黑龙江省大庆实验中学2018--2019学年高一上学期期中考试数学试题含解析

2018-2019学年黑龙江省大庆实验中学

高一上学期期中考试数学试题

数学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题

1．已知集合，，则

A．    B．    C．    D．

2．的值为

A．    B．    C．    D．

3．下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是

A．    B．    C．    D．

4．下列说法正确的有

①大庆实验中学所有优秀的学生可以构成集合；② ；

③集合与集合表示同一集合；

④空集是任何集合的真子集.

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

5．已知函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是

A．    B．    C．    D．

6．已知，，，则

A．    B．    C．    D．

7．已知函数是幂函数，且其图像与轴没有交点，则实数

A．或    B．    C．    D．

8．已知角α的终边上一点的坐标为(sin，cos)，则角α的最小正值为( )

A．    B．    C．    D．

9．已知,,若,则实数的取值范围是(  )

A．    B．    C．    D．

10．已知在单调递减，则实数的取值范围是

A．    B．    C．    D．

11．已知，且，若存在,，使得成立，则实数的取值范围是

A．    B．    C．    D．

12．已知函数在上有且只有一个零点，则正实数的取值范围是

A．     B．   

C．       D．

二、填空题

13．已知，则__________．

14．化简________.

15．若关于的方程的两实根是，则_____．

16．已知函数和同时满足以下两个条件：

（1）对于任意实数，都有或；

（2）总存在，使成立．

则实数的取值范围是 __________．

三、解答题

17．（1）将写成的形式，其中；

（2）写出与（1）中角终边相同的角的集合并写出在的角.

18．已知关于的不等式的解集为．

（1）求集合；

（2）若，求的最大值与最小值．

19．已知函数是定义在的增函数，对任意的实数，都有，且．

（1）求的值；

（2）求的解集．

20．已知.

（1）求的值；

（2）若为第二象限角，且角终边在上，求的值．

21．已知二次函数对任意的实数都有成立，且．

（1）求函数的解析式；

（2）函数在上的最小值为，求实数的值．

22．已知定义域为的函数是奇函数.

（1）求的值；

（2）当时， 恒成立，求实数的取值范围.

2018-2019学年黑龙江省大庆实验中学

高一上学期期中考试数学试题

数学  答 案

参考答案

1．D

【解析】

【分析】

题干可得到集合A,B再由函数补集的概念得到结果.

【详解】

集合，，则

故答案为：D。

【点睛】

高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．

2．B

【解析】

【分析】

根据特殊角的三角函数值得到结果即可.

【详解】

的值为。

故答案为：B.

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值，较为基础.

3．C

【解析】

【分析】

根据奇偶函数的定义依次判断选项即可得到答案.

【详解】

A.是偶函数，在上为增函数，故不正确；B. 非奇非偶，故不正确；C. 满足是偶函数且在上为减函数，故正确；D. 是奇函数.

故答案为：C

【点睛】

这个题目考查了函数的奇偶性，奇函数关于原点中心对称，在对称点处分别取得最大值和最小值；偶函数关于y轴对称，在对称点处的函数值相等，中经常利用函数的这些性质，求得最值.

4．A

【解析】

【分析】

集合元素具有确定性，互异性和无序性，根据这一要求对选项进行判断即可.

【详解】

①大庆实验中学所有优秀的学生可以构成集合,不正确，因为不符合集合元素的确定性；② ，正确；③集合是点集，集合是数集，故选项不正确；④空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集，故不正确.

故答案为：A.

【点睛】

高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．

5．C

【解析】

【分析】

函数是增函数，且一个零点在区间内，根据零点存在定理得到解出即可.

【详解】

函数是增函数，且一个零点在区间内，根据零点存在定理得到解得a的范围是.

故答案为：C

【点睛】

这个题目考查了函数的零点存在定理的应用，以及小题中函数的单调性的判断，直接用到结论：增函数加增函数为增函数，减函数加减函数为减函数.

6．C

【解析】

【分析】

已知 ，=，<0可依次判断大小关系.

【详解】

已知 ，=，<0,进而得到

故答案为：C

【点睛】

这个题目考查的是比较指数和对数值的大小；一般比较大小的题目，常用的方法有：先估算一下每个数值，看能否根据估算值直接比大小；估算不行的话再找中间量，经常和0，1，-1比较；还可以构造函数，利用函数的单调性来比较大小。

7．D

【解析】

【分析】

根据幂函数的定义的得到, 且其图像与轴没有交点则,两个式子取交集得到.

【详解】

函数是幂函数,根据幂函数的定义得到, 且其图像与轴没有交点则,两个式子取交集得到.

故答案为：D

【点睛】

幂函数，其中为常数，其本质特征是以幂的底为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．在上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．

8．D

【解析】

试题分析：由特殊角的三角函数和诱导公式得,,,即角α的终边上一点的坐标为,则,即为第四象限角,故本题选.

考点：特殊角的三角函数;三角函数的符号.

9．B

【解析】

【分析】

根据B⊆A可分B=∅，和B≠∅两种情况：B=∅时，m+1＞2m﹣1；B≠∅时， 这样便可得出实数m的取值范围．

【详解】

①若B=∅，则m+1＞2m﹣1；

∴m＜2；

②若B≠∅，则m应满足：，解得2≤m≤3；

综上得m≤3；

∴实数m的取值范围是（﹣∞，3]．

故答案为：B．

【点睛】

考查子集的概念，描述法表示集合，注意不要漏了B=∅的情况．

10．A

【解析】

【分析】

分两种情况讨论，a>1，0<a<1时函数的单调性和满足真数大于0，最终取交集即可得到答案。

【详解】

已知在单调递减，当a>1时，t=,

y=t,为增函数，故内层为减函数，同时满足真数部分大于0，

当0<a<1时，y=t,为减函数，故内层为增函数，内层为开口向上的二次函数不可能在上为增，故这种情况不成立.

故答案为：A.

【点睛】

这个题目考查的是复合函数单调性的研究和函数的最值.研究函数单调性的方法有：定义法，求导法，复合函数单调性的判断方法，即同增异减，其中前两种方法也可以用于证明单调性，在解决函数问题时需要格外注意函数的定义域，符合函数满足同增异减.

11．B

【解析】

【分析】

根据指数函数对数函数的定义，可得，此时当x≤1时，函数为减函数，当x=1时，函数取最小值1﹣2a； 当x＞1时，函数为减函数，当x=1时，函数取上边界值；若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则1﹣2a＜，解得答案．

【详解】

∵

故a＞0且a≠1，且1﹣2a＞0，1﹣2a≠1，

即，

此时当x≤1时，函数为减函数，当x=1时，函数取最小值1﹣2a；

当x＞1时，函数为减函数，当x=1时，函数取上边界值；

若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，

1﹣2a＜，解得：a>，

综上可得：a∈

故选：B．

【点睛】

本题考查的知识点是分类函数的应用，指数函数和对数函数的图象和性质，难度中档．解决分段函数的问题，多数是可以采用图像法的，将问题具体化，分段函数的单调区间是将每一段的单调区间均写出来，分段函数的值域是每一段的值域并到一起，定义域也是将每一段的定义域并起来.

12．D

【解析】

【分析】

根据题意，由函数的解析式求出f（0）、f（1）的值，由函数零点判定定理可得f（0）f（1）=（1﹣m）（m2﹣3m）≤0，解可得m的取值范围，即可得答案．

【详解】

根据题意，f（x）=m2x2﹣2mx﹣+1﹣m，

有f（0）=1﹣m，f（1）=m2﹣3m，

若函数f（x）在区间[0，1]上有且只有一个零点，

有f（0）f（1）=（1﹣m）（m2﹣3m）≤0，

又由m为正实数，

则（1﹣m）（m2﹣3m）≤0⇒（1﹣m）（m﹣3）≤0，

解可得0＜m≤1或m≥3，

即m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；

故选：D．

【点睛】

本题考查函数的零点判定定理，关键是掌握函数零点的定义以及判定定理．

13．2

【解析】 ， ， ，故答案为.

14．

【解析】=， 由三角函数性质，可知， ，故答案为.

15．

【解析】

【分析】

将二次方程因式分解得到，进而求解.

【详解】

关于的方程等价于

两根为

则==128.

故答案为：128.

【点睛】

本题主要考查了对数的运算性质，对数的运算性质：如果，那么：（1） ；（2） ；（3） ．

16．

【解析】

【分析】

由于g（x）=≥0时，x≥3，根据题意有f（x）=m（x﹣m）（x+2m+3）＜0在x≥3时成立；由于x∈（﹣∞，﹣1），f（x）g（x）＜0，而g（x）=3x﹣3＜0，则f（x）=m（x﹣m）（x+2m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣1）时成立．由此结合二次函数的性质可求出结果．

【详解】

对于①∵g（x）=，当x＜3时，g（x）＜0，

又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0

∴f（x）=m（x﹣m）（x+2m+3）＜0在x≥3时恒成立

则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（3，0）的左面，

即 可得﹣3＜m＜0

又∵②x∈（﹣∞，﹣1），f（x）g（x）＜0

∴此时g（x）=＜0恒成立

∴f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＞0在x∈（﹣∞，﹣1）有成立的可能，

则只要﹣1比x1，x2中的较小的根大即可，

（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣2m﹣3，f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＞0在x∈（﹣∞，﹣1）有成立的可能，

（ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣1，f（x）<0在区间内恒成立，故不满足题意。

（iii）当﹣3＜m＜﹣1时，较小的根为m，f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＞0在x∈（﹣∞，﹣1）有成立的可能，

综上可得①②成立时﹣3＜m＜﹣1或-1<m<0.

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了全称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性质的应用是解答本题的关键，是中档题．

17．(1)；   (2),满足条件的为，.

【解析】

【分析】

（1）先用角度进行表示，然后利用弧度进行表示即可；（2）根据终边相同角的关系进行表示即可．

【详解】

（1）﹣1480°=﹣5×360°+320°，

用弧度角表示为﹣10π+．

（2）写出与（1）中角α终边相同的角β的集合，

则为{β|β=2kπ+．k∈Z}，

∵β∈[﹣4π，0]，

∴当k=﹣1，β=﹣2π+=﹣，

当k=﹣2，β=﹣4π+=﹣π．

【点睛】

本题主要考查终边相同角的表示和应用，根据终边相同角的关系是解决本题的关键．

18．（1）；

（2）当时，的最小值是-4；当时，的最大值是-3；

【解析】

【分析】

(1)解不等式得到，进而解得x的范围；（2）将原式子化简得到=，令，原式子等于，根据二次函数得到结果.

【详解】

(1)关于的不等式，等价于

解得；

（2）=，令

原式子等于，，根据二次函数的性质得到当时，的最小值是-4；当时，的最大值是-3.

【点睛】

这个题目考查了对数的运算，对数的化简以及求值问题，还考查到了复合函数的问题，题型中等.

19．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

(1)将原式子变形可得到，赋值法得到， 所以；（2）原不等式化为即又，取交集即可.

【详解】

（1）由 得

所以

 所以

（2）由已知

所以即又

所以解集为

【点睛】

这个题目考查了抽象函数求值的应用，且函数已知单调性，故通过函数的单调性可解得不等式的解集；一般抽象函数的单调性是通过定义证明的，且解决抽象函数的问题，例如单调性的证明和求值多数是通过赋值法得到结果的.

20．（1）；（2）

【解析】

【分析】

(1)先根据诱导公式将原式子化简，再将已知条件中的表达式平方，可得到结果；（2）原式子可化简为，由已知条件可得到，再由第一问中得到，结合第一问中的条件可得到结果.

【详解】

（1）=

已知,将式子两边平方可得到

（2）为第二象限角，且角终边在上，则根据三角函数的定义得到

原式化简等于

由第一问得到

将已知条件均代入可得到原式等于.

【点睛】

三角函数求值与化简必会的三种方法

(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=;形如,asin2x+bsin xcos x+ccos2x等类型可进行弦化切.

(2)“1”的灵活代换法:1=sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=tan等.

(3)和积转换法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2的关系进行变形、转化.

21．（1）.（2）.

【解析】

【分析】

(1)设二次函数表达式为，， ，进而得到结果；（2）的对称轴，开口向上，，分两种情况：当时，当时，讨论函数的单调性得到函数的最值.

【详解】

（1）设二次函数表达式为，因为故得到，

，化简得到

，c=1,进而得到表达式为：.

（2）令，的对称轴，开口向上，，分两种情况： ① 当时，函数在区间单调递增，

，得到，与矛盾.

当时，函数在区间单调递减，在单调递增

，得到或舍掉与矛盾    

综上所述：

【点睛】

二次函数求最值问题，一般先用配方法化为y＝a(x－m)2＋n的形式，得顶点(m，n)和对称轴方程x＝m，结合二次函数的图象求解，常见有三种类型：

（1）顶点固定，区间也固定；

（2）顶点含参数(即顶点为动点)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外；

（3）顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．

讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值．

22．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1） 在定义域为是奇函数，所以,;(2)先说明函数的单调性，再由函数的奇偶性得到原式子等价于因在上是增函数，由上式推得，对任意有： 恒成立，设，通过换元得到二次函数，进而得到函数的最值.

【详解】

（1） 在定义域为是奇函数，所以

又由检验知，当时，原函数是奇函数.

（2）函数 ，函数是增函数，取倒数为减函数，加负号为增函数，故得到函数为增函数，因是奇函数，从而不等式等价于因在上是增函数，由上式推得即对任意有： 恒成立，设令则有

即的取值范围为

【点睛】

这个题目考查了抽象函数求值的应用，通过组合函数的单调性得到函数的单调性，通过函数的单调性可解得不等式的解集；一般抽象函数的单调性是通过定义证明的，且解决抽象函数的问题，例如单调性的证明和求值多数是通过赋值法得到结果的.