人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数优秀第二课时学案设计

第四章 指数函数与对数函数

4.2指数函数

第2课时指数函数的图像与性质及其应用

【课程标准】

1. 掌握指数函数的图像与性质
2. 利用指数函数的性质比较大小
3. 会解指数方程和指数不等式
4. 判断复合函数的单调性以及会求复合函数的定义域、值域

【知识要点归纳】

1.图象位置关系

一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，

图象的相对位置与底数大小有如下关系：

(1)“底大幂大”：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数      ；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数       .即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图.

(2)指数函数y＝ax与y＝x(a＞0且a≠1)的图象关于    对称.

2.比较大小

(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的         来判断；

(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的       的变化规律来判断；

(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过       来判断.

3.解指数方程、不等式

(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的     求解；

(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的     求解；

(3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解.

4.指数型函数的单调性

一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质

(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有       的定义域.

(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有      的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性      .

(3)复合函数的单调性：同增异减

5.指数型函数的值域

①换元，t＝f(x). 

②求t＝f(x)的定义域为x∈D.

③求t＝f(x)的值域为t∈M.  ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域.

【经典例题】

例1　(1)比较下列各题中两个值的大小.

①1.7－2.5,1.7－3；   ②1.70.3,1.50.3；   ③1.70.3,0.83.1.

(2)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)

A.a<b<c     B.a<c<b     C.b<a<c  D.b<c<a

[跟踪训练] 1  (1)下列大小关系正确的是(　　)

A.0.43<30.4<π0     B.0.43<π0<30.4      C.30.4<0.43<π0  D.π0<30.4<0.43

（2）已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a>b>c    B．b>a>c   C．c>b>a   D．c>a>b

总结：按照知识点2的方法来，看看属于哪种类型

例2　 (1)不等式的解集是________.

（2）若(a>0且a≠1)，求x的取值范围．

[跟踪训练] 2 (1)已知集合M＝{－1,1}，N＝，则M∩N＝  (　　)

A．{－1,1}     B．{－1}    C．{0}    D．{－1,0}

（2）已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________.

总结：(1)形如ax>ay的不等式：可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分0<a<1和a>1两种情况讨论．

(2)形如ax>b的不等式：注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．

例3　(1)函数y＝ 的单调递减区间是(　　)

A.(－∞，＋∞)   B.(－∞，0)

C.(0，＋∞)   D.(－∞，0)和(0，＋∞)

(2)已知函数f(x)＝.判断函数f(x)的单调性；并求函数f(x)的值域．

[跟踪训练] 3　求函数y＝ 的单调区间.

总结：(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成.

(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性.

例4. （1）求函数y＝4x－2x＋1的定义域、值域.

     （2）求函数的定义域和值域

例5 已知定义在R上的函数f(x)＝a＋是奇函数.

(1)求a的值；

(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)；

(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围.

[跟踪训练] 4 已知函数f(x)＝.

(1)证明f(x)为奇函数；

(2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明；

(3)求f(x)的值域．

注意：①注意代数式的变形,如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧.

②解答函数问题注意应在函数定义域内进行.

③由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论.

【当堂检测】

一．选择题（共5小题）

1．设，，，则　　

A． B． C． D．

2．不等式中的取值范围是　　

A．，， B． 

C． D．

3．函数的值域为　　

A． B． C．， D．，

4．函数在区间，上是单调减函数，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

5．关于的方程：有两个实数根，则实数的取值范围可以是　　

A．， B． C． D．

二．填空题（共2小题）

6．已知函数为奇函数，则常数　　．

7．方程：的解为　　．

三．解答题（共2小题）

8．已知，，．

（1）设，，，求的最大值与最小值；

（2）求的最大值与最小值．

9．已知函数，求其单调区间及值域．

当堂检测答案

一．选择题（共5小题）

1．设，，，则　　

A． B． C． D．

【分析】先上面的三个数都化成同一个底，再由指数函数的单调性判断大小．

【解答】解：利用幂的运算性质可得，

，，，

再由是增函数，知．

故选：．

【点评】指数式比较大小时，应先将底化相同，再利用单调性比较大小，若不能化为相同，可考虑找中间变量，如0，1来比较．

2．不等式中的取值范围是　　

A．，， B． 

C． D．

【分析】利用指数函数的单调性解不等式．

【解答】解：因为，

所以由不等式可得：，

解得：，

所以不等式中的取值范围是：．

故选：．

【点评】本题主要考查了指数函数的单调性，是基础题．

3．函数的值域为　　

A． B． C．， D．，

【分析】令，结合指数函数的单调性可求函数的值域

【解答】解：令

单调递减

即

故选：．

【点评】本题主要考查了指数函数与二次函数复合而成的复合函数的单调性，属于基础试题

4．函数在区间，上是单调减函数，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【分析】先求出二次函数的对称轴方程，再根据二次函数的图象和性质列出不等式求解．

【解答】解：记，

其图象为抛物线，对称轴为，且开口向上，

函数在区间，上是单调减函数，

函数在区间，上是单调增函数，

而在，上单调递增，

所以，，解得，

故选：．

【点评】本题主要考查了指数型复合函数的单调性，涉及二次函数的图象和性质，体现了数形结合的解题思想，属于中档题．

5．关于的方程：有两个实数根，则实数的取值范围可以是　　

A．， B． C． D．

【分析】将方程转化为两个函数，利用数形结合即可得到结论．

【解答】解：由得：，

设函数，，

作出两个函数的图象如图，

当两个函数与存在两个交点，

即，

，

即实数的取值范围可以是，

故选：．

【点评】本题主要考查函数方程的应用，将方程转化为函数，利用数形结合是解决本题的关键．

二．填空题（共2小题）

6．已知函数为奇函数，则常数　　．

【分析】运用函数的性质得出，，代入即可求解．

【解答】解：函数为奇函数，

，

，

，，

故答案为：．

【点评】本题考查了函数的定义、性质，属于容易题．

7．方程：的解为　　．

【分析】令，方程即，解得，求得，从而得到方程的解集．

【解答】解：令，则方程即，解得或（舍去），

即，解得．

故方程的解集为，

故答案为：．

【点评】本题主要考查指数型函数的性质以及应用，求出的值，是解题的关键，属于中档题．

三．解答题（共2小题）

8．已知，，．

（1）设，，，求的最大值与最小值；

（2）求的最大值与最小值．

【分析】（1）设，由，，且函数在，上是增函数，故有，由此求得的最大值和最小值．

（2）由，可得此二次函数的对称轴为，且，由此求得的最大值与最小值．

【解答】解：（1）设，，，函数在，上是增函数，故有，故的最大值为9，的最小值为．

（2）由，可得此二次函数的对称轴为，且，

故当时，函数有最小值为3，

当时，函数有最大值为 67．

【点评】本题主要考查指数函数的综合题，求二次函数在闭区间上的最值，属于中档题．

9．已知函数，求其单调区间及值域．

【分析】要求复合函数的单调递增（减区间的即求内函数的单调递减区间，根据二次函数的性质，求出内函数的单调递减（增区间和值域后，即可得到答案．

【解答】解：设

则的单调递减区间为，，递增区间为，

函数为减函数，

故函数的单调递增区间为，，递减区间为，

值域为，

【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的值域，指数函数的性质及二次函数的性质，其中根据复合函数单调性“同增异减”的法则，将问题转化为求二次函数的单调递减区间问题是解答本题的关键．