2021年广东省广州市天河区中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2021年广东省广州市天河区中考数学一模试卷（含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）2021的相反数是（ ）
A．﹣2021B．2021C．D．﹣
2．（3分）下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线
C．科克曲线D．斐波那契螺旋线
3．（3分）人民网北京2021年1月7日电，截至1月3日6时，我国首次火星探测任务天问一号火星探测器已经在轨飞行约163天，飞行里程突破4亿公里，距离地球接近1.3亿公里，距离火星约830万公里．数据830万公里用科学记数法表示为（ ）
A．8.3×106公里B．8.3×105公里
C．8.3×104公里D．0.83×106公里
4．（3分）已知⊙O与点P在同一平面内，如果⊙O的直径为6，线段OP的长为4，则下列说法正确的是（ ）
A．点P在⊙O上
B．点P在⊙O内
C．点P在⊙O外
D．无法判断点P与⊙O的位置关系
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2B．5a﹣a＝5
C．+＝1D．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3
6．（3分）若方程x2﹣cx+4＝0有两个不相等的实数根，则c的值不能是（ ）
A．c＝10B．c＝5C．c＝﹣5D．c＝4
7．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．﹣5B．5C．﹣5和5D．无法确定
8．（3分）已知a＝﹣1，b＝+1，则a2+b2的值为（ ）
A．8B．1C．6D．4
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y＝与正比例函数y＝（2a+c）x在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：
①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；
②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；
③连接OG．
问：OG的长是多少？
大臣给出的正确答案应是（ ）
A．rB．（1+）rC．（1+）rD．r
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分。）
11．（3分）分解因式：x2+3x＝ ．
12．（3分）样本数据1，5，n，6，8的众数是1，则这组数的中位数是 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE的面积为，则四边形DBCE的面积为 ．
14．（3分）已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为 cm．
15．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，若斜边上的高CD＝2，则AC＝ ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的是 ．
（1）DC＝3OG；
（2）OG＝BC；
（3）△OGE是等边三角形；
（4）S△AOE＝．
三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.）
17．（4分）解方程组：．
18．（4分）已知：如图，AB∥ED，点F、点C在AD上，AB＝DE，AF＝DC．求证：BC＝EF．
19．（6分）五一期间，甲、乙两人计划在附近的景点游玩，甲从A、B两个景点中任意选择一个游玩，乙从A、B、C三个景点中任意选择一个游玩．
（1）填空：乙恰好游玩A景点的概率为 ；
（2）求甲、乙恰好游玩同一景点的概率．
20．（6分）创建文明城市，携手共建幸福美好．某地为美化环境，计划种植树木4800棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多20%，结果提前4天完成任务．求原计划每天植树的棵数．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°．
（1）用尺规作AB的垂直平分线交AC于点D，并作∠CBA的平分线BM；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）你认为（1）中的点D在射线BM上吗？请说明理由．
22．（10分）如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN．
（1）求csE的值；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
23．（10分）如图，四边形ABCO是平行四边形，OA＝2，AB＝6，点A在第一象限，点C在x轴的负半轴上，将▱ABCO绕点A逆时针旋转得到▱ADEF．点D在反比例函数y＝的图象上，且AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上．（1）求点A的坐标；
（2）求k的值．
24．（12分）已知抛物线y＝mx2﹣2mx+3（m＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝3OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若M，N是第一象限的抛物线上不同的两点，且△BCN的面积恒小于△BCM的面积，求点M的坐标；
（3）若D为抛物线的顶点，P为第二象限的抛物线上的一点，连接BP，DP，分别交y轴于E，F，若EF＝OC，求点P的坐标．
25．（12分）如图，△ABC中，∠BAC≥120°，AB＝AC，点A关于直线BC的对称点为点D，连接BD，CD．
（1）求证：四边形ABDC是菱形；
（2）延长CA到E，使得AB＝BE．求证：BC2﹣AC•CE＝AC2；
（3）在（2）小题条件下，可知E，B，D，C四点在同一个圆上，设其半径为a（定值），若BC＝kAB，问k取何值时，BE•CE的值最大？
2021年广东省广州市天河区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.）
1．（3分）2021的相反数是（ ）
A．﹣2021B．2021C．D．﹣
【分析】利用相反数的定义分析得出答案，只有符号不同的两个数互为相反数．
【解答】解：2021的相反数是：﹣2021．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2．（3分）下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线
C．科克曲线D．斐波那契螺旋线
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（3分）人民网北京2021年1月7日电，截至1月3日6时，我国首次火星探测任务天问一号火星探测器已经在轨飞行约163天，飞行里程突破4亿公里，距离地球接近1.3亿公里，距离火星约830万公里．数据830万公里用科学记数法表示为（ ）
A．8.3×106公里B．8.3×105公里
C．8.3×104公里D．0.83×106公里
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：830万＝8300000＝8.3×106，
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）已知⊙O与点P在同一平面内，如果⊙O的直径为6，线段OP的长为4，则下列说法正确的是（ ）
A．点P在⊙O上
B．点P在⊙O内
C．点P在⊙O外
D．无法判断点P与⊙O的位置关系
【分析】直接根据点与圆的位置关系进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径是3，线段OP的长为4，
即点P到圆心的距离大于圆的半径，
∴点P在⊙O外．
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2B．5a﹣a＝5
C．+＝1D．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3
【分析】根据整式的运算法则以及分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝a2+2ab+b2，故A错误．
（B）原式＝4a，故B错误．
（D）原式＝﹣8a6b3，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及整式的运算法则，本题属于基础题型．
6．（3分）若方程x2﹣cx+4＝0有两个不相等的实数根，则c的值不能是（ ）
A．c＝10B．c＝5C．c＝﹣5D．c＝4
【分析】方程x2﹣cx+4＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝b2﹣4ac＞0，代入即可求c的取值范围，从而得出答案．
【解答】解：∵方程x2﹣cx+4＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣c）2﹣4×1×4＞0，即c2＞16，
则c＜﹣4或c＞4，
故选：D．
【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与根的判别式Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．上述结论反过来也成立．
7．（3分）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．﹣5B．5C．﹣5和5D．无法确定
【分析】先根据分子为零，求出x的值，然后再代入分母，确定使分母不为零的x的值即可．
【解答】解：由题意得，|x|﹣5＝0，
解得x＝±5，
当x＝5时，x2﹣4x﹣5＝0，分式无意义；
当x＝﹣5时，x2﹣4x﹣5＝40≠0，分式有意义；
∴x的值为﹣5．
故选：A．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件，要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．
8．（3分）已知a＝﹣1，b＝+1，则a2+b2的值为（ ）
A．8B．1C．6D．4
【分析】根据二次根式的加法法则求出a+b，根据乘法法则求出ab，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．
【解答】解：∵a＝﹣1，b＝+1，
∴a+b＝2，ab＝2﹣1＝1，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝8﹣2＝6，
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式的化简、完全平方公式，掌握二次根式的加减运算法则、乘除混合运算法则是解题的关键．
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y＝与正比例函数y＝（2a+c）x在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】首先根据二次函数图象的开口方向确定a＜0，再根据对称轴在y轴右，可确定a与b异号，然后再根据对称轴可以确定2ac+＜＞0，再根据反比例函数的性质和正比例函数的性质确定出两个函数图象所在象限，进而得到答案．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵﹣＝，
∴b＝﹣a＞0，
∵当x＝﹣1时，y＜0，
∴当x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
∴2a+c＜0，
∴反比例函数y＝在二四象限，正比例函数y＝（2a+c）x的图象经过原点，且在二四象限，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，以及正比例函数与反比例函数的性质，关键是正确判断出a、b、c的符号．
10．（3分）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：
①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；
②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；
③连接OG．
问：OG的长是多少？
大臣给出的正确答案应是（ ）
A．rB．（1+）rC．（1+）rD．r
【分析】如图连接CD，AC，DG，AG．在直角三角形即可解决问题；
【解答】解：如图连接CD，AC，DG，AG．
∵AD是⊙O直径，
∴∠ACD＝90°，
在Rt△ACD中，AD＝2r，∠DAC＝30°，
∴AC＝r，
∵DG＝AG＝CA，OD＝OA，
∴OG⊥AD，
∴∠GOA＝90°，
∴OG＝＝＝r，
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，正多边形与圆的关系，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分。）
11．（3分）分解因式：x2+3x＝ x（x+3） ．
【分析】观察原式，发现公因式为x；提出后，即可得出答案．
【解答】解：x2+3x＝x（x+3）．
【点评】主要考查提公因式法分解因式，此题属于基础题．
12．（3分）样本数据1，5，n，6，8的众数是1，则这组数的中位数是 5 ．
【分析】先根据众数的概念得出n的值，从而还原这组数据，再利用中位数的定义得出答案．
【解答】解：∵数据1，5，n，6，8的众数是1，
∴n＝1，
则这组数据为1、1、5、6、8，
∴这组数据的中位数为5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
13．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE的面积为，则四边形DBCE的面积为 ．
【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质求出△ABC的面积，即可得到答案．
【解答】解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵△ADE的面积为，
∴△ABC的面积为2，
∴四边形DBCE的面积＝2﹣＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
14．（3分）已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为 5 cm．
【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据圆锥的侧面积的计算公式计算即可．
【解答】解：设圆锥的母线长为Rcm，
圆锥的底面周长＝2π×2＝4π（cm），
则×4π×R＝10π，
解得，R＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
15．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，若斜边上的高CD＝2，则AC＝ ．
【分析】应用同角的余角相等得出∠ACD＝∠B，由sinB＝得出△ACD中的边角关系，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∵CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD＝90°．
∴∠ACD＝∠B．
∵sinB＝，
∴sin∠ACD＝．
∵sin∠BCD＝．
∴＝．
设AD＝a，则AC＝3a．
．
∵CD＝2，
∴2．
∴a＝．
∴AC＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握直角三角形中的锐角三角函数关系式是解题的关键．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的是 （1）（3）（4） ．
（1）DC＝3OG；
（2）OG＝BC；
（3）△OGE是等边三角形；
（4）S△AOE＝．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG＝AG＝GE＝AE，再根据等边对等角可得∠OAG＝30°，根据直角三角形两锐角互余求出∠GOE＝60°，从而判断出△OGE是等边三角形，判断出（3）正确；设AE＝2a，根据等边三角形的性质表示出OE，利用勾股定理列式求出AO，从而得到AC，再求出BC，然后利用勾股定理列式求出AB＝3a，从而判断出（1）正确，（2）错误；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出（4）正确．
【解答】解：∵EF⊥AC，点G是AE中点，
∴OG＝AG＝GE＝AE，
∵∠AOG＝30°，
∴∠OAG＝∠AOG＝30°，
∠GOE＝90°﹣∠AOG＝90°﹣30°＝60°，
∴△OGE是等边三角形，故（3）正确；
设AE＝2a，则OE＝OG＝a，
由勾股定理得，AO＝＝＝a，
∵O为AC中点，
∴AC＝2AO＝2a，
∴BC＝AC＝×2a＝a，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝3a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3a，
∴DC＝3OG，故（1）正确；
∵OG＝a，BC＝a，
∴OG≠BC，故（2）错误；
∵S△AOE＝a•a＝a2，SABCD＝3a•a＝3a2，
∴S△AOE＝S矩形ABCD，故（4）正确；
综上所述，结论正确的是（1）（3）（4）．
故答案为：（1）（3）（4）．
【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，等边三角形的判定与性质的运用，设出AE、OG，然后用a表示出相关的边更容易理解．
三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.）
17．（4分）解方程组：．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可；
【解答】解：，
①+②得：x＝3，
把x＝3代入②得：y＝0，
所以方程组的解为：．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（4分）已知：如图，AB∥ED，点F、点C在AD上，AB＝DE，AF＝DC．求证：BC＝EF．
【分析】先由平行线的性质得∠A＝∠D，再求出AC＝DF，然后利用“边角边”证明△ABC≌△DEF，即可得出结论．
【解答】证明：∵AB∥ED，
∴∠A＝∠D，
∵AF＝DC，
∴AF+FC＝DC+FC，
即AC＝DF，
在△ABC≌△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC＝EF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质与判定等知识；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
19．（6分）五一期间，甲、乙两人计划在附近的景点游玩，甲从A、B两个景点中任意选择一个游玩，乙从A、B、C三个景点中任意选择一个游玩．
（1）填空：乙恰好游玩A景点的概率为 ；
（2）求甲、乙恰好游玩同一景点的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解；
（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出甲、乙恰好游玩同一景点的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）乙恰好游玩A景点的概率为；
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有6个等可能的结果数，其中甲、乙恰好游玩同一景点的结果数为2个，
∴甲、乙恰好游玩同一景点的概率为＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
20．（6分）创建文明城市，携手共建幸福美好．某地为美化环境，计划种植树木4800棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多20%，结果提前4天完成任务．求原计划每天植树的棵数．
【分析】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x棵，由题意列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+20%）x棵，
依题意，得：﹣＝4，
解得：x＝200，
经检验．x＝200是原方程的解，
答：原计划每天植树200棵．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°．
（1）用尺规作AB的垂直平分线交AC于点D，并作∠CBA的平分线BM；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）你认为（1）中的点D在射线BM上吗？请说明理由．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）点D在射线BM．设BM交AC于D′，证明D，D′重合即可．
【解答】解：（1）如图，点D，射线BM即为所求作．
（2）点D在射线BM．
理由：设BM交AC于D′，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABC＝∠CBM＝30°，
∴∠D′AB＝∠D′BA，
∴D′A＝D′B，
∴点D′在线段AB上，
∵AB的垂直平分线交AC于点D，
∴点D与点D′重合，
∴点D在射线BM上．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（10分）如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN．
（1）求csE的值；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接MO，延长MO交EF于H，如图，构建切线的性质得到MH⊥MN，则MH⊥EF，利用垂径定理得到MH垂直平分EF，所以ME＝MF，则可判断△MEF为等边三角形，所以∠MEF＝60°，从而得到csE的值；
（2）根据圆周角定理得到∠MOE＝2∠F＝120°，再计算出EH＝．构建扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S扇形MOE﹣S△MOE进行计算．
【解答】解：（1）连接MO，延长MO交EF于H，如图，
∵直线MN与⊙O相切于点M，
∴MH⊥MN，
∵EF∥MN，
∴MH⊥EF，
∴EH＝HF，即MH垂直平分EF，
∴ME＝MF，
∵EM＝EF，
∴EM＝EF＝MF，
∴△MEF为等边三角形，
∴∠MEF＝60°，
∴cs∠MEF＝cs60°＝；
（2）∵△MEF为等边三角形，
∴∠F＝60°，
∴∠MOE＝2∠F＝120°，
∴∠EOH＝60°，
∵OM＝OE＝2，
∴OH＝1，EH＝，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形MOE﹣S△MOE
＝﹣×2×
＝π﹣．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和解直角三角形．
23．（10分）如图，四边形ABCO是平行四边形，OA＝2，AB＝6，点A在第一象限，点C在x轴的负半轴上，将▱ABCO绕点A逆时针旋转得到▱ADEF．点D在反比例函数y＝的图象上，且AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上．（1）求点A的坐标；
（2）求k的值．
【分析】（1）根据旋转的性质以及平行四边形的性质得出∠BAO＝∠AOF＝∠AFO＝∠OAF，即可求得△AOF是等边三角形，进而求得A的坐标；
（2）先求得OD的长，通过解直角三角形即可求出D点坐标，进而得出k的值．
【解答】解：（1）如图所示：过点D作DM⊥x轴于点M，
由题意可得：∠BAO＝∠OAF，AO＝AF，AB∥OC，
则∠BAO＝∠AOF＝∠AFO＝∠OAF，
故∠AOF＝60°＝∠DOM，
∴△AOF是等边三角形，
过点A作AH⊥OF于H，则∠OAH＝30°，
∴OH＝OA＝1，
∴AH＝，
∴A（1，）；
（2）∵OA＝2，AB＝6，
∴OD＝AD﹣OA＝AB﹣OA＝6﹣2＝4，
∴MO＝2，MD＝2，
∴D（﹣2，﹣2），
∴k＝﹣2×（﹣2）＝4．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出D点坐标是解题关键．
24．（12分）已知抛物线y＝mx2﹣2mx+3（m＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝3OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若M，N是第一象限的抛物线上不同的两点，且△BCN的面积恒小于△BCM的面积，求点M的坐标；
（3）若D为抛物线的顶点，P为第二象限的抛物线上的一点，连接BP，DP，分别交y轴于E，F，若EF＝OC，求点P的坐标．
【分析】（1）求出A，B的坐标，利用待定系数法可得结论．
（2）如图1中，当△BCM的面积最大时，满足条件，连接OM．设M（m，﹣m2+2m+3）．构建二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
（3）如图2中，设P（t，﹣t2+2t+3）．求出E，F的坐标，根据EF＝1，构建方程求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣2mx+3（m＜0）的对称轴x＝1，OB＝3OA，
∴OB＝3，OA＝1，
∴B（3，0），A（﹣1，0），
把A（﹣1，0）代入抛物线y＝mx2﹣2mx+3（m＜0），可得m＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）如图1中，当△BCM的面积最大时，满足条件，连接OM．设M（m，﹣m2+2m+3）．
则S△BCM＝S△OCM+S△OBM﹣S△OBC＝×3×m+×3×（﹣m2+2m+3）﹣＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，△BCM的面积最大，此时M（，）．
（3）如图2中，设P（t，﹣t2+2t+3）．
∵B（3，0），D（1，4），
∴直线PB的解析式为y＝﹣（t+1）x+3t+3，
∴E（0，3t+3），
∴直线PD的解析式为y＝（1﹣t）x+3+t，
∴F（0，3+t），
∵EF＝OC＝1，
∴3+t﹣3t﹣3＝1，
∴t＝﹣，
∴P（﹣，）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
25．（12分）如图，△ABC中，∠BAC≥120°，AB＝AC，点A关于直线BC的对称点为点D，连接BD，CD．
（1）求证：四边形ABDC是菱形；
（2）延长CA到E，使得AB＝BE．求证：BC2﹣AC•CE＝AC2；
（3）在（2）小题条件下，可知E，B，D，C四点在同一个圆上，设其半径为a（定值），若BC＝kAB，问k取何值时，BE•CE的值最大？
【分析】（1）如图1，根据对称的性质：对称轴是对称点连线的垂直平分线，可得AO＝OD，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一可得OB＝OC，最后根据对角线互相平分且垂直的四边形是菱形可得结论；
（2）解法一：如图2，延长AE到F，使EF＝BE，连接BF，证明△ABC∽△BFC，列比例式得，可得结论；
解法二：如图3，过点B作BP⊥CE，根据勾股定理可得BC2和BA2，计算BC2﹣AC2＝CP2﹣AP2，利用平方差公式和线段的和与差进行变形可得结论；
（3）如图4，作辅助线，构建直角三角形，设DM＝x，则GM＝a﹣x，根据∠BAC＝120°时，△ABD和△ADC是等边三角形，x＝CD•cs60°＝a，可得0＜x≤，计算BE•CE的值，配方后可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，连接AD，交BC于O，
∵A，D关于直线BC对称，
∴AD⊥BC，OA＝OD，
∵AB＝AC，
∴OB＝OC，
∴四边形ABDC是菱形；
（2）证明：解法一：如图2，延长AE到F，使EF＝BE，连接BF，
∵AB＝BE，
∴AB＝BD＝CD＝AC＝BE＝EF，
∴BE+CE＝EF+CE＝CF，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
同理得∠EBF＝∠F，∠BAE＝∠BEA，
∵∠BAE＝∠ABC+∠ACB，∠BEA＝∠EBF+∠F，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠EBF＝∠F，
∴△ABC∽△BFC，
∴，
∴BC2＝AC•CF＝AC•（CE+EF）＝AC•（CE+AC），
即BC2﹣AC•CE＝AC2；
解法二：如图3，过点B作BP⊥CE于P，
∵AB＝BE，
∴AP＝EP，且AB＝AC＝BE，
Rt△BPC中，BC2＝BP2+CP2，
在Rt△BPA中，BA2＝BP2+AP2，
∴BC2﹣AC2＝BC2﹣AB2＝（BP2+CP2）﹣（BP2+AP2）＝CP2﹣AP2，
∵CP2﹣AP2＝（CP+AP）（CP﹣AP）＝（CP+EP）•AC＝CE•AC，
∴BC2﹣AC2＝CE•AC，即BC2﹣AC•CE＝AC2；
（3）解：如图4，连接AD交BC于M，作CD的垂直平分线交DA的延长线于G，连接CG，
由题意得：CG＝DG＝a，
设DM＝x，则GM＝a﹣x，
∵∠BAC≥120°，
∴当∠BAC＝120°时，如图5，△ABD和△ADC是等边三角形，
∴AB＝AD＝AC，
∴当点A为圆心，即点A与G重合，此时x＝CD•cs60°＝a，
∴0＜x≤，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC⊥AD，BC＝2CM，
由勾股定理得：CM2＝a2﹣（a﹣x）2＝﹣x2+2ax，
CD2＝x2﹣x2+2ax＝2ax，
∴BC2＝4CM2＝﹣4x2+8ax，BE2＝CD2＝2ax，
由BC2﹣AC•CE＝AC2，得BE•CE＝BC2﹣AC2＝BC2﹣BE2＝﹣4x2+8ax﹣2ax＝﹣4x2+6ax＝﹣4（x﹣a）2+a2，
∵0＜x≤，
∴当x＝a时，BE•CE有最大值，此时BC2＝3a2，AB2＝BE2＝a2，
故BC2＝3AB2，所以BC＝AB，
故k＝时，BE•CE的值最大．
【点评】本题是圆和三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，特殊的三角函数，二次函数的最值问题，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
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日期：2021/11/15 14:09:02；用户：张家港二中；邮箱：zjg2z@xyh.cm；学号：41479226

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