数学必修 第一册2.2 基本不等式精品第三课时导学案

第二章 一元二次函数、方程和不等式

2.2基本不等式

第3课时基本不等式的应用

【课程标准】

掌握复杂的求最值题型，巩固加深对基本不等式的理解

【知识要点归纳】

1. 常用的基本不等式

2. 基于类型的构造

此类题型常以和以及积的等式形式出现，然后求和或者积的取值范围，题型切入口为将等式转化为不等式，常见的解题思路为构造法、判别式法、化1法、变量代换、整体代换等。

【经典例题】

变式训练：

【当堂检测】

一．选择题（共4小题）

1．若对满足条件的任意，，不等式恒成立，则实数的取值范围为　　

A． B． C． D．

2．已知，，，则的最小值为　　

A． B．1 C．2 D．4

3．若，则函数　　

A．有最大值10 B．有最小值10 C．有最大值6 D．有最小值6

4．已知，为正数，且，则的最小值为　　

A．6 B．7 C．8 D．9

二．填空题（共4小题）

5．已知，，，则的最大值为　　．

6．若正实数，满足，则的最大值是　　．

7．已知，，且，则的最小值为　　．

8．已知，则的最小值为　　．

三．解答题（共2小题）

9．若，，．

（1）求的取值范围；

（2）求的取值范围．

10．（1）若正实数，满足，求的最小值；

（2）求函数的最小值．

当堂检测答案

一．选择题（共4小题）

1．若对满足条件的任意，，不等式恒成立，则实数的取值范围为　　

A． B． C． D．

【分析】先由，再利用基本不等式求得的最小值，然后根据不等式恒成立求得的取值范围．

【解答】解：由可得：，

，当且仅当时取“ “，

不等式恒成立，

，

故选：．

【点评】本题主要考查基本不等式在处理不等式恒成立问题中的应用，属于中档题．

2．已知，，，则的最小值为　　

A． B．1 C．2 D．4

【分析】由已知可得，从而，然后利用基本不等式即可求解．

【解答】解：，，，

同除得，

当且仅当即时取等号．

故选：．

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，解题的关键是应用条件的配凑．

3．若，则函数　　

A．有最大值10 B．有最小值10 C．有最大值6 D．有最小值6

【分析】由已知可得，再利用条件将所求转化后，运用基本不等式即可得解．

【解答】解：若，

则函数，

因为，即，

则，当且仅当，即时等号成立，

所以函数有最小值10．

故选：．

【点评】本题主要考查了基本不等式的应用和转化化归的数学思想，注意不等式成立的条件（一正二定三相等），属于基础题．

4．已知，为正数，且，则的最小值为　　

A．6 B．7 C．8 D．9

【分析】直接利用基本不等式的性质的应用求出结果．

【解答】解：，为正数，，

所以．

当且仅当，时，等号成立，

则的最小值为7．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质和基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

二．填空题（共4小题）

5．已知，，，则的最大值为　　．

【分析】由，可推出，而，代入所得结论即可．

【解答】解：，

，即，当且仅当时，等号成立，

，

，

的最大值为．

故答案为：．

【点评】本题考查利用基本不等式解决最值问题，需要运用完全平方式对式子进行变形，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．

6．若正实数，满足，则的最大值是　4　．

【分析】由已知的等式结合基本不等式得到，求解一元二次不等式得答案．

【解答】解：由，得，

，，

，

解得：．

的最大值是4．

故答案为：4．

【点评】本题考查了基本不等式，考查了数学转化思想方法，属于基础题．

7．已知，，且，则的最小值为　4　．

【分析】，然后结合基本不等式即可求解．

【解答】解：因为，，且，

所以，

当且仅当即且时取等号．

故答案为：4

【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑．

8．已知，则的最小值为　32　．

【分析】先利用基本不等式求得范围，进而代入原式，进一步利用基本不等式求得问题答案．

【解答】解：，

．

当且仅当，时取等号．

故答案为：32．

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．解题的时候注意等号成立的条件，属于基础题．

三．解答题（共2小题）

9．若，，．

（1）求的取值范围；

（2）求的取值范围．

【分析】（1）由已知可得，从而可求；

（2）由已知可得，解不等式可求．

【解答】解：（1）因为，，，

所以，当且仅当时取等号，

解可得，，

（2）因为，，，

当且仅当时取等号，

所以，

解可得，或（舍，

故

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，应用条件的配凑是求解问题的关键．

10．（1）若正实数，满足，求的最小值；

（2）求函数的最小值．

【分析】（1），再利用基本不等式的性质即可得出．

（2），再利用基本不等式的性质即可得出．

【解答】解：（1），

当且仅当时，取得最小值9．

（2）

，

当且仅当时，取得最小值9．

【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．