北京第四中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试卷含解析

这是一份北京第四中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试卷含解析，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
    北京四中2018－2019学年上学期高中一年级期中考试数学试卷卷（I）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.的值为（  ）A.     B.     C. 1    D. 【答案】D【解析】【分析】根据对数的运算法则及性质即可求解.【详解】因为 ，故选D.【点睛】本题主要考查了对数的性质和运算法则，属于容易题.2.集合，则下列关系正确的是（  ）A.     B.     C.     D. 【答案】A【解析】【分析】根据元素与集合的关系即可判断.【详解】因为，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，属于容易题.3.函数的定义域是（  ）A.     B. C.     D. 【答案】C【解析】【分析】函数要有意义，则需解析式有意义，分式的分母不为0即可.【详解】要是函数有意义，则需，解得，所以函数的定义域为，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的定义域，属于中档题.4.若，则（  ）A. 1    B.     C. 0    D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式，只需把代入即可求出函数值.【详解】因为，所以当时，，故选A.【点睛】本题主要考查了根据函数解析式求函数值，属于中档题.5.下列函数中，在区间上为增函数的是（  ）A.     B. C.     D. 【答案】B【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性，逐项分析即可.【详解】A选项中 是一次函数，，所以在R上是减函数，错误；   B选项 是幂函数，幂指数，在区间上为增函数，故正确；C选项 是二次函数，对称轴为，在区间上无单调性，错误；   D选项 是指数函数，，在R上是减函数，错误.故选B.【点睛】本题主要考查了函数的单调性，属于中档题.6.下列函数中，值域是的是（  ）A.     B. C.     D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数性质，逐项分析各选项即可.【详解】A中的值域为R,错误，B中的值域为，正确；C中 ，值域为，错误； D中 的值域为R,错误.故选B.【点睛】本题主要考查了基本初等函数的值域，属于中档题.7.函数的零点所在的一个区间是（  ）A.     B.     C.     D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意可知函数是R上的减函数，只需根据即可判断零点所在区间.【详解】因为是R上的减函数，所以是R上的减函数，又，可知零点在区间上，故选C.【点睛】本题主要考查了函数零点的存在性，函数的单调性，属于中档题.8.若，则（  ）A.     B.     C.     D. 【答案】B【解析】【分析】根据指数及对数的性质可分析出范围，从而得到结果.【详解】因为，所以，因为，所以，所以选B.【点睛】本题主要考查了指数的性质，对数的性质，属于容易题.9.已知函数是上的偶函数，当时，，则的解集是（  ）A.     B.     C.     D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数是上的偶函数，可知函数图象关于y轴对称，解出当时的解，由函数图像的对称性，可知时，的解.【详解】当时,，所以解得，由是上的偶函数知，函数图象关于y轴对称，所以当时，的解为，综上知，的解集为.故选D.【点睛】本题主要考查了偶函数的性质及图象，属于中档题.10.若，则函数的图象有可能是（  ）A.     B. C.     D. 【答案】A【解析】【分析】根据，可知函数是增函数，当时，，由知，可选出答案.【详解】根据，可知函数是增函数，排除B,D选项，当时，，由知，排除C选项，故选A.【点睛】本题主要考查了指数函数的增减性，指数函数的图象，属于中档题.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.计算:________；________.【答案】    (1). 1    (2). 4【解析】【分析】分别根据对数的运算法则及指数的运算法则计算即可求解.【详解】; 故填(1). 1 (2). 4【点睛】本题主要考查了对数及指数运算法则，属于中档题.12.若函数的定义域为，则函数的定义域为________.【答案】【解析】【分析】根据的定义域为知，要有意义则需，即可求出的定义域.【详解】因为的定义域为，则要有意义则需，解得，所以的定义域为.故填.【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域，属于中档题.13.函数，则其图象的对称轴方程为 ________；的增区间是________.【答案】    (1). 2    (2). 【解析】【分析】根据二次函数的性质知，对称轴方程为，当时， 增区间为,据此可写出答案.【详解】因为函数，所以对称轴方程为，的增区间是.故填：(1). 2  (2). 【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴和单调区间，属于容易题.14.已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】函数有3个零点，即方程有3个根，因此在同一坐标系内做出的图象与直线，观察它们公共点的个数即可得到答案.【详解】因为有3个零点，所以的图象与直线有3个公共点在同一坐标系内作出它们的图象，如下：根据图象可知，当时，有三个交点.故则实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了分段函数，函数的零点，函数零点与方程的根，数形结合思想，属于中档题.三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）15.设集合.（I）用列举法写出集合；（II）求和.【答案】（I）；（II）,.【解析】【分析】（I）根据集合的描述法写出集合中的元素即可列举法表示（II）根据交集和并集的运算即可求解.【详解】（I）因为x，所以,所以.（II）因为，所以,.【点睛】本题主要考查了集合的描述法，列举法，交集，并集，属于中档题.16.已知函数.（I）当时，判断的奇偶性，并证明你的结论；（II）当时，求的值域.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】【分析】（I）当时,,,为偶函数，可根据定义证明（II）当时，，配方可写出值域.【详解】（I）当时,,,为偶函数,证明：由知，, , . 即函数为偶函数.（II）当时， 即函数的值域为.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，二次函数的值域，属于中档题.17.设函数.（I）利用单调性定义证明：在区间上是单调递减函数；（II）当时，求在区间上的最大值.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】【分析】（I）根据函数单调性的定义证明即可（II）先证明函数在区间[2，+∞）上是单调递增函数，再结合（I）的结论且，对分类讨论写出函数最大值.【详解】（I）任取，∈（0，2]，设<，则  ∵，∴∵，∴∴所以，故在区间（0，2]上是单调递减函数.（II）由（I）可知，在区间（0，2]上是单调递减函数；当，设<，易知总有<，所以在区间[2，+∞）上是单调递增函数，又，所以在区间上最大值为.【点睛】本题主要考查了函数单调性的定义证明，分类讨论的思想，属于中档题.卷（II）一、选填题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）18.不等式的解集是A.     B.     C.     D. 【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的增减性可转化为，即可求解.【详解】 ，即.所以不等式的解集为.故选C.【点睛】本题主要考查了指数函数的增减性，属于中档题.19.如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定是偶函数的是A.     B. C.     D. 【答案】B【解析】试题分析：由题意得，因为函数是定义在上的奇函数，所以，设，则，所以函数为偶函数，故选B．考点：函数奇偶性的判定．20.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据：第天12345被感染的计算机数量（台）10203981160 则下列函数模型中，能较好地反映计算机在第天被感染的数量与之间的关系的是A.     B. C.     D. 【答案】D【解析】【分析】根据选项中的函数，依次代入x值求出y的值，通过y的值与表格中所给出的y的值进行比较，误差越小则拟合度越高，误差越大则拟合度越小，计算即可求解.【详解】对于A选项，当时，对应的y值分别为,对于B选项，当时，对应的y值分别为,对于C选项，当时，对应的y值分别为,对于D选项，当时，对应的y值分别为,而表中所给的数据为，，当时，对应的y值分别为，通过比较，即可发现选项D中y的值误差最小，即能更好的反映与之间的关系. 故选D.【点睛】本题主要考查了选择合适函数模型来拟合实际问题，属于中档题.21.设全集，集合,则_______；_______.【答案】    (1).     (2). 【解析】【分析】根据集合的补集的运算及交集的运算即可求解.【详解】因为全集，集合,所以,.【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，属于中档题.22.如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为, ，则_________；的解集为________.【答案】    (1). 2    (2). 【解析】【分析】根据函数的图象，观察即可得出答案.【详解】根据图象知，所以，根据图象知 ，所以，当时，由图象可知，即的解集为.【点睛】本题主要考查了函数的图象，属于中档题.23.当时，不等式恒成立，则的取值范围是________.【答案】()【解析】试题分析：当时，，所以，画出和的图象，从图象可知，要使，需要考点：本小题主要考查指数函数、对数函数的图象和应用，考查学生的推理能力和数形结合思想的应用.点评：题目中给出的不等式涉及到指数函数和对数函数，所以要画出两个函数的图象，数形结合解决.二、解答题：（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24.设函数.（I）若，求的取值范围；（II）记的反函数为,若在上恒成立，求的最小值.【答案】（I）或；（II）.【解析】【分析】（I）根据对数函数的增减性转化为，并注意真数大于零即可求解（II）由题意知，原不等式可转化为在区间[2，）上恒成立即可求解.【详解】（I）由已知loga（x2－x）>loga2，因为0<a<1，所以0<x2－x<2，解，得－1<x<2,解，得x>1或x<0,所以x的取值范围是{x|－1<x<0或1<x<2）.（II）为的反函数，所以,由已知 在区间[2，）上恒成立，因为，所以在区间[2，）上恒成立，  即大于等于的最大值,因为0<a<1，所以>1，又x－2∈[0，），所以（）的最小值为1，－（）的最大值为－1，所以k≥－1，所以k的最小值为－1.【点睛】本题主要考查了对数函数的增减性，反函数，指数函数，恒成立问题，属于中档题.25.给定数集,若对于任意,有,且，则称集合为闭集合.（I）判断集合是否为闭集合，并给出证明；（II）若集合为闭集合，则是否一定为闭集合?请说明理由；（III）若集合为闭集合，且,证明：.【答案】（I）证明见解析；（II）不一定，证明见解析；（III）证明见解析.【解析】【分析】（I）根据特值，但是4+4=8A，判断A不为闭集合，设，可证出，，B为闭集合（II）取特例A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k，k∈Z}，集合为闭集合，但不为闭集合即可（III）用反正正法，若AB=R，存在a∈R且aA，故a∈B，同理，因为BR，存在b∈R且bB，故b∈A，若，则由A为闭集合，，与aA矛盾，同理可知若，，与bB矛盾，即可证明.【详解】（I）因为，但是4+4=8A，所以，A不为闭集合；任取，设,则且所以，同理，，故B为闭集合.（II）结论：不一定.令A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k，k∈Z}，则由（I）可知，A，B为闭集合，但2，3∈AB，2+3=5AB，因此，AB不为闭集合.（III）证明：（反证）若AB=R,则因为AR，存在a∈R且aA，故a∈B,同理，因为BR，存在b∈R且bB，故b∈A,因为a+b∈R=AB，所以，a+b∈A或a+b∈B,若，则由A为闭集合，，与aA矛盾,若，则由B为闭集合，，与bB矛盾,综上，存在c∈R，使得c（AB）.【点睛】本题主要考查了集合子集、真子集，反证法，考查了学生分析推理能力，属于难题.