初中数学人教版八年级下册18.2.1 矩形教案设计

这是一份初中数学人教版八年级下册18.2.1 矩形教案设计，共8页。教案主要包含了基本目标，重难点目标等内容，欢迎下载使用。

第1课时 矩形的性质
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质．
2．理解并掌握直角三角形斜边上的中线的性质．
【过程与方法】
经过探索矩形的性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法．
【情感态度与价值观】
经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识。
二、重难点目标
【教学重点】
理解并掌握矩形的性质定理．
【教学难点】
会用矩形的性质定理解决相关问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】阅读教材P52～P53的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形．
2．矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．
3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
4．请用所学的知识诊断下面的语句，若正确请在括号里打“”，错误打“”．
(1)矩形是特殊的平行四边形，特殊之处就是有一个角是直角．( )
(2)平行四边形就是矩形．( )
(3)平行四边形具有的性质，矩形也具有．()
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】求证：矩形的对角线相等．
【互动探索】(引发学生思考)画出图形，写出已知求证→根据矩形的性质定理1证明三角形全等→得出结论．
【解答】已知：如图，四边形ABCD是矩形，AC与BD是对角线．
求证：AC＝BD.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°.
又∵BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB，
∴AC＝BD，
即矩形的对角线相等．
【互动总结】(学生总结，老师点评)证明两个三角形全等是证明角相等的常用方法．
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，ED⊥BC于点D，交BA延长线于点E，若∠E＝35°，求∠BDA的度数．
【互动探索】(引发学生思考)根据直角三角形的性质得到DA＝DB，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】∵∠E＝35°，ED⊥BC，
∴∠B＝55°.
∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB＝55°，
∴∠BDA＝180°－55°－55°＝70°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
【例3】如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝2.5 cm，求矩形对角线的长．
【互动探索】(引发学生思考)矩形中含有直角三角形→判断AB与BD的数量关系→需确定∠ODA的度数．
【证明】∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD(矩形的对角线相等)，
OA＝OC＝eq \f(1,2)AC，OB＝OD＝eq \f(1,2)BD，
∴OA＝OD.
∵∠AOD＝120°，
∴∠ODA＝∠OAD＝eq \f(1,2)×(180°－120°)＝30°.
又∵∠DAB＝90°(矩形的四个角都是直角)，
∴BD＝2AB＝2×2.5＝5(cm)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用矩形的对角线相等及直角三角形的性质是解决这类问题的关键．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．矩形具有一般平行四边形不具有的性质是( B )
A．对边相互平行 B．对角线相等
C．对角线相互平分 D．对角相等
2．如果矩形的两条对角线所成的钝角是120°，那么对角线与矩形短边的长度之比为( B )
A．3∶2 B．2∶1
C．1.5∶1 D．1∶1
3．如图，△ABC中，若∠ACB＝90°，∠B＝55°，D是AB的中点，则∠ACD＝ 35°.
4．如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点，AE＝CF，求证：BE＝DF.
证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD＝BC.又∵AE＝CF，∴AD－AE＝BC－CF，即ED＝BF.又∵ED∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形，∴BE＝DF(平行四边形对边相等)．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，CD＝BC＝2，求点D到AC的距离．
解：如图，过D作DE⊥AC于点E.∵△ABC 为直角三角形，且D为AB的中点，∴CD＝DB＝DA＝2.又∵CD＝BC，∴△DBC为等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴DE＝eq \f(1,2)AD＝1，即点D到AC的距离为1.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例4】如图，BD为矩形ABCD的一条对角线，延长BC至E，使CE＝BD，连结AE，若AB＝1，∠AEB＝15°，求AD的长．
【互动探索】在Rt△ABD中，已知AB＝1，要求AD的长，需先求出BD的长，由矩形的性质及∠AEB＝15°，即可求得BD的长．
【解答】连结AC，交BD于点O.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ACB＝90°，DC＝AB＝1，AC＝BD.
∵CE＝BD，∴CE＝AC.
∵∠AEB＝15°，
∴∠ACB＝2∠AEB＝30°.
∴∠DCO＝60°.
又∵DO＝CO，
∴△DCO是等边三角形．
∴DO＝DC＝1，
∴BD＝2DO＝2.
又∵∠BAD＝90°，
∴AD＝eq \r(BD2－AB2)＝eq \r(3).
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键是应用转化思想，将CE＝BD转化为AC＝CE，再结合三角形的外角性质，将∠AEB＝15°转化为∠ACB＝30°.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 矩形的判定
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
理解并掌握矩形的判定方法．
【过程与方法】
经历探究矩形的判定方法的过程，使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力．
【情感态度与价值观】
鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲，体验数学活动中的探索和创新，感受数学的严谨性．
二、重难点目标
【教学重点】
矩形的判定方法．
【教学难点】
利用矩形的判定方法解决有关问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】阅读教材P53～P55的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
2．对角线相等的平行四边形是矩形．
3．有三个角是直角的四边形是矩形．
4．能够判断一个四边形是矩形的条件是( C )
A．对角线相等
B．对角线垂直
C．对角线互相平分且相等
D．对角线垂直且相等
5．如图，直线EF∥MN，PQ交EF、MN于A、C两点，AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、∠MCA、∠NCA、∠FAC的平分线．
(1)判断：AB∥CD、BC∥AD.
(2)四边形ABCD是( C )
A．菱形 B．平行四边形
C．矩形 D．不能确定
(3)AC和BD有怎样的大小关系？为什么？
解：相等．因为矩形的对角线相等．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】求证：有三个角是直角的四边形是矩形．
【互动探索】(引发学生思考)画出图形，写出已知求证→判定两对直线平行→判定四边形是平行四边形→根据矩形的定义得证．
【解答】已知：四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°.
求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，
∴AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)证明四边形是矩形可以先证四边形为平行四边形．
【例2】如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB∥CD且AB＝CD，∠BAC＝∠BDC，求证：四边形ABCD是矩形．
【互动探索】(引发学生思考)由AB∥CD且AB＝CD→四边形ABCD是平行四边形．结合∠BAC＝∠BDC，可用对角线相等的平行四边形是矩形解决问题．
【解答】∵AB∥CD且AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABD＝∠BDC，
∵∠BAC＝∠BDC，∴∠ABD＝∠BAC，
∴OA＝OB，∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)矩形的判定方法有多种，先证明四边形是平行四边形，再证明平行四边形是矩形是一种常用的判定方法．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列说法错误的是( D )
A．有一个内角是直角的平行四边形是矩形
B．矩形的四个角都是直角，并且对角线相等
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．有两个角是直角的四边形是矩形
2．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC.在不添加任何辅助线的前提下，要想使该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是∠A＝90°(答案不唯一)．(填上你认为正确的一个答案即可)
3．如图，在□ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E、F.求证：四边形BFDE为矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CDE＋∠DEB＝180°.∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠CDE＝90°.∵BF⊥CD，∴∠BFD＝90°，∴∠CDE＝∠DEB＝∠BFD＝90°.∴四边形BFDE为矩形．
4．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE.求AE的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝BO＝DO＝eq \f(1,2)BD，∠BAD＝90°.∵ED＝3BE，∴BE＝OE.又∵AE⊥BD，∴AB＝AO.∴AB＝AO＝BO，即△ABO是等边三角形，∴∠ABO＝60°，∴∠ADB＝90°－∠ABO＝30°.在Rt△AED中，∵∠ADB＝30°，∴AE＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)×6＝3.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4.求□ABCD的面积．
【互动探索】△ABO是等边三角形及已知条件→四边形ABCD是矩形→求出BC的长，再由矩形的面积公式即可求解．
【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵△ABO是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝4，∠BAC＝60°，
∴OA＝OC＝OB＝OD＝4，
∴AC＝BD＝2OA＝8，
∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)，
∴∠ABC＝90°(矩形的四个角都是直角)，
∴由勾股定理，得BC＝eq \r(AC2－AB2)＝4eq \r(3)，
∴□ABCD的面积是BC·AB＝4eq \r(3)×4＝16eq \r(3).
【互动总结】(学生总结，老师点评)先通过对角线相等证明此平行四边形为矩形，再通过矩形的面积公式求解．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
矩形的判定eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(定义：有三个角是直角的四边形是矩形,对角线：对角线相等的平行四边形是矩形))
练习设计
请完成本课时对应练习！