四川省成都石室中学2018_2019学年高一数学10月月考试题含解析

这是一份四川省成都石室中学2018_2019学年高一数学10月月考试题含解析，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省成都石室中学2018-2019学年高一10月月考
数学试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.集合M={a，b，c，d，e}，集合N={b，d，e}，则（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由集合M,N直接进行交集、并集的运算即可．
【详解】∵M={a，b，c，d，e}，N={b，d，e}； ∴ M∪N=M．
故选：B．
【点睛】考查列举法的定义，元素与集合的关系，交集、并集的运算，集合间的关系．

2.下列各组函数中，表示同一函数的是（　　）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与 
【答案】D
【解析】
【分析】
通过求定义域，可以判断选项A，B的两函数都不是同一函数，通过看解析式可以判断选项C的两函数不是同一函数，从而只能选D．
【详解】A．f（x）=x+1的定义域为R， 的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一函数；
B.的定义域为（0，+∞），g（x）=x的定义域为R，定义域不同，不是同一函数；
C．f（x）=|x|， ，解析式不同，不是同一函数；
D．f（x）=x的定义域为R，的定义域为R，定义域和解析式都相同，是同一函数．
故选：D．
【点睛】考查函数的定义，判断两函数是否为同一函数的方法：看定义域和解析式是否都相同．

3.函数y=（）的单调递增区间是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用换元法结合复合函数单调性之间的关系进行求解即可．
【详解】y=，设t=x2+4x-3，则y=3t是增函数，
求函数y的单调递增区间，等价为求函数设t=x2+4x-3的单调递增区间，
函数t=x2+4x-3的对称轴为x=-2，则[-2，+∞）上是增函数，
则y=的单调递增区间是[-2，+∞），
故选：C．
【点睛】本题主要考查函数单调递增区间的求解，利用换元法结合指数函数，一元二次函数的单调性关系是解决本题的关键．

4.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t（年）的函数关系图象正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知，分析函数的单调性和凸凹性，进而得到函数的图象．
【详解】∵前3年年产量的增长速度越来越快， 故函数为增函数，且为凹函数；
又∵后3年年产量保持不变， 故函数图象为平行于x轴的线段，
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是函数的图象，难度不大，属于基础题．

5.关于x不等式ax+b＞0（b≠0）的解集不可能是（　　）
A. B. C. D. R
【答案】A
【解析】
【分析】
结合a，b的符号，以及一元一次不等式的解法进行判断即可．
【详解】若a=0，则不等式等价为b＞0，当b＜0时，不等式不成立，此时解集为∅，
当a=0，b＞0时，不等式恒成立，解集为R，
当a＞0时，不等式等价为ax＞b，即x＞，此时不等式的解集为（，+∞），
当a＜0时，不等式等价为ax＞b，即x＜，此时不等式的解集为（-∞，），
故不可能的是A，
故选：A．
【点睛】本题主要考查不等关系与不等式的解法，结合一元一次不等式的解法是解决本题的关键．

6.已知f（x）是R上的偶函数，且当x＞0时f（x）=x（1-x），则当x＜0时f（x）的解析式是f（x）=（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据f（x）是R上的偶函数，从而得出f（-x）=f（x），可设x＜0，从而-x＞0，又代入解析式即可得解．
【详解】∵f（x）是R上的偶函数； ∴f（-x）=f（x）；
设x＜0，-x＞0，则：f（-x）=-x（1+x）=f（x）；
∴x＜0时f（x）的解析式是f（x）=-x（1+x）．
故选：C．
【点睛】考查偶函数的定义，求偶函数对称区间上解析式的方法．

7.的大小关系是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用指数函数y=（）x的单调性，比较前两个数的大小，再利用幂函数y=的单调性，比较的大小，最后将三个数从大到小排列即可
【详解】∵y=（）x在R上为减函数，，∴
∵y=在（0，+∞）上为增函数， ，∴
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了利用函数的单调性比较大小的方法，指数函数的单调性、幂函数的单调性，转化化归的思想方法

8.若关于x的不等式ax2+bx+3＞0的解集为，其中a，b为常数，则不等式3x2+bx+a＜0的解集是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意利用根与系数的关系求出a、b的值，再化简不等式3x2+bx+a＜0并求出它的解集．
【详解】关于x的不等式ax2+bx+3＞0的解集为，
则方程ax2+bx+3=0的两实数根为-1和，且a＜0；
由根与系数关系知，解得a=-6，b=-3，
所以不等式3x2+bx+a＜0可化为3x2-3x-6＜0，
即x2-x-2＜0，解得-1＜x＜2，
所以所求不等式的解集是（-1，2）．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．

9.已知集合A={x|≤0}，B={x|2m-1＜x＜m+1}且A∩B=B，则实数m的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
解不等式可求出A，然后由A∩B=B，可知B⊆A，分B=∅，及B≠∅两种情况进行讨论即可求解
【详解】A={x|≤0}={x|-3＜x≤4}，∵A∩B=B， ∴B⊆A，
若B=∅，则2m-1≥m+1，解可得m≥2，
若B≠∅，则，解可得，-1≤m＜2
则实数m的取值范围为[-1，+∞）
故选：D．
【点睛】本题主要考查了集合之间的包含关系的应用，体现了分类讨论思想的应用．

10.函数值域为R，则实数a的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
函数是上的单调减函数,
则有：解得，故选B.
点睛：本题考查分段函数的单调性，解决本题的关键是熟悉指数函数，一次函数的单调性，确定了两端函数在区间上单调以外，仍需考虑分界点两侧的单调性，需要列出分界点出的不等关系.

11.已知，则不等式f（x-2）+f（x2-4）＜0的解集为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性和单调性，进而得f（x-2）+f（x2-4）＜0⇒ f（x-2）＜f（4-x2）⇒x-2＜4-x2，解不等式即可得解.
【详解】根据题意，，
当x＞0时，，则f（-x）=（-x）2+3（-x）=-x2-3x=-f（x），
当x0时，，则f（-x）=（-x）2+3（-x）=x2-3x=-f（x），
,函数f（x）为奇函数，易知函数f（x）在R上为增函数；
f（x-2）+f（x2-4）＜0⇒f（x-2）＜-f（x2-4）⇒f（x-2）＜f（4-x2）⇒x-2＜4-x2，
则有x2+x-6＜0，解可得：-3＜x＜2，
即不等式的解集为（-3，2）；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分段函数的奇偶性和单调性的判断及应用，属于基础题.

12.设函数f（x）与g（x）的定义域为R，且f（x）单调递增，F（x）=f（x）+g（x），G（x）=f（x）-g（x）．若对任意x1，x2∈R（x1≠x2），不等式[f（x1）-f（x2）]2＞[g（x1）-g（x2）]2恒成立．则（）
A. ，都是增函数 B. ，都是减函数
C. 是增函数，是减函数 D. 是减函数，是增函数
【答案】A
【解析】
试题分析：由，，可得.又对于任意，不等式恒成立，
即恒成立.
即恒成立.可知与具有相同的单调性，同为增函数或同为减函数，由可知，若同为减函数，则为减函数，这与条件中位增函数相矛盾.因而与同为增函数. 故选A.
考点：函数单调性的理解和应用，弄清这四个函数之间的关系，理解透彻题目中的条件的含义.
【方法点晴】本题主要考查的是抽象函数的单调性问题，首先要从条件中理清四个函数之间的关系，由,可得.将题中的条件,对于任意不等式恒成立，作一定的变形，更要注意有直接的单调性，的单调性要从条件中自己想办法去得出.此题要注重对条件的挖掘，力争正确理解题意.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若函数是奇函数，则a=______．
【答案】
【解析】
为奇函数，且定义域为，
则，。

14.已知函数y=f（x）的定义域是[0，4]，则函数的定义域是______．
【答案】（1，3]
【解析】
【分析】
根据f（x）的定义域为[0，4]即可得出：函数需满足，，解出x的范围即可．
【详解】∵y=f（x）的定义域是[0，4]；∴函数, 需满足：；
解得1＜x≤3； ∴该函数的定义域为：（1，3]．
故答案为：（1，3]．
【点睛】考查函数定义域的概念及求法，已知f（x）定义域求f[g（x）]定义域的方法．

15.若直线y=a与函数y=|ax+1-3|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是______．
【答案】（0，1）∪（1，3）
【解析】
【分析】
分类讨论：①当0＜a＜1时，②当a＞1时，作出两函数的图象，结合图象由数形结合思想可得解
【详解】①当0＜a＜1时，y=|ax+1-3|的图象如图（1）所示,由已知得0＜a＜1，∴0＜a＜1，
②当a＞1时，y=|ax+1-3|的图象如图（2）所示，由图可得0＜a＜3，又a＞1，可得1＜a＜3，

综合①②得：实数a的取值范围为：（0，1）∪（1，3）．
故答案为：（0，1）∪（1，3）
【点睛】本题考查函数图象的交点个数，数形结合是解决问题的关键，属中档题．

16.已知定义在R上的函数y=f（x），满足f（2）=0，函数y=f（x+1）的图象关于点（-1，0）中心对称，且对任意的负数x1，x2（x1≠x2），恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为____．
【答案】（-∞，-2）∪（0，2）
【解析】
【分析】
根据条件判断函数f（x）是奇函数，结合不等式的性质，构造函数h（x）=x2107f（x），研究函数h（x）的奇偶性和取值情况，进行求解即可．
【详解】∵函数y=f（x+1）的图象关于点（-1，0）中心对称，
∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）中心对称，即函数f（x）是奇函数，
对对任意的负数x1，x2（x1≠x2），恒成立，
不妨设x1＜x2，则x12107f（x1）-x22107f（x2）＞0，
设h（x）=x2107f（x），则不等式等价为h（x1）＞h（x2），且函数h（x）是偶函数，
即h（x）在（-∞，0）上为减函数，∵f（2）=0，∴h（2）=22107f（2）=0，
则当x＞0时，不等式f（x）＜0等价为不等式x2107f（x）＜0，即h（x）＜0
当x＜0时，不等式f（x）＜0等价为不等式x2107f（x）＞0，即h（x）＞0，
当x＞0时，由h（x）＜0得0＜x＜2，
当x＜0时，由h（x）＞0得x＜-2，
即f（x）＜0的解集为（-∞，-2）∪（0，2），
故答案为：（-∞，-2）∪（0，2）．
【点睛】本题考查的是函数单调性，奇偶性的综合应用，解题中构造函数h（x）=x2107f（x）是解决本题的关键，属于中档题.

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知集合A={x|x2-4x-5≤0}，，C={x|x＜m}．
（1）求A∩（∁RB）；
（2）若A∩C≠A且B∩C≠∅，求实数m的取值范围．
【答案】（1）{x|-1≤x≤0或2≤x≤5}；（2）0＜m≤5
【解析】
分析】
（1）解不等式求出集合，结合交集补集的定义进行计算即可．
（2）根据集合交集关系确定m范围即可．
【详解】（1），
∁RB={x|x≥2或x≤0}  ∴A∩（∁RB）={x|-1≤x≤0或2≤x≤5}       
（2）由A∩C≠A，则m≤5 由C∩B≠∅，则m＞0 ，综上：0＜m≤5
【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．比较基础．



18.（1）计算：；
（2）求二次函数f（x）=-x2+4ax+1（a＞0）在区间[0，2]的最大值．
【答案】（1）π-；（2）f（x）max=
【解析】
【分析】
（1）根据题意，由指数幂的运算性质可得原式=-1+π-2+，即可得答案；
（2）根据题意，分析函数f（x）的对称轴，据此讨论a的取值范围，求出函数的最值，分析即可得答案．
【详解】（1）根据题意，原式；
（2）根据题意，对于函数f（x）=-x2+4ax+1，其对称轴x=2a＞0，开口向下.
当0＜2a＜2即0＜a＜1时，f（x）max=f（2a）=4a2+1，
当2a≥2即a≥1时，f（x）max=f（2）=8a-3，
综合可得：f（x）max=．
【点睛】本题考查二次函数的性质以及指数幂的计算，（2）中注意讨论a的范围，属于基础题．


19.某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P和Q（万元），它们与投入资金m（万元）的关系有如下公式：，，今将200万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于25万元．
（Ⅰ）设对乙种产品投入资金x（万元），求总利润y（万元）关于x的函数关系式及其定义域；
（Ⅱ）如何分配投入资金，才能使总利润最大，并求出最大总利润．
【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析.
【解析】
分析：（Ⅰ）根据题意，对乙种商品投资（万元），对甲种商品投资（万元），结合题意可求经营甲、乙两种商品的总利润（万元）关于的函数表达式；（Ⅱ）令，利用配方法结合二次函数的性质可求总利润y的最大值．
详解：（Ⅰ）根据题意，对乙种产品投入资金万元，
对甲种产品投入资金万元,
那么
，
由，解得，
所以函数的定义域为.
（Ⅱ）令，则 ，
因∈，所以，
当时函数单调递增，当时函数单调递减，
所以当=时，即=时， ，
答：当甲种产品投入资金万元，乙种产品投入资金万元时，总利润最大.
最大总利润为万元．
点睛：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的最值，正确建立函数解析式是关键．





20.设函数（其中a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由．
（2）若，试判断函数f（x）在区间[1，+∞）上的单调性，并用函数单调性定义给出证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
分析】
（1）根据题意，求出函数的定义域，分a=0与a≠0两种情况讨论函数的奇偶性，即可得答案；
（2）根据题意，设1≤x1＜x2，由作差法分析可得结论．
【详解】（1）函数，其定义域为{x|x≠0}，
当a=0时，f（x）=，有f（-x）=-f（x），则函数f（x）为奇函数；
当a≠0时，，f（-x）=ax2-，
有f（x）≠f（-x）且f（-x）≠-f（x），
则函数f（x）是非奇非偶函数；
（2）根据题意，函数f（x）在[1，+∞）上为增函数；
证明：设1≤x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=（ax12+）-（ax22+）=（x1-x2）[a（x1+x2）]，
又由1≤x1＜x2，则（x1-x2）＜0，[a（x1+x2）＞1，＜1，则有f（x1）-f（x2）＜0，
则函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断与证明，注意分析a的取值范围，属于基础题．




21.设函数f（x）=|x-a|+x，其中a＞0．
（1）当a=3时，求不等式f（x）≥x+4的解集；
（2）若不等式f（x）≥x+2a2在x∈[1，3]恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）{x|x≤-1或x≥7}；（2）-1
【解析】
【分析】
（1）分情况去绝对值解不等式可得；
（2）由题意可得：|x-a|≥2a2在x∈[1，3]恒成立，再按照a与区间[1，3]的关系分3种情况讨论．
【详解】（1）当 a=3 时，不等式 f（x）≥x+4，即|x-3|+x≥x+4，即|x-3|≥4，
⇒x≥7或⇒x≤-1
故不等式 f（x）≥x+4 的解集为{x|x≤-1或x≥7}
（2）由题意可得：|x-a|≥2a2在x∈[1，3]恒成立，
①当a＜1时，则x-a＞0，∵x-a≥2a2在x∈[1，3]上恒成立，∴1-a≥2a2，解得-1；
②当1≤a≤3时，∵|x-a|≥2a2在x∈[1，3]上恒成立，∴当x=a时，0≥2a2，解得a=0舍去；
③当a≥3时，则x-a＜0，∴-x+a≥2a2在[1，3]上恒成立，∴-3+a≥2a2，此不等式无解；
综上，-1．
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论的思想，属中档题．



22.定义域为R的函数f（x）满足：对于任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且当x＜0时，f（x）＞0恒成立，且nf（x）=f（nx）．（n是一个给定的正整数）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）证明f（x）为减函数；若函数f（x）在[-2，5]上总有f（x）≤10成立，试确定f（1）应满足的条件；
（3）当a＜0时，解关于x的不等式．
【答案】（1）见解析；（2）f（1）[-5，0）；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用函数奇偶性的定义，结合抽象函数关系，利用赋值法进行证明
（2）结合函数单调性的定义以及最值函数成立问题进行证明即可
（3）利用抽象函数关系，结合函数奇偶性和单调性定义转化为一元二次不等式，讨论参数的范围进行求解即可
【详解】（1）f（x）为奇函数，证明如下；
由已知对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y） 恒成立．
令 x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0．
令y=-x，得 f（x-x）=f（x）+f（-x）=0．
所以对于任意x，都有f（-x）=-f（x）．
所以f（x）是奇函数．
（2）设任意 x1，x2 且 x1＜x2，则x2-x1＞0，由已知 f（x2-x1）＜0，
又f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1）＜0， 得 f（x2）＜f（x1），
根据函数单调性的定义和奇函数的性质知 f（x）在（-∞，+∞）上是减函数．
所以 f（x）在[-2，5]上的最大值为f（-2）．
要使 f（x）≤10恒成立，当且仅当 f（-2）≤10，
又因为f（-2）=-f（2）=-f（1+1）=-2f（1）,所以f（1）≥-5．
又 x＞1，f（x）＜0，所以f（1）∈[-5，0）．
（3）∵．，
∴f（ax2）-f（a2x）＞n2[f（x）-f（a）]．
所以f（ax2-a2x）＞n2f（x-a），
所以f（ax2-a2x）＞f[n2（x-a）]，
因为f（x） 在 （-∞，+∞） 上是减函数，
所以ax2-a2x＜n2（x-a）．
即（x-a）（ax-n2）＜0，
因为a＜0，所以（x-a）（x）＞0．
讨论：
①当a＜＜0，即a＜-n时，原不等式的解集为{x|x＞或x＜a}；
②当a=，即a=-n时，原不等式的解集为{x|x≠-n}；
③当＜a＜0，即-n＜a＜0 时，原不等式的解集为{x|x＞a或x＜}．
【点睛】本题主要考查抽象函数的应用，利用函数奇偶性和单调性的定义，利用赋值法是解决本题的关键．考查学生的转化能力，综合性较强，有一定的难度．