12分）

的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，且．

（1）求的面积；

（2）若，求的周长．

19．（12分）

已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）讨论零点的个数．

20．（12分）

已知函数．

（1）若至少存在三个，使得，求最小正周期的取值范围；

（2）若在上单调递增，且存在，使得，求的取值范围．

21．（12分）

在数列中，．

（1）求的通项公式．

（2）设的前n项和为，证明：．

22．（12分）

已知函数．

（1）讨论的单调性

（2）若，且正数满足，证明：．

2021~2022学年高三年级上学期期中考试

数学参考答案

1．B  因为，所以．

2．B  因为，所以，又，故选B．

3．A  因为，所以，故．

4．C  不是幂函数，，p的否定是，当且仅当时，．

5．D  ∵，

∴为奇函数，的图象关于原点对称，排除A，B．

当时，，排除C，故选D．

6．C  因为，所以，解得，

则．

7．D  ，令，得，故函数图象的对称中心的坐标为．

8．C  依题意可知，小林从第一个月开始，每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为．因为为增函数，且，所以第14个月的10号存完钱后，他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元，即2022年10月11日他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元．

9．AD  因为在上单调递增，所以的最大值与最小值的比值为．

函数为单调递减函数．由得，所以的定义域为，且为增函数，故．将的图象向下平移1个单位长度，得到的图象．

10．BCD  因为角的终边经过点，所以，

则．

．若为钝角，则由，得．

【注】本题若由，得，不易舍去增根，事实上，角的终边经过点与并不等价．

11．BC  ，当且仅当，即时等号成立，但，则，所以选项A错误．

若，则由，得，所以，则．反之，由不能推出．

故选项B正确．

因为，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为9，选项C正确．

当时，且，但；当时，且，但，

所以“”是“”的既不充分也不必要条件，所以选项D错误．

12．AD  因为，

所以，因为，所以．

，令，得，

则在上单调递增，在单调递减，

所以，又因为，所以，故．

13．5  因为，所以当或5时，取得最小值，且最小值为5．

14．  设边的中点为E，则，则，

故．

15．2117  如图，设米，则，

所以，

则，

故雾灵山主峰的海拔约为米．

16．  设函数，则，从而在上单调递增．由，得，即，则，即．设函数，则．

当时，；当时，．故，则．

17．解：（1）．           4分

【注】本题答案不唯一（例如），只要同时满足定义域为，，，且的最小值小于0即可．

（2）因为是周期为4的函数，所以．            6分

又因为是偶函数，且，               7分

所以．           9分

故．           10分

18．解：（1）由．得，               1分

即．         2分

因为，所以，             3分

整理得，解得或，            4分

故的面积或4．             6分

（2）因为，所以．                 7分

由余弦定理得，                 8分

即，              10分

解得，              11分

故的周长为．            12分

19．解：（1）因为，                1分

所以，              2分

又，               3分

故曲线在点处的切线方程为，

即．            5分

（2）令，得或2．           6分

当时，，则在上单调递增；         7分

当时，，则在上单调递减．           8分

从而的极小值为，极大值为．             9分

当或时，只有一个零点，即零点的个数为1；           10分

当或时，有两个零点，即零点的个数为2；          11分

当时，有三个零点，即零点的个数为3．        12分

20．解：（1）由题意知，的图象在上至少有三个最低点．               1分

因为，所以，              2分

因此，             4分

解得．                  5分

从而，故最小正周期的取值范围是．             6分

（2）依题意得，又，所以．            7分

当时，，            8分

因为，所以，            9分

则，解得，又，所以．          10分

，当时，，又，则．           11分

由，得，即，故的取值范围是．           12分

21．（1）解：∵，∴，         1分

又，∴数列是首项为，公比为的等比数列，        3分

从而，         4分

则．         5分

（2）证明：∵，           6分

∴．            7分

设，则，               8分

两式相减得，         10分

从而，            11分

故．               2分

22．（1）解：．                  1分

当时，，则在上单调递减，在上单调递增．           2分

当时，令，得（舍去），         3分

则在上单调递减，在上单调递增．         5分

（2）证明：由，且，得，

整理得．             7分

令，设函数，

则，所以在上单调递增，在上单调递减，         9分

所以，即．              10分

所以，解得．         12分