数学人教版19.2.2 一次函数教案

这是一份数学人教版19.2.2 一次函数教案，共13页。教案主要包含了基本目标，重难点目标等内容，欢迎下载使用。

第1课时 一次函数的定义
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．掌握一次函数解析式的定义．
2．知道一次函数与正比例函数关系．
3．会根据实际问题写出一次函数的表达式．
【过程与方法】
通过类比的方法学习一次函数，体会数学研究方法的多样性．
【情感态度与价值观】
培养独立思考、合作探究、培养科学的思维方法．
二、重难点目标
【教学重点】
一次函数的概念及列一次函数表达式．
【教学难点】
理解一次函数与正比例函数的关系．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P89～P90的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．教材第90页“思考”．
解：(1)c＝7t－35(20≤t≤25)．
(2)G＝h－105.
(3)y＝0.1x＋22.
(4)y＝－5x＋50(0≤x≤10)．
这些函数关系式与y＝－6x＋15一样，函数的形式都是自变量x的k倍与一个常数的和．
2．一般地，形如y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数．当b＝0时， y＝kx(k是常数，k≠0)，故正比例函数是一种特殊的一次函数．因此正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数．
3．一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数，在实际问题中，受实际情况限制可能取不到全体实数．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】下列函数是一次函数的是( )
A．y＝－8x B．y＝－eq \f(8,x)
C．y＝－8x2＋2 D．y＝－eq \f(8,x)＋2
【互动探索】(引发学生思考)一次函数的定义是什么？正比例函数是不是一次函数？
【分析】A．它是正比例函数，属于特殊的一次函数，正确；B．自变量次数不为1，不是一次函数，错误；C．自变量次数不为1，不是一次函数，错误；D．自变量次数不为1，不是一次函数，错误．
【答案】A
【互动总结】(学生总结，老师点评)一次函数解析式y＝kx＋b的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
【例2】写出下列各题中y与x的函数关系式，并判断y是否是x的一次函数或正比例函数．
(1)某村耕地面积为106(平方米)，该村人均占有耕地面积y(平方米)与人数x(人)之间的函数关系；
(2)地面气温为28 ℃，如果高度每升高1 km，气温下降5 ℃，气温x( ℃)与高度y(km)之间的函数关系．
【互动探索】(引发学生思考)(1)根据人均占有耕地面积y等于总面积除以总人数得出即可；
(2)根据高度每升高1 km，气温下降5 ℃，得出即可．
【解答】(1)根据题意，得y＝eq \f(106,x)，不是一次函数．
(2)根据题意，得28－5y＝x，则y＝－eq \f(1,5)x＋eq \f(28,5)，是一次函数．
【互动总结】(学生总结，老师点评)根据实际问题确定一次函数关系式的关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数要考虑自变量的取值范围．
【例3】已知一次函数y＝kx＋b中，当x＝3时，y＝5；当x＝－4时，y＝－9.求k和b的值．
【互动探索】(引发学生思考)把两组对应值分别代入y＝kx＋b得到关于k、b的方程组，然后解方程组求出k和b.
【解答】∵当x＝3时，y＝5，
当x＝－4时，y＝－9，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3k＋b＝5，,－4k＋b＝－9，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝2，,b＝－1.))
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类问题就是将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组解答即可．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列函数关系式：①y＝－2x＋1；②y＝x；③y＝2x2＋1；④y＝eq \f(3,2x＋1).其中一次函数有( B )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．要使函数y＝(m－2)xn－1＋n是一次函数，应满足( C )
A．m≠2，n≠2 B．m＝2，n＝2
C．m≠2，n＝2 D．m＝2，n＝0
3．写出下列各题中x与y之间的解析式，并判断y是否是x的一次函数．
(1)在时速为70千米的匀速运动中，路程y(千米)与时间x(小时)的关系；
(2)居民用电标准是每千瓦时0.53元，则电费y(元)与用电量x(千瓦时)之间的关系；
(3)汽车离开A站4千米，再以40千米/时的平均速度行驶，那么汽车离开A站的距离y(千米)与时间t(小时)之间的关系；
(4)某车站规定旅客可以免费携带不超过20千克的行李，超过部分每千克收取1.5元的行李费用，则旅客需交的行李费y(元)与携带行李重量x(千克)之间的关系．
解：(1)y＝70x，是一次函数．
(2)y＝0.53x，是一次函数．
(3)y＝4＋40x，是一次函数．
(4)y＝1.5(x－20)，是一次函数．
4．已知y＝(k－1)x|k|－k是一次函数．
(1)求k的值；
(2)若点(2，a)在这个一次函数的图象上，求a的值．
解：(1)∵y是一次函数，
∴|k|＝1，解得k＝±1.
又∵k－1≠0，∴k≠1.∴k＝－1.
(2)由(1)知一次函数的解析式为y＝－2x＋1.
∵(2，a)在函数y＝－2x＋1的图象上，
∴a＝－4＋1＝－3.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例4】已知y＝(m－1)x2－|m|＋n＋3.
(1)当m、n取何值时，y是x的一次函数？
(2)当m、n取何值时，y是x的正比例函数？
【互动探索】一次函数与正比例函数的关系是什么？解决此题的关键是什么？
【解答】(1)根据一次函数的定义，得2－|m|＝1，解得m＝±1.
又∵m－1≠0，即m≠1，
∴当m＝－1，n为任意实数时，这个函数是一次函数．
(2)根据正比例函数的定义，得2－|m|＝1，n＋3＝0，解得m＝±1，n＝－3.
又∵m－1≠0，即m≠1，
∴当m＝－1，n＝－3时，这个函数是正比例函数．
【互动总结】(学生总结，老师点评)一次函数解析式y＝kx＋b的结构特征：k≠0，自变量的次数为1，常数项b可以为任意实数．正比例函数解析式y＝kx的结构特征：k≠0，自变量的次数为1.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．一次函数的定义
2．一次函数与正比例函数的区别和联系
3．根据实际问题求一次函数解析式
练习设计
请完成本课时对应训练！
第2课时 一次函数的图象与性质
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．理解一次函数图象特征与解析式的联系．
2．会画出一次函数的图象．
【过程与方法】
1．通过对应描点来研究一次函数的图象，经历知识的归纳、探究过程．
2．通过一次函数的图象归纳函数的性质，体会数形结合思想．
【情感态度与价值观】
在探究函数的图象与性质的活动中，通过一系列的探究问题，渗透与人交流合作的意识和探究精神．
二、重难点目标
【教学重点】
一次函数的图象与性质．
【教学难点】
利用一次函数的图象与性质解决问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P91～P93的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．教材第91页“思考”．
比较教材上面两个函数y＝－6x与y＝－6x＋5的图象的相同点与不同点得出：这两个函数的图象形状都是直线，并且倾斜程度相同．函数y＝－6x的图象经过原点，函数y＝－6x＋5的图象与y轴交于点(0,5)，即它可以看作由直线y＝－6x向上平移5个单位长度而得到．
2．一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)的图象是一条过点(0，b)且和直线y＝kx重合或平行的直线，我们称它是直线y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)．
3．一次函数y＝kx＋b(k≠0)和正比例函数y＝kx(k≠0)的增减性一致，一次函数图象的位置和函数值y的增减性完全由b和比例系数k的符号决定：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．b决定直线y＝kx＋b与y轴交点的坐标(0，b)，当b＞0时，交点在原点上方；当b＝0时，交点即原点；当b＜0时，交点在原点下方．
4．一次函数图象的画法：
(1)两点法：由于一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，因此作一次函数图象时，只要确定两个点，再过这两个点作直线就可以了．一般地，一次函数y＝kx＋b的图象是经过点(0，b)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,k)，0))的一条直线，当b＝0时，即为正比例函数，其图象是经过原点(0,0)和点(1，k)的一条直线．
(2)平移法：一次函数y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)的图象是一条直线，直线y＝kx＋b可以看作是由直线y＝kx平移∣b∣个单位长度而得到(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移)．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】已知正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y＝x＋k的图象大致是( )
A B C D
【互动探索】(引发学生思考)一次函数图象与k、b有什么样的关系？
【分析】∵正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，∴k＜0.
∵一次函数y＝x＋k的一次项系数大于0，常数项小于0，∴一次函数y＝x＋k的图象经过第一、三、四象限，且与y轴的负半轴相交．故选B．
【答案】B
【互动总结】(学生总结，老师点评)一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)的图象是一条直线．当k＞0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小．图象与y轴的交点坐标为(0，b)．
【例2】在同一平面直角坐标中，作出下列函数的图象．
(1)y＝2x－1; (2)y＝x＋3；
(3)y＝－2x; (4)y＝5x.
【互动探索】(引发学生思考)可以类比画正比例函数图象的方法画一次函数的图象，即用“两点法”画一次函数的图象．
【解答】用两点法画函数图象．
(1)一次函数y＝2x－1的图象过点(1,1)，(0，－1)；
(2)一次函数y＝x＋3的图象过点(0,3)，(－3,0)；
(3)正比例函数y＝－2x的图象过点(1，－2)，(0,0)；
(4)正比例函数y＝5x的图象过点(0,0)，(1,5)．
如图所示．
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题考查了一次函数的作图，解题关键是分别求出满足各直线的两个特殊点的坐标，经过这两点作直线即可．
【例3】已知函数y＝(2m－2)x＋m＋1.
(1)当m为何值时，图象过原点？
(2)已知y随x增大而增大，求m的取值范围；
(3)函数图象与y轴交点在x轴上方，求m的取值范围；
(4)函数图象过第一、二、四象限，求m的取值范围．
【互动探索】(引发学生思考)(1)根据函数图象过原点可知，m＋1＝0，求出m的值即可；(2)根据y随x增大而增大，可知2m－2＞0，求出m的取值范围即可；(3)由于函数图象与y轴交点在x轴上方，故m＋1＞0，进而可得出m的取值范围；(4)根据图象过第一、二、四象限列出关于m的不等式组，求出m的取值范围．
【解答】(1)∵函数图象过原点，
∴m＋1＝0，即m＝－1.
(2)∵y随x增大而增大，
∴2m－2＞0，解得m＞1.
(3)∵函数图象与y轴交点在x轴上方，
∴m＋1＞0，解得m＞－1.
(4)∵函数图象过第一、二、四象限，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m－2<0，,m＋1>0，)) 解得－1＜m＜1.
【互动总结】(学生总结，老师点评)一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，当k＜0，b＞0时，函数图象过第一、二、四象限．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．若实数满足a＋b＋c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝cx＋a的图象可能是( C )
A B C D
2．对于函数y＝－2x＋2，下列结论：①当x＞1时，y＜0；②它的图象经过第一、二、三象限；③它的图象必经过点(－2,2)；④y的值随x的增大而增大．其中正确结论的个数是( A )
A．1 B．2
C．3 D．4
3．已知一次函数y＝(k＋1)x＋b的图象与x轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则k，b的取值情况为( A )
A．k＞－1，b＞0 B．k＞－1，b＜0
C．k＜－1，b＞0 D．k＜－1，b＜0
4．已知一次函数y＝2x－6.
(1)画出该函数的图象；
(2)判断点(4,3)是否在此函数的图象上；
(3)观察画出的图象，说一说当x为何值时y＜0.
解：(1)∵一次函数y＝2x－6与坐标轴的交点为(0，－6)，(3,0)，
∴函数图象如图所示：
(2)∵当x＝4时，y＝8－6＝2≠3，
∴该点不在函数的图象上．
(3)由图可知，当x＜3时，y＜0.
5．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x向下平移2个单位后和直线y＝kx＋b(k≠0)重合，直线y＝kx＋b(k≠0)与x轴交于点A，与y轴交于点B.
(1)请直接写出直线y＝kx＋b(k≠0)的表达式和点B的坐标；
(2)求△AOB的面积．
解：(1)∵直线y＝x向下平移2个单位后和直线y＝kx＋b(k≠0)重合，
∴直线AB的表达式为y＝x－2，
∴点B的坐标是(0，－2)．
(2)当y＝0时，x＝2，
∴点A的坐标为(2,0)，∴OA＝2.
又∵OB＝2，∴S△AOB＝eq \f(1,2)OA·OB＝2.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例4】一次函数y＝－2x＋4的图象如图，图象与x轴交于点A，与y轴交于点B.
(1)求A、B两点坐标；
(2)求图象与坐标轴所围成的三角形的面积．
【互动探索】(1)x轴上所有的点的纵坐标均为0，y轴上所有的点的横坐标均为0；(2)利用(1)中所求的点A、B的坐标可以求得OA、OB的长度．然后根据三角形的面积公式可以求得△OAB的面积．
【解答】(1)对于y＝－2x＋4，令y＝0，得－2x＋4＝0，∴x＝2.
∴一次函数y＝－2x＋4的图象与x轴交于点A(2,0)．
令x＝0，得y＝4，
∴一次函数y＝－2x＋4的图象与y轴交于点B(0,4)．
(2)由(1)中知OA＝2，OB＝4，
∴S△AOB＝eq \f(1,2)OA·OB＝eq \f(1,2)×2×4＝4，
∴图象与坐标轴所围成的三角形的面积是4.
【互动总结】(学生总结，老师点评)求一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，一般地应先求出一次函数图象与x轴、y轴的交点坐标，进而求出三角形的底和高，即可求面积．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
一次函数eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(图象,性质,画法,平移规律))
练习设计
请完成本课时对应训练！
第3课时 用待定系数法求一次函数解析式
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．学会用待定系数法确定一次函数的解析式．
2．了解两个条件确定一个一次函数、一个条件确定一个正比例函数．
3．掌握在不同问题情境下，函数关系式的确定．
【过程与方法】
1．经历待定系数法应用过程，提高研究数学问题的技能．
2．能根据函数的图象确定一次函数的表达式，体会数形结合思想在一次函数中的应用．
【情感态度与价值观】
能把实际问题抽象为数学问题，也能把所学的知识运用于实际，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．
二、重难点目标
【教学重点】
用待定系数法确定一次函数解析式．
【教学难点】
在不同问题情境下，确定一次函数关系式．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P93～P95的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法．
2．用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤：
(1)设一次函数解析式为y＝kx＋b；
(2)把满足条件的两个点(x1，y1)，(x2，y2)代入解析式，得到关于待定系数的方程组；
(3)解方程组，求出k、b的值；
(4)将求出的待定系数的值代回所设的函数解析式，即可得到所求函数的解析式；
3．教材第95页“思考”．
解：由上面的函数解析式能解决以下问题，由函数图象不能求出具体数值．
(1)当x＝1.5，y＝5×1.5＝7.5，
即需付款7.5元．
(2)当x＝3时 ，y＝4×3＋2＝14，
即需付款14元．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】已知一次函数图象经过点A(3,5)和点B(－4，－9)．
(1)求此一次函数的解析式；
(2)若点C(m,2)是该函数图象上一点，求C点坐标．
【互动探索】(引发学生思考)已知函数图象上两点如何求一次函数的解析式？点在函数图象上应满足什么条件？
【解答】(1)设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k、b是常数，且k≠0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5＝3k＋b，,－9＝－4k＋b，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝2，,b＝－1，))
∴一次函数的解析式为y＝2x－1.
(2)∵点C(m,2)在直线y＝2x－1上，
∴2＝2m－1，∴m＝eq \f(3,2)，
∴点C的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2)).
【互动总结】(学生总结，老师点评)用待定系数法求函数解析式的一般步骤：(1)设表达式；(2)代入点的坐标求参数值；(3)写出函数表达式
【例2】如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，如果A点的坐标为(2,0)，且OA＝OB，试求一次函数的解析式．
【互动探索】(引发学生思考)已知A(2,0)，且OA＝OB→点B的坐标→运用待定系数法求解．
【解答】∵OA＝OB，点A的坐标为(2,0)，
∴点B的坐标为(0，－2)．
设直线AB的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2k＋b＝0，,b＝－2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝1，,b＝－2，))
∴一次函数的解析式为y＝x－2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题先求出点B的坐标，再根据待定系数法即可求得函数解析式，解题关键是利用所给条件得到关键点的坐标，进而求得函数解析式．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，直线AB对应的函数表达式是( C )
A．y＝－eq \f(3,2)x＋2 B．y＝eq \f(3,2)x＋3
C．y＝－eq \f(2,3)x＋2 D．y＝eq \f(2,3)x＋2
2．若点A(2，－3)、B(4,3)、C(5，a)在同一条直线上，则a的值是( B )
A．6或－6 B．6
C．－6 D．6和3
3．已知一次函数的图象经过A(－2，－3)，B(1,3)两点．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)试判断点P(－1,1)是否在这个一次函数的图象上；
(3)求此函数图象与x轴、y轴围成的三角形的面积．
解：(1)设一次函数的表达式为y＝kx＋b，
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3＝－2k＋b，,3＝k＋b，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝2，,b＝1.))
∴函数解析式为y＝2x＋1.
(2)将点P(－1,1)代入函数解析式，
1≠－2＋1，
∴点P不在这个一次函数的图象上．
(3)当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝－eq \f(1,2) ，
∴此函数图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为eq \f(1,2)×1×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \f(1,4) .
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，A、B是分别在x轴上位于原点左右两侧的点，点P(2，m)在第一象限内，直线PA交y轴于点C(0,2)，直线PB交y轴于点D，S△AOP＝12.
(1)求点A的坐标及m的值；
(2)求直线AP的解析式；
(3)若S△BOP＝S△DOP，求直线BD的解析式．
【互动探索】(1)由S△POA＝S△AOC＋S△COP，根据三角形面积公式得OA＝10，然后再利用S△AOP＝12求出m；(2)已知A点和C点坐标，可利用待定系数法确定直线AP的解析式；(3)由S△BOP＝S△DOP得PB＝PD，即点P为BD的中点，则可确定B，D两点坐标，然后利用待定系数法确定直线BD的解析式．
【解答】(1)∵S△POA＝S△AOC＋S△COP，
∴eq \f(1,2)×OA×2＋eq \f(1,2)×2×2＝12，
∴OA＝10，
∴A点坐标为(－10,0)．
∵S△AOP＝eq \f(1,2)×10×m＝12，
∴m＝eq \f(12,5).
(2)设直线AP的解析式为y＝kx＋b.
把A(－10,0)，C(0,2)代入，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－10k＋b＝0，,b＝2，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝\f(1,5)，,b＝2，))
∴直线AP的解析式为y＝eq \f(1,5)x＋2.
(3)∵S△BOP＝S△DOP，
∴PB＝PD，即点P为BD的中点，
∴B点坐标为(4,0)，D点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(24,5))).
设直线BD的解析式为y＝k′x＋b′，
把B(4,0)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(24,5)))代入，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4k＋b＝0，,b＝\f(24,5)，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－\f(6,5)，,b＝\f(24,5)，))
∴直线BD的解析式为y＝－eq \f(6,5)x＋eq \f(24,5).
【互动总结】(学生总结，老师点评)待定系数法求函数解析式一般步骤：(1)先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx＋b；(2)将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；(3)解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．待定系数法的定义
2．用待定系数法求一次函数解析式
练习设计
请完成本课时对应训练！