初中数学冀教版九年级上册28.3 圆心角和圆周角复习练习题

28.3.3   圆内接四边形

课后   同步练习

1．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个多边形的边数是_________．

2．如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC=_________．

3．以半径为1的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则这个三角形是_________三角形．

4．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠CAD=_________．

5．圆内接正多边形的一个内角比它的一个外角大60°，这个正多边形的面积为，则它的一条边长度为_________．

6．尺规作图求：作圆O的内接正六边形（不要求写作法和证明，但要保留作图痕迹）．

7．如图①、图②、图③、……、图所示，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、……、正n边形ABCDE…的边AB，BC上的点，且BM=CN，连接OM，ON．

（1）求图①中∠MON的度数；

（2）图②中∠MON的度数是_________，

图③中∠MON的度数是_________；

（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）．

8.小刚现有边长为60 m的正方形花布，准备做一个形状为正八边形的风筝，参加全校组织的风筝比赛，问：在这样的花布上怎样剪裁，才能得到一个面积最大的风筝？

9.某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，有如下探讨：甲同学：我发现这种多边形不一定是正多边形．如圆内接矩形不一定是正方形．

乙同学：我知道边数为3时，它是正三角形；我想，边数为5时，它可能也是正五边形……

丙同学：我发现边数为6时，它也不一定是正六边形．如图②，△ABC是正三角形，弧AD、弧BE、弧CF均相等，这样构造的六边形ADBECF不是正六边形．

（1）如图①，若圆内接五边形ABCDE的各内角均相等，则∠ABC=_________，并简要说明圆内接五边形ABCDE为正五边形的理由；

（2）如图②，请证明丙同学构造的六边形各内角相等；

（3）根据以上探索过程，就问题“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”的结论与“边数n（n≥3，n为整数）”的关系，提出你的猜想（不需证明）．

参考答案

1．5    

2．45° 

3．直角 

4．36° 

5．2 

6．略

7．解：（1）∠MON=120°．

（2）90°  72° 

（3）．

8.如图，分别以四个顶点为圆心，对角线的一半为半径作圆，与正方形交八个点，顺次连之，得到一个八边形．

从花布四个角上各剪去一个直角边长为的等腰直角三角形，就可得到面积最大的正八边形．

9.（1）解：108°

理由如下：如题图①，∵∠A=∠B，∴，∴，∴，∴BC=AE．同理可得BC=DE，DE=AB，AB=CD，CD=AE，∴BC=DE=AB=CD=AE，∴五边形ABCDE是正五边形．

（2）证明：如题图②，∵△ABC是正三角形，

∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．

∵四边形ABCF是圆内接四边形，∴∠ABC+∠AFC=180°，

∴∠AFC=120°．同理可得∠ADB=120°，∠BEC=120°．

∵∠ADB=120°，∴∠DAB+∠ABD=60°．

∵，∴∠ABD=∠CAF，

∴∠DAB+∠CAF=60°，∴∠DAF=∠DAB+∠CAF+∠BAC=120°．

同理可得∠DBE=120°，∠ECF=120°，

∴∠AFC=∠ADB=∠BEC=∠DAF=∠DBE=∠ECF=120°，

故题图②中的六边形各内角相等．

（3）解：由（1）（2）可提出以下猜想：

当n（n≥3，n为整数）是奇数时，各内角都相等的圆内接多边形是正多边形；

当n（n≥3，n为整数）是偶数时，各内角都相等的圆内接多边形不一定为正多边形．