中考数学总复习精炼（含答案）：全国各地拉分题特训（二）

这是一份中考数学总复习精炼（含答案）：全国各地拉分题特训（二），共12页。试卷主要包含了50　【特训考点】规律型等内容，欢迎下载使用。

得到△A0A1A2，△A2A3A4，△A4A546，…，其面积分别记为S1，S2，S3，…，则S100为( D )
A.(eq \f(3\r(3),2))100 B.(3eq \r(3))100 C.3eq \r(3)×4199 D.3eq \r(3)×2395
【难度】0.50 【特训考点】规律型：点的坐标；相似三角形的判定和性质；一次函数图象上点的坐标特征.
解析：∵点A0的坐标是(0,1)，∴OA0＝1，
∵点A1在直线y＝eq \f(\r(3),3)x上，∴OA1＝2，A0A1＝eq \r(3)，
∴OA2＝4，∴OA3＝8，∴OA4＝16，得出OAn＝2n，∴AnAn＋1＝2n·eq \r(3)，∴OA198＝2198，A198A199＝2198·eq \r(3)，∵S1＝eq \f(1,2)(4－1)·eq \r(3)＝eq \f(3,2)eq \r(3)，∵A2A1∥A200A199，
∴△A0A1A2∽△A198A199A200，∴eq \f(S100,S1)＝(eq \f(2198·\r(3),\r(3)))2，
∴S100＝2396·eq \f(3\r(3),2)＝3eq \r(3)×2395.
2.如图1，平面内有一点P到△ABC的三个顶点的距离分别为PA，PB，PC，若有PA2＝PB2＋PC2，则称点P为△ABC关于点A的勾股点.矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，E是矩形ABCD内一点，且点C是△ABE关于点A的勾股点，若△ADE是等腰三角形，求AE的长为 eq \r(10)或eq \f(6\r(10),5) .

【难度】0.60 【特训考点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定和性质；新定义问题；分类讨论思想.
解析：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝5，AD＝BC＝6，∴AC2＝AB2＋BC2，∵点C是关于点A的勾股点，∴AC2＝BC2＋CE2，∴CE＝AB＝5.如图，当AD＝DE＝6时，作CF⊥DE于点F，过E作EH⊥AD于H，∵CE＝CD，CF⊥DE，∴DF＝EF＝3，∴CF＝eq \r(CD2－DF2)＝4，∵∠ADE＋∠CDF＝90°，
∠CDF＋∠DCF＝90°，∴∠ADE＝∠DCF，
且∠DHE＝∠CFD＝90°，∴△DHE∽△CDF，
∴eq \f(CD,DE)＝eq \f(DF,HE)＝eq \f(CF,DH)，即eq \f(5,6)＝eq \f(3,HE)＝eq \f(4,DH)，
∴HE＝eq \f(18,5)，DH＝eq \f(24,5)，∴AH＝AD－DH＝eq \f(6,5)，
∴AE＝eq \r(AH2＋HE2)＝eq \f(6\r(10),5).
如图，当AE＝DE时，作EG⊥DC于G，EH⊥AD于H，∵∠ADC＝90°，EG⊥DC，EH⊥AD，
∴四边形EHDG是矩形，∴HD＝EG，HE＝DG，
∵AE＝DE，EH⊥AD，∴AH＝DH＝3＝EG，
∴CG＝eq \r(CE2－HG2)＝4，∴DG＝CD－CG＝1＝HE，∴AE＝eq \r(AH2＋HE2)＝eq \r(10).
3.(绍兴)如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD上，MN，EF交于点P，记k＝MN∶EF.
(1)若a∶b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值；
(2)若a∶b的值为eq \f(1,2)，求k的最大值和最小值；
(3)若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE＝60°，MP＝EF＝3PE时，求a∶b的值.
【难度】0.1 【特训考点】相似形综合题；分类讨论思想.
解：(1)如图1中，作FH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，∵四边形ABCD是正方形，∴FH＝AB，MQ＝BC，∵AB＝CB，∴FH＝MQ，∵EF⊥MN，∴∠EPN＝90°，∵∠ECN＝90°，∴∠MNQ＋∠CEP＝180°，
∠FEH＋∠CEP＝180°，∴∠FEH＝∠MNQ，
∵∠EHF＝∠MQN＝90°，∴△FHE≌△MQN(ASA)，∴MN＝EF，∴k＝MN∶EF＝1；
(2)∵a∶b＝1∶2，∴b＝2a，由题意：
2a≤MN≤eq \r(5)a，a≤EF≤eq \r(5)a，
∴当MN取最大，EF取最短时，k的值最大，最大值为eq \r(5)；当MN取最短，EF取最大时，k的值最小，最小值为eq \f(2\r(5),5)；
(3)连接FN，ME.∵k＝3，MP＝EF＝3PE，
∴eq \f(MN,PM)＝eq \f(EF,PE)＝3，∴eq \f(PN,PM)＝eq \f(PF,PE)＝2，∵∠FPN＝∠EPM，∴△PNF∽△PME，∴eq \f(NF,ME)＝eq \f(PN,PM)＝2，ME∥NF，设PE＝2m，则PF＝4m，MP＝6m，NP＝12m.
①如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与B重合.作FH⊥BD于H.∵∠MPE＝∠FPH＝60°，∴PH＝2m，FH＝2eq \r(3)m，DH＝10m，
∴eq \f(a,b)＝eq \f(AB,AD)＝eq \f(FH,HD)＝eq \f(\r(3),5)；
②如图3中，当点N与C重合，作EH⊥MN于H.则PH＝m，HE＝eq \r(3)m，∴HC＝PH＋PC＝13m，∴tan∠HCE＝eq \f(MB,BC)＝eq \f(HE,HC)＝eq \f(\r(3),13)，∵ME∥FC，∴∠MEB＝∠FCB＝∠CFD，∵∠B＝∠D，∴△MEB∽△CFD，∴eq \f(CD,MB)＝eq \f(FC,ME)＝2，∴eq \f(a,b)＝eq \f(CD,BC)＝eq \f(2MB,BC)＝eq \f(2\r(3),13)，综上所述，a∶b的值为eq \f(\r(3),5)或eq \f(2\r(3),13).
4.(包头)如图，在平面直角坐标系中，已知A(－3，－2)，B(0，－2)，C(－3,0)，M是线段AB上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M，N在直线y＝kx＋b上，则b的最大值是( A )
A.－eq \f(7,8) B.－eq \f(3,4) C.－1 D.0
【难度】0.4 【特训考点】一次函数的性质；函数图象上点的坐标特征.相似三角形的判定和性质；最值问题；动点问题.
解析：连接AC，则四边形ABOC是矩形，
∴∠A＝∠ABO＝90°，又∵MN⊥MC，
∴∠CMN＝90°，∴∠AMC＝∠MNB，
∴△AMC∽△NBM，∴eq \f(AC,MB)＝eq \f(AM,BN)，
设BN＝y，AM＝x.则MB＝3－x，ON＝2－y，
∴eq \f(2,3－x)＝eq \f(x,y)，即：y＝－eq \f(1,2)x2＋eq \f(3,2)x，
∴当x＝－eq \f(b,2a)＝eq \f(3,2)时，y最大＝eq \f(9,8)，
∵直线y＝kx＋b与y轴交于N(0，b)，当BN最大，此时ON最小，∴ON＝OB－BN＝2－eq \f(9,8)＝eq \f(7,8)，此时，N(0，－eq \f(7,8))，b的最大值为－eq \f(7,8).
5.(金华)图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME，EF，FN是门轴的滑动轨道，∠E＝
∠F＝90°，两门AB，CD的门轴A，B，C，D都在滑动轨道上，两门关闭时(图2)，A，D分别在E，F处，门缝忽略不计(即B，C重合)；两门同时开启，A，D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B，C滑动：B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，已知AB＝50 cm，CD＝40 cm.
(1)如图3，当∠ABE＝30°时，BC＝ 90－45eq \r(3) cm.
(2)在(1)的基础上，当A向M方向继续滑动15 cm时，四边形ABCD的面积为 2256 cm2.
【难度】0.6 【特训考点】解直角三角形的应用；动态问题.
解析：∵A，D分别在E，F处，门缝忽略不计(即B，C重合)且AB＝50 cm，CD＝40 cm.∴EF＝90 cm，∵B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，∴B，C两点的路程之比为5∶4；
(1)当∠ABE＝30°时，在Rt△ABE中，BE＝eq \f(\r(3),2)AB＝25eq \r(3) cm，∴B运动的路程为(50－25eq \r(3)) cm，
∵B，C两点的路程之比为5∶4，∴此时点C运动的路程为(50－25eq \r(3))×eq \f(4,5)＝(40－20eq \r(3)) cm，
∴BC＝(50－25eq \r(3))＋(40－20eq \r(3))＝(90－45eq \r(3)) cm；
(2)当A向M方向继续滑动15 cm时，设此时点A运动到了点A′处，点B，C，D分别运动到了点B′，C′，D′处，连接A′D′，如图：则此时AA′＝15 cm，
∴A′E＝15＋25＝40 cm，由勾股定理得：EB′＝30 cm，∴B运动的路程为50－30＝20 cm，∴C运动的路程为16 cm，∴C′F＝40－16＝24 cm，由勾股定理得：
D′F＝32 cm，∴四边形A′B′C′D′的面积＝梯形A′EFD′的面积－△A′EB′的面积－△D′FC′的面积＝eq \f(1,2)×90×(40＋32)－eq \f(1,2)×30×40－eq \f(1,2)＋24×32＝2256(cm2).
6.(杭州)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4.
(1)D，E分别是边AB，BC上一点，且BD＝nBE，连接DE，连接AE，CD交于F.
①如图1，若n＝eq \f(5,4)，求证：eq \f(AF,EF)＝eq \f(CF,DF)；②如图2，若∠ACF＝∠AED，求n的值.
(2)如图3，P是射线AB上一点，Q是边BC上一点，且AP＝3BQ，若∠ARC＝∠CAB，求线段BQ的长度.
【难度】0.2 【特训考点】相似形综合题.
(1)①证明：如图1中，在Rt△ACB中，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝eq \r(32＋42)＝5，∵BD＝eq \f(5,4)BE，∴eq \f(BD,BE)＝eq \f(AB,BC)＝eq \f(5,4)，∴DE∥AC，
∴△DEF∽△CAF，∴eq \f(AF,EF)＝eq \f(CF,DF)；
②解：如图2中，∵∠ACF＝∠DEF，∠AFC＝∠DFE，∴△AFC∽△DFE，∴eq \f(AF,DF)＝eq \f(CF,EF)，∴eq \f(AF,CF)＝eq \f(DF,EF)，又∵∠AFD＝∠CFE，∴△AFD∽△CFE，∴∠ADF＝∠CEF，∵∠CAF＋∠CEF＝90°，∴∠EDF＋∠ADF＝90°，∴∠ADE＝∠BDE＝90°，∴csB＝eq \f(BD,EB)＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(4,5)，∴n＝eq \f(4,5)；
(2)解：如图3中，作CH⊥AB于H.设BQ＝k则AP＝3k.∵S△ABC＝eq \f(1,2)·AC·BC＝eq \f(1,2)·AB·CH，
∴CH＝eq \f(12,5)，AH＝eq \r(AC2－CH2)＝eq \f(9,5)，∴PH＝3k－eq \f(9,5)，
∵∠ARC＝∠APC＋∠PAR，
∠BAC＝∠PAR＋∠CAQ，∠ARC＝∠BAC，
∴∠CAQ＝∠CPH，∵∠ACQ＝∠CHP＝90°，
∴△ACQ∽△PHC，∴eq \f(AC,PH)＝eq \f(CQ,CH)，∴eq \f(3,3k－\f(9,5))＝eq \f(4－k,\f(12,5))，
整理得：5k2－23k＋24＝0，解得k＝eq \f(8,5)或3，
∴BQ＝eq \f(8,5)或3.