江苏省南通中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含解析

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江苏省南通中学2018-2019学年高一上学期期中考试

数学试题

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1.已知，则实数的值为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据集合元素和集合的关系确定的值，注意元素的互异性的应用．

【详解】解：，，，，

由得，由，得，由得或．

综上，或．

当时，集合为不成立．

当时，集合为不成立．

当时，集合为，满足条件．

故．

故选：C．

【点睛】本题主要考查集合元素和集合之间的关系的应用，注意要利用元素的互异性进行检验．

2.设，，若，则实数的取值范围是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由得到关于m的不等式，能求出实数的取值范围．

【详解】解：，，

，

，

实数的取值范围是．

故选：A．

【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

3.函数的定义域为（　　）

A. 且 B.

C. 且 D.

【答案】A

【解析】

由题意，要使有意义，需满足，即．因此的定义域为．故选A．

4.函数的值域是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用二次函数的性质和不等式的性质求解．

【详解】解：由题意：函数，

，

，即函数的值域为．

故选：D．

【点睛】本题考查了二次函数的值域问题．考查了不等式的性质，属于基础题．

5.已知函数，若，则的值是（　　）

A.  B. 或 C. 或 D. 或或

【答案】A

【解析】

【分析】

利用分段函数的性质求解．

【详解】∵函数y，函数值为5，

∴当x≤0时，x2+1＝5，解得x＝﹣2，或x＝2（舍），

当x＞0时，﹣2x＝5，解得x，（舍）．

故选：C．

【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意分段函数的性质的合理运用．

6.函数的部分图象可能是（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

∵，

∴，

∴函数的定义域为，

又，

∴函数偶函数，且图象关于轴对称，可排除、．

又∵当时，，可排除．

综上，故选．

点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．

7.在函数（1）；（2）；（3）；（4）中，偶函数的个数是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，依次分析所给的个函数的奇偶性，综合即可得答案．

【详解】解：根据题意，依次分析所给的个函数：

对于，其定义域为，且且，是非奇非偶函数；

对于，有，解可得，其定义域不关于原点对称，则是非奇非偶函数；

对于，为二次函数，其对称轴为，则是非奇非偶函数；

对于，有，其定义域为或}，且，则函数为偶函数，

个函数中，偶函数的数目为；

故选：C．

【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，注意分析函数的定义域，属于基础题．

8.已知函数，则函数的减区间是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

分析】

对数的真数大于0，先求得定义域；再根据复合函数单调性判断“同增异减”的原则即可判断出单调递减区间。

【详解】设t=x2–4x–5，由t>0

可得x>5或x<–1，则y=在（0，+∞）递减，

由t=x2–4x–5在（5，+∞）递增，可得函数f（x）的减区间为（5，+∞）．

所以选C．

【点睛】本题考查了对数复合函数单调性的判断，关键是要注意到对数的真数大于0条件，属于基础题。

9.已知的定义域为，的定义域是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

可根据的定义域求出的定义域，进而得出的定义域．

【详解】解：的定义域为；

；

；

的定义域为；

；

；

的定义域为．

故选：D．

【点睛】考查函数定义域的概念及求法，已知定义域求定义域，以及已知求的定义域的方法．

10.设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

由f(x)为奇函数可知，

＝<0.

而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0.

当x>0时，f(x)<0＝f(1)；

当x<0时，f(x)>0＝f(－1)．

又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，

∴奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数．

所以0<x<1，或－1<x<0. 选D

点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内

11.已知函数，，则不等式的解集为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由 ，从而有在上单调递增，再结合单调性可求解．

【详解】解： ，

在在上单调递增，

，

或，

解可得，或，

即，

故选：A．

【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，体现了分类讨论思想的应用．

12.已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对于任意，存在，使得，则实数的取值范围是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

求出函数的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论．

【详解】解：是定义在上的奇函数，，

当时，，

则当时，，

若对于，，使得，

则等价为且，

，，

，，

则满足且，

解得且，

故，

故选：C．

【点睛】本题主要考查函数奇偶性应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强．

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.幂函数在上为增函数，则实数的值为____________．

【答案】

【解析】

【分析】

由函数是幂函数，列方程求出的值，再验证是否满足题意．

【详解】解：由函数是幂函数，则，解得或；

当时，，在上为减函数，不合题意；

当时，，在上为增函数，满足题意．

故答案为：．

【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．

14.集合，，若，则____________．

【答案】3

【解析】

试题分析：由题意得

考点：元素与集合关系

【易错点睛】

1．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．

2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常合理利用数轴、Venn图化抽象为直观．

15.求值：_________________．

【答案】

【解析】

【分析】

先利用对数的运算法则进行计算，第一个式子的值直接利用幂的运算将真数化成的形式后进行计算，将中间两个对数式的和化成一个以为底的对数的形式即可求得其值为，再结合对数恒等式：进行计算最后一个式子的值．从而问题解决．

【详解】解：

．

故答案为：．

【点睛】本小题主要考查对数的运算性质、对数的运算性质的应用、指数的运算性质等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．对数的运算性质：；；等．

16.已知函数是定义域为的偶函数，当时， ，若关于的方程，有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是_____________．

【答案】

【解析】

试题分析：当时，单调递减，当时，单调递增，由于函数是定义域为上偶函数，则在和上递减，在和上递增，当时，函数取得极大值；当时，函数取得极小值，当时，，要使得关于的方程，有且仅有个不同的实数根，设，则的两根均为，有且仅有个不同的实数根，则，解得，所以实数的取值范围是．

考点：方程根的个数的判定．

【方法点晴】本题主要考查了方程中根的个数的判定问题，其中解答中涉及到函数的单调性和函数的奇偶性的运用，函数的零点的判定及应用，以及方程与函数的零点的关系，本题的解得中熟练掌握一元二次方程的根的分布是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的考查，试题有一定的难度，属于中档试题．

三、解答题（本大题共6小题，共52.0分）

17.已知全集为，，，求：

（1），；

（2），．

【答案】（1） （2）

【解析】

【分析】

（1）化简，.再求，；（2）利用补集、交集、并集直接求解.

【详解】解：（1），.

,

（2），

又

【点睛】本题主要考查集合的化简，考查集合的交并补的混合运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

18.已知函数是奇函数，且当时，，

（1）求函数的表达式

（2）求不等式的解集

【答案】（1）（2）或

【解析】

【分析】

（1）求出函数x＜0的解析式，即得解；（2）分三种情况解不等式最后综合得解.

【详解】解：（1）根据题意，函数是奇函数，则，

当时，，则，

又由函数为奇函数，则，

则，

（2）根据题意，，

当时，，此时即，解可得，此时不等式的解集为，

当时，，成立；此时不等式的解集为，

当时，，此时即，解可得，此时不等式的解集为，

综合可得：不等式的解集或．

【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，考查分类讨论解不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

19.已知奇函数．

（1）求的值；

（2）判断的单调性，并加以证明；

（3）解不等式．

【答案】(1)(2)见解析;（2） .

【解析】

试题分析：（1）利用函数f（x）是奇函数，得到f（0）=0，即可求a的值；
（2）利用函数单调性的定义证明f（x）的单调性；
（3）利用函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化，求不等式的解集．

试题解析：

(1)因为是奇函数，所以

，经检验满足题意.

(2)

证明如下：任取

(3)

.

又 是奇函数，

所以

.

不等式的解集为.

20.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品（百台），其总成本为（万元），其中固定成本为万元，并且每生产百台的生产成本为万元（总成本固定成本生产成本）．销售收入（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：

（1）写出利润函数的解析式（利润销售收入总成本）；

（2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？

【答案】（1） （2）当工厂生产百台时，可使赢利最大为万元．

【解析】

【分析】

(1)先求出，再根据求解；（2）先求出分段函数每一段的最大值，再比较即得解.

详解】解：（1）由题意得．

，

（2）当时，

函数递减，

（万元）．

当时，函数，

当时，有最大值为（万元）．

所以当工厂生产百台时，可使赢利最大为万元．

【点睛】本题主要考查函数的解析式的求法，考查分段函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

21.已知函数，．

（1）若，且，求的值；

（2）当时，若在上是增函数，求的取值范围；

（3）若，求函数在区间 上的最大值．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）⇒，再由f（x）=-1即可求得x的值；

（2）由, 在[2，+∞）上是增函数，利用二次函数的单调性可求得a的取值范围；

（3）作出,的图象，对m分0＜m≤1与1＜m, 三种情况讨论即可求得答案．

试题解析：

解：(1)由知

即   ∴

 (2)

在 上是增函数

∴

(3)

图象如图

当时，

当时，

当时，

综合.

22.已知函数 ，．

（1）设，若是偶函数，求实数的值；

（2）设，求函数在区间上的值域；

（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1) (2) (3)

【解析】

试题分析:（1）根据偶函数定义得，再根据对数运算性质解得实数的值；（2）根据对数运算法则得，再求分式函数值域，即得在区间上的值域（3）设，将不等式化为，再分离变量得 且，最后根据基本不等式可得最值，即得实数的取值范围.

试题解析：（1）因为是偶函数，

所以，

则恒成立，   所以.

（2）

，

因为，所以，所以，

则，则，

所以，即函数的值域为.

（3）由，得，

设，则，设

       若则，由不等式对恒成立，

           ①当，即时，此时恒成立；

           ②当，即时，由解得；

       所以；   

        若则，则由不等式对恒成立，

        因为，所以 ，只需，解得；

        故实数的取值范围是.

点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.