山东省青岛市黄岛区2019-2020学年高一上学期期中数学试题含答案

这是一份山东省青岛市黄岛区2019-2020学年高一上学期期中数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
解出集合中的不等式即可
【详解】因为
所以
故选：D
【点睛】本题考查的是集合的基本运算，较简单.
2.函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
解出不等式和即可
【详解】要使得有意义应满足：
，解得
所以的定义域为
故选：B
【点睛】本题考查的是求函数的定义域，较简单.
3.“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】
特称命题的否定是全称命题
【详解】因为特称命题的否定是全称命题
所以“，”的否定是“，”
故选：B
【点睛】本题考查的是命题的相关知识，较简单.
4.下列函数既是奇函数又在上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
逐一判断每个函数是否满足题目中的条件即可
【详解】不具有奇偶性，故A不满足条件
是奇函数但在上单调递增，故B不满足条件
既是奇函数又在上单调递减，故C满足条件
是偶函数，故D不满足条件
故选：C
【点睛】对于常见函数的单调性和奇偶性要熟练掌握.
5.“”是“关于x的方程有实数解”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
解出不等式，然后判断即可
【详解】因为关于x的方程有实数解
所以，即或
所以“”是“关于x的方程有实数解”的
充分不必要条件
故选：A
【点睛】本题考查的是充分条件、必要条件的判断，属于基础题.
6.已知函数，则（ ）
A. -4B. C. D. -8
【答案】D
【解析】
【分析】
由得
【详解】因为
所以
故选：D
【点睛】本题考查的是求分段函数的函数值，较简单.
7.已知为定义在R上的偶函数，当时，，则的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出在上的值域即可
【详解】因为当时，，且为定义在R上的偶函数
所以的值域为
故选：C
【点睛】偶函数的图象关于轴对称，其在的值域与在上的值域相同.
8.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用指数函数的单调性比较，
【详解】因为在上单调递增
所以
又因为
所以
故选：A
【点睛】本题考查的是指数幂的大小比较，较简单.
9.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下：
若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民本月用水量为（ ）
A. 20m3B. 18m3
C. 15m3D. 14m3
【答案】C
【解析】
【分析】
利用分段函数各段上的解析式,由函数值求自变量可得.
【详解】设此户居民本月用水量为,缴纳的水费为元,
则当时,元,不符合题意;
当时,,令,解得,符合题意;
当时,,不符合题意.
综上所述: 此户居民本月用水量为15.
故选:C
【点睛】本题考查了分段函数由函数值求自变量,解题关键是仔细阅读,搞清题意,本题属于基础题.
10.，用函数表示函数，中较大者，记为，则的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
，画出图象即可
【详解】
其图象为
所以值域：
故选：D
【点睛】对于常见的函数，可利用图象求单调区间和值域.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
11.已知a，b，c为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由，可得，，
【详解】因为，所以，故A正确
因为，所以，故B错误
因为，所以，所以，故C正确
因为，所以，故D正确
故选：ACD
【点睛】本题考查的是不等式的性质，较简单.
12.狄利克雷函数满足：当x取有理数时，；当x取无理数时，.则下列选项成立的是（ ）
A. B.
C. 有1个实数根D. 有2个实数根
【答案】ABC
【解析】
【分析】
写出的值域，求出方程的根即可
【详解】因为的值域为，故AB成立
只有一个根1，故C成立
故选：ABC
【点睛】本题考查的是函数的值域和方程的根的知识，较简单.
13.已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③.则下列选项成立的是（ ）
A. B. 若，则
C. 若，D. ，，使得
【答案】CD
【解析】
【分析】
由条件可得是偶函数且在上单调递增，然后即可判断出每个答案正确与否.
【详解】由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递增
所以，故A错
若，则，得，故B错
若则或，因为
所以或，故C正确
因为定义在R上函数的图象是连续不断的，且在上单调递增
所以，所以对，只需即可，故D正确
故选：CD
【点睛】1.偶函数的图象关于轴对称，比较函数值的大小即比较自变量到轴的远近
2. ，当时，都有在上单调递增；
，当时，都有在上单调递减.
三、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.
14.函数且的图象恒过的定点为____________ .
【答案】（1,2）
【解析】
【分析】
结合函数且恒过定点,可求得恒过的定点.
【详解】由函数且恒过定点,可令,得,即函数恒过定点.
故答案为:.
【点睛】本题考查了指数函数恒过定点的应用,考查了学生对指数函数知识的掌握,属于基础题.
15.已知函数，若，则________.
【答案】2
【解析】
【分析】
得出即可
【详解】因为
所以
即，因为，所以
故答案：2
【点睛】若是奇函数，则的图象关于对称，满足.
16.已知函数满足，则________.
【答案】6
【解析】
【分析】
由得出方程组，求出函数解析式即可.
【详解】因为函数满足，所以，
解之得,所以，所以.
【点睛】本题主要考查求函数的值，属于基础题型.
17.将“”中数字“4”移动位置后等式可以成立，如：“”.据此，若只移动一个数字的位置使等式“”成立，则成立的等式为________.
【答案】
【解析】
【分析】
观察式子的特点即可
【详解】只移动一个数字可变为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是观察能力，要求我们要熟练掌握指数的运算.
四、解答题：共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
18.已知全集，集合，集合.
（1）求及；
（2）若集合，，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）解出集合中的不等式即可
（2）由条件建立不等式即可.
【详解】（1）由得，所以,
由即得，所以
所以
所以
（2）因为，且
所以，
所以a的取值范围为：
【点睛】1.一般是利用指数函数的单调性来解指数不等式
2.集合的基本运算要多画数轴，以免出错.
19.已知函数为定义在R上的奇函数，当时，.
（1）求的值；
（2）用函数单调性的定义证明：函数在上单调递增；
（3）求函数在上解析式.
【答案】（1）（2）证明见解析（3）
【解析】
【分析】
(1)先算出，然后利用是奇函数，即可求出
(2)按照“设值、作差、变形、判断符号、下结论”证明即可
(3) 利用是奇函数即可求出和时的解析式
【详解】（1）因为当时，
所以
又因为为奇函数，所以
（2），
则
因为，所以；因为，所以
所以，即
所以函数在上单调递增
（3）当时，
所以
又因为
所以函数在上的解析式为：
【点睛】用定义证明函数单调性的步骤为：设值、作差、变形、判断符号、下结论，其中变形这一步中遇到分式一般都要进行通分，然后再分解因式.
20.已知函数.
（1）求的值；
（2）若函数，且，满足下列条件：①为偶函数；②且使得；③且恒过点.写出一个符合题意的函数，并说明理由.
【答案】（1）（2）；详见解析
【解析】
【分析】
(1)按照指数幂的运算法则直接计算即可
(2) ，证明其满足叙述的3个条件即可
【详解】（1）由题意知：
（2）函数
证明如下：①，所以
所以为偶函数
②
当且仅当，即时等号成立
③，恒过点
【点睛】指数函数恒过点，对数函数恒过点.
21.已知函数，.
（1）若不等式的解集为，求a的值；
（2）若，讨论关于x不等式的解集.
【答案】（1）（2）答案见解析
【解析】
【分析】
（1），1为方程的两个根，用韦达定理构建方程解出来即可.
（2），分三种情况讨论即可
【详解】（1）因为的解集为，
所以，1为方程的两个根
由韦达定理得：，解得
（2）由得：，所以
①当时，，不等式的解集是或
②当时，不等式可化为，不等式的解集是
③当时，，不等式的解集是或
综上可得，当时，不等式的解集是或；
当时，不等式的解集是；
当时，不等式的解集是或
【点睛】解含参的一元二次不等式需从以下几个方面讨论：1.二次系数的符号，2.根的个数，3.根的大小.
22.已知二次函数.
（1）若在区间上单调递增，求实数k的取值范围；
（2）若，当时，求的最大值；
（3）若在上恒成立，求实数k取值范围.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
【分析】
（1）解出即可
（2）令，，
（3）分离变量可得，然后求出右边的最小值
【详解】（1）若在单调递增，则，所以
（2）当时，
令，因为，所以
所以
所以，在上单调递减，上单调递增，
又因为
所以
（3）因为在上恒成立，
所以在恒成立，
即在恒成立
令，则，当且仅当时等号成立
所以
【点睛】1.求复合函数的值域一般是通过换元转化为常见函数，
2.恒成立问题首选的方法是分离变量法，然后转化为最值问题.
23.现对一块边长8米的正方形场地ABCD进行改造，点E为线段BC的中点，点F在线段CD或AD上（异于A，C），设（米），的面积记为（平方米），其余部分面积记为（平方米）.
（1）当（米）时，求的值；
（2）求函数的最大值；
（3）该场地中部分改造费用为（万元），其余部分改造费用为（万元），记总的改造费用为W（万元），求W取最小值时x的值.
【答案】（1）（2）32（3）或
【解析】
【分析】
（1）当米时，点F在线段CD上，利用算出即可
（2）分两种情况讨论，分别求出最大值，再作比较
（3），利用基本不等式可求出其取得最小值时，然后再分两种情况讨论
【详解】（1）由题知：当米时，点F在线段CD上，
所以
所以（平方米）
（2）由题知，当（米）时，点F在线段AD上
此时：（平方米）
当（米）时，点F在线段CD上，，
令
所以
所以
因为，所以，等号当且仅当时，即时取得
所以最大值为32
（3）因为，所以：
（万元）
等号当且仅当时取得，即时取得
当（米）时，点F在线段AD上，，
当（米）时，点F在线段CD上，，
综上W取最小值时或
【点睛】1.求复杂函数的最值时，要善于通过换元转化为常见函数
2.基本不等式是求最值时常常用到的.
本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（）专业教师团队编校出品。
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