重庆市第一中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含解析

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重庆市第一中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题

一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知幂函数的图像经过点，则的值为（    ）

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】

由待定系数法可得f(x)的解析式，由此能求出．

【详解】∵幂函数y＝f（x）＝xa的图象经过点（2，4），

∴2a＝4，解得a＝2，

∴y＝x2，

∴＝2＝2．

故选：B．

【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数性质的合理运用．

2.函数的图像经过定点（    ）

A. (3, 1)    B. (2, 0)    C. (2, 2)    D. (3, 0)

【答案】A

【解析】

【分析】

由对数函数的性质可知，当真数为1时，对数式的值为0，故令真数x-2＝1可求y,可得定点

【详解】由对数函数的性质可知，当x-2＝1时，y＝1

即函数恒过定点（3，1）

故选：A．

【点睛】本题考查了对数型函数过定点的问题．解决此类题通常是令真数为1解得定点的坐标．属于基础题．

3.已知集合，则集合（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】

【分析】

化简集合A，根据补集的定义计算即可．

【详解】集合＝{y|0<y<2}＝（0，2），

则∁RA＝（﹣∞，0]，

故选D.

【点睛】本题考查了补集的运算与指数函数的值域问题，属于基础题．

4.已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】

【分析】

已知函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8，求出其对称轴，要求f（x）在上具有单调性，列出不等式，从而求出k的范围；

【详解】∵函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8的对称轴为：x，

∵函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8在上具有单调性，

根据二次函数的性质可知对称轴x，

解得k≥40；

∴k∈ [40，+∞），

故选：D．

【点睛】本题主要考查二次函数的图象及其性质的应用，属于基础题．

5.命题“，使”的否定是（    ）

A. ，使    B. ，使

C. ，使    D. ，使

【答案】C

【解析】

【分析】

根据特称命题的否定是全称命题进行判断.

【详解】命题“，使”的否定是“∀x，x2﹣3x+1<0”,

故选C.

【点睛】本题主要考查全称与特称命题的否定，属于基础题.

6.在数学史上，一般认为对数的发明者是苏格兰数学家——纳皮尔（Napier，1550-1617年）。在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科。可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数。在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法。让我们来看看下面这个例子： 

这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂。如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现。 比如，计算64×256的值，就可以先查第一行的对应数字:64对应6，256对应8，然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384,按照这样的方法计算：16384×32768=（    ）

A. 134217728    B. 268435356    C. 536870912    D. 513765802

【答案】C

【解析】

【分析】

先找到16384与32768在第一行中的对应数字，进行相加运算，再找和对应第二行中的数字即可.

【详解】由已知可知，要计算16384×32768，先查第一行的对应数字: 16384对应14，32768对应15，然后再把第一行中的对应数字加起来：14＋15＝29，对应第二行中的536870912，

所以有：16384×32768＝536870912,

故选C.

【点睛】本题考查了指数运算的另外一种算法，关键是认真审题，理解题意，属于简单题.

7.已知函数，则函数有（    ）

A. 最小值 ，无最大值    B. 最大值 ，无最小值

C. 最小值1，无最大值    D. 最大值1，无最小值

【答案】D

【解析】

【分析】

利用换元法，设t，将函数f（x）转化为二次函数g（t）在t上的值域，利用配方法求值域即可.

【详解】∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，]

设t，则t，

且x，

∴f（x）＝g（t）tt2+t（t﹣1）2+1，t，

∴g（t）≤g（1）

即g（t）≤1

∴函数f（x）的最大值1，无最小值.

故选D.

【点睛】本题考查了换元法求函数的值域，配方法求二次函数的值域，转化化归的思想方法，属于中档题.

8.已知函数是增函数，则实数a的取值范围是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用函数单调性的定义，结合指数函数，一次函数的单调性，即可得到实数a的取值范围．

【详解】由题意，，化简得,

解得,

故选：D．

【点睛】本题考查分段函数的单调性，解题的关键是掌握函数单调性的定义，属于中档题．

9.若函数在R上既是奇函数又是减函数，则的图象是（    ）

A.     B.

C.     D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据函数是一个奇函数，函数在原点处有定义，得到函数的图象一定过原点，求出k的值，根据函数是一个减函数，得出底数的范围，得到结果．

【详解】∵函数f（x）＝（k﹣1）ax﹣a﹣x（a＞0，a≠1）在R上是奇函数，

∴f（0）＝0

∴k＝2，

又∵f（x）＝ax﹣a﹣x为减函数，

所以1＞a＞0，

所以g（x）＝loga（x+2），

定义域为，且递减，

故选A.

【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性，即对数函数的性质，本题解题的关键是看出题目中所出现的两个函数性质的应用．

10.已知，则的充分不必要条件是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

【分析】

结合对数式比大小及充分条件，对四个选项一一判断，即可得结论.

【详解】对于A、C选项，因为m、n与1的大小不定，所以不能判断a、b的正负，排除A、C选项；

又B中，当时，,,所以成立，反之，当时，不一定有，还可以m、n都大于1，所以是的充分不必要条件，

所以B可以，则D不成立，故选B.

【点睛】本题考查了对数式比大小及充分条件的判断，考查了对数函数的值域问题，属于中档题.

11.已知定义域为R的函数在单调递增，且为偶函数，若，则不等式    的解集为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，可知f（x）的对称轴x＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集．

【详解】由函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，可知f（x）的对称轴x＝1，且在[1，+∞）上单调递增，

所以不等式f（2x+1）＜1=f（3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|，

即|2x|＜2⇔|x|＜1，解得-1

所以所求不等式的解集为：.

故选：A．

【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．

12.已知函数，方程有四个不相等的实数根，且满足： ，则的取值范围是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数图象得出4个零点的关系及范围，利用换元法求出新函数的值域即可．

【详解】作出f（x）的函数图象如图所示：

由图象知 x1+x2＝﹣2，x3x4＝1，1＜b≤2，

解不等式1x≤2得：x3，

∴，

令t＝，则x3，

令g（t）＝-4t-，则g（t）为在[，）上单调递增，在[，）上单调递减，

∴g（）≤g（t）≤g（），即-3≤g（t）≤．

故选：B．

【点睛】本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数单调性的判断与应用，属于中档题．

二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。

13.的定义域是    ．

【答案】（0,2）

【解析】

试题分析：，得．故定义域为．

考点：函数的定义域．

【名师点睛】函数的定义域，就是使函数式有意义的自变量的集合，一般确定函数定义域必须考虑下列各种情形：①负数没有偶次方根，②分母不为零，③0次幂底数不为0，④函数本身的要求（如对数函数、正切函数等），⑤有限个函数的四则得到的新函数（复合函数），它的定义域是这有限个函数定义域的交集．

14.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，当时，=______________．

【答案】

【解析】

【分析】

令x>0，所以﹣x<0，代入 f（x）中，由奇函数的定义可得f（x）＝.

【详解】令x>0，所以﹣x<0，所以f（﹣x）＝（﹣x﹣1）=（﹣x﹣1）＝﹣f（x），所以f（x）＝,

故答案为.

【点睛】本题考查了奇函数的定义和性质的应用，属于基础题.

15.已知函数，若，则此函数的单调递增区间是_____________．

【答案】

【解析】

【分析】

令t＝﹣x2+2x﹣3＞0，求得函数的定义域，根据f（0）＜0，可得0＜a＜1，只需求函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质得出结论．

【详解】令t＝﹣x2﹣2x+3＞0，可得﹣3＜x＜1，故函数的定义域为{x|﹣3＜x＜1}．

根据f（0）＝loga3＜0，可得0＜a＜1，

f（x）＝g（t）＝logat，需要求函数t在定义域内的减区间，又t＝﹣x2﹣2x+3，开口向下，对称轴为x=-1,所以函数t在定义域内的减区间为(﹣1，1），

故答案为．

【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基本知识的考查．

16.已知函数，若对任意恒成立，则实数的最大值是________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据二次函数的图象和性质，分当a＝0时，当a＞0时和当a＜0时，分类讨论满足条件的实数a的取值范围，综合可得答案．

【详解】当a＝0时，函数f（x）＝2x-1，f[f（x）]＝4x-3，

不满足对任意x∈R，f[f（x）]0恒成立，

当a<0时，f（x）1,且f（x）的对称轴为x=,

f[f（x）]f（-1）＝a（-1）2+2（-1）-1＝a1，

解a10得：或 a，又a<0

故，

当a>0时，f（x）1，

不满足对任意x∈R，f[f（x）]0恒成立，

综上可得：,

所以a的最大值为

故答案为：

【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知集合．

（1）若，求；

（2）若,求a的取值范围．

【答案】（1）； （2）.

【解析】

【分析】

（1）a＝1时，，．由此能求出AB．

（2）由A⊆B，直接列出不等关系，能求出a的取值范围．

【详解】（1），

又,且x+1，

,,

又a=-1时，，AB=，

即

（2） ，得 ，得

【点睛】本题考查交集的求法，考查实数的取值范围的求法，注意交集、子集性质的合理运用，属于基础题．

18.化简求值

（1）；

（2）．

【答案】（1） （2）

【解析】

【分析】

（1）把0指数幂化为1，利用根式的运算性质化简，其余直接利用有理指数幂的运算进行化简求值；

（2）利用对数的性质及运算法则直接求解．

【详解】（1）=-+1-3+=-2=.

（2）（lg5）2+lg2（1+lg5）

＝（lg5）2+lg2+lg2lg5-2

＝lg5（lg5+lg2）+lg2-2

＝lg5+lg2-2

＝-1．

【点睛】本题考查有理指数幂及根式的化简与求值，考查了对数式化简求值，是基础题，解题时注意对数的性质及运算法则的合理运用，属于基础题．

19.已知二次函数对任意，有，函数的最小值为，且．

（1）求函数的解析式；

（2）若方程在区间上有两个不相等实数根，求k的取值范围．

【答案】（1） ； （2）.

【解析】

【分析】

（1）设，由 得 ，得到的解析式.

（2）由题意知 可得

【详解】（1）由知，f（x）的对称轴为x=1,

设，

由 得 ，

所以 .

（2）由得方程在区间上有两个不相等实数根.

由 ，解得，可得

【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，考查了由二次方程根的分布情况求参数范围的问题，要结合二次函数的图象来解决问题，属于中档题．

20.已知函数．

（1）当时，求函数在区间上的值域；

（2）若函数在区间上是减函数，求的取值范围．

【答案】（1） ； （2）.

【解析】

【分析】

（1）先求得的范围，再根据对数函数的单调性求得值域.

（2）设 ，由复合函数单调性可知满足，解得a的范围即可.

【详解】（1）时，由 得  可知,

值域为.

（2）设 ，由复合函数单调性可知，

在区间单调递增且恒大于0，

则 ，可得 .

【点睛】本题考查的知识点是函数的值域及复合函数的单调性，运用了对数函数的图象和性质，属于中档题．

21.已知函数是定义域为R的奇函数．

（1）求函数的解析式；

（2）若存在使不等式成立，求m的最小值．

【答案】（1） ； （2） .

【解析】

【分析】

(1)由 f（0）=0,求得a,根据又，求得b，可得解析式.（2）根据在上单调递增，将原不等式等价变形为在有解，分参得，设,可得的最小值，得到结果.

【详解】(1)因为函数是定义域为R的奇函数，可知f（0）=0,a=-1,

又，则=-，

=-，b=1，

（2） =1-，所以在上单调递增；

由 可得在有解  

分参得，

设, ，所以,

则的最小值为．

【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，考查了指数函数式的运算及最值问题，属于中档题.

22.对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的任意都成立，则称函数是“型函数”．

（1）若函数是“型函数”，且，求出满足条件的实数对；

（2）已知函数．函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，．若对任意时，都存在，使得，试求的取值范围．

【答案】（1）； （2）.

【解析】

【分析】

（1）利用定义，直接判断求解即可．

（2）由题意得，g（1+x）g（1﹣x）＝4，所以当时,，其中, 所以只需使当时，恒成立即可，即在上恒成立，若，显然不等式在上成立，若，分离参数m，分别求得不等式右边的函数的最值，取交集即可得到m的范围.

【详解】（1）由题意，若是“(a,b)型函数”，则,即,

代入得 ，所求实数对为．

（2）由题意得：的值域是值域的子集，易知在的值域为，

只需使当时，恒成立即可，,即，

而当时,, 故由题意可得，要使当时,都有，

只需使当时，恒成立即可，

即在上恒成立，

若，显然不等式在上成立，

若，则可将不等式转化为，

因此只需上述不等式组在上恒成立，显然，当时，不等式（1）成立，

令 在上单调递增，∴，

故要使不等式（2）恒成立，只需即可，综上所述,所求的取值范围是.

【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，新定义的应用，抽象函数以及分类讨论思想的转化思想的应用,属于难题．