海南省儋州市第一中学2019-2020学年高一上学期期中数学试题含答案

    2019-2020学年度第一学期高一年级期中考试试题

数学

第Ⅰ卷  选择题

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1.下列五个写法：①；②；③；④；⑤.其中错误写法的个数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据元素与集合、集合与集合的关系，以及集合与集合的运算来判断出以上五个写法的正误.

【详解】对于①，表示元素与集合之间的关系，故①错；对于②，是任何集合的子集，故②对；

对于③，，成立，故③对；对于④，，故④错；

对于⑤，表示的集合与集合的交集运算，故⑤错.故选：C.

【点睛】本题考查集合部分的一些特定的符号，以及集合与集合的关系、元素与集合的关系，考查对集合相关概念的理解，属于基础题.

2.命题“对任意，”的否定是

A. 不存在， B. 存在，

C. 存在， D. 对任意的，

【答案】C

【解析】

【详解】注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定。

“对任意的，”的否定是:存在，

选C.

3.已知，则（　　）

A. 3 B. 13 C. 8 D. 18

【答案】C

【解析】

【分析】

由已知中，将代入，可得，进而可求得的值．

【详解】解：∵，

，

∴，

故选：C．

【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题目．

4.设，给出下列四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的有（  ）．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

【答案】B

【解析】

【分析】

利用函数定义域与函数的值域以及函数的定义，判断选项即可．

【详解】①中，因为在集合M中当1＜x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不是；

②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②是；

③中，x=2对应元素y=3∉N，所以③不是；

④中，当x=1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②满足题意．

故选：B．

【点睛】本题考查函数的概念以及函数的定义域以及值域的应用，是基础题．

5.下列各组函数相同的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据定义域、解析式是否相同即可判断两个函数是否为相同函数.

【详解】对于A选项, 的定义域为R,值域为,定义域为R,值域为,所以两个函数为相同函数,所以A正确.

对于B选项, 两个函数解析式不同,所以不是相同函数.

对于C选项, 定义域为R,定义域为,两个函数定义域不同,所以不是相同函数.

对于D选项, 定义域为R ,定义域为,两个函数定义域不同,所以不是相同函数.

故选:A

【点睛】本题考查了两个函数是否相同函数的判断方法,从定义域和解析式是否相同即可判断,属于基础题.

6.计算：（   ）

A. 6 B. 7 C. 8 D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用指数的运算性质即可得到答案.

【详解】

故选：B.

【点睛】本题考查指数的运算性质，属于简单题.

7.下列四个函数中，在上为增函数的是（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

A，B可直接通过一次函数的单调性和二次函数的单调性进行判断；C利用以及平移的思路去判断；D根据的图象的对称性判断.

【详解】A．在上是减函数，不符合；

B．在上是减函数，在上是增函数，不符合；

C．可认为是向左平移一个单位所得，所以在上是增函数，符合；

D．图象关于轴对称，且在上是增函数，在上是减函数，不符合；

故选：C.

【点睛】（1）一次函数、反比例函数的单调性直接通过的正负判断；

（2）二次函数的单调性判断要借助函数的对称轴和开口方向判断；

（3）复杂函数的单调性判断还可以通过平移、翻折等变换以及图象进行判断.

8.若则当取最小值时,此时x,y分别为(    )

A. 4,3 B. 3,3 C. 3,4 D. 4,4

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，分析可得y＝x（x﹣2）2，由基本不等式的性质可得y＝（x﹣2）2≥22＝4，同时可得x的值，即可得答案．

【详解】根据题意，y＝x（x﹣2）2，

又由x＞2，则y＝（x﹣2）2≥22＝4，

当且仅当x﹣2＝1时，即x＝3时等号成立，

即x＝3，y＝4；

故选：C．

【点睛】本题考查了基本不等式的性质，关键是掌握基本不等式的形式．

9.设,则的大小关系为（    ）

A  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据指数幂的运算,将三个数化为底数相同,结合指数函数的单调性即可比较大小.

【详解】由指数幂的运算可知

因为是定义在R上的单调递增函数

所以

故选:C

【点睛】本题考查了指数幂的运算,根据指数函数单调性比较指数幂的大小,属于基础题.

10.设，是实数，则“”是“”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【详解】本题采用特殊值法：当时，，但，故是不充分条件；当时，，但，故是不必要条件.所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选D.

考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质.

【此处有视频，请去附件查看】

11.已知不等式的解集为,则不等式的解集为(    )

A. 或 B. 或

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，ax2+bx+2＝0的两根为﹣1，2，且a＜0，根据韦达定理，我们易得a，b的值，代入不等式2x2+bx+a＜0 易解出其解集．

【详解】∵不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，

∴ax2+bx+2＝0的两根为﹣1，2，且a＜0

即﹣1+2,

（﹣1）×2,

解得a＝﹣1，b＝1则不等式可化为2x2+x﹣1＜0 ,

解得 ,

故选：D．

【点睛】本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及三个二次之间的关系，其中根据三个二次之间的关系求出a，b的值，是解答本题的关键．

12.已知函数在定义域上是奇函数又是减函数,若,则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据奇函数的定义域关于原点中心对称,可求得;根据奇函数性质、定义域及函数的单调性,解不等式组即可得的取值范围.

【详解】因为函数是奇函数,且定义域

所以,解得

即定义域为

因为,即

因为函数是奇函数

所以

函数是减函数

所以

在定义域内满足,解不等式组可得

得即

故选:A

【点睛】本题考查了函数奇偶性的和单调性的综合应用,不等式组的解法,属于基础题.

第Ⅱ卷  非选择题

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）

13.函数且的图象恒过定点，它的坐标为________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据指数函数过定点,结合函数图像的平移变换即可求得所过定点坐标.

【详解】因为过定点

将向右平移2个单位,向上平移2个单位,可得函数

所以经过平移后所过定点为

故答案为:

【点睛】本题考查了指数函数过定点问题,函数图像的平移变换,属于基础题.

14.函数的定义域为______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据二次根式及分式成立的条件,即可求得函数的定义域.

【详解】函数

所以自变量的取值满足

解不等式组可得

即

故答案为:

【点睛】本题考查了函数定义域的求法,属于基础题.

15.函数 在上是增函数，则的范围是_____．

【答案】

【解析】

试题分析：由于二次函数开口向下，对称轴.

考点：函数的单调性．

【思路点晴】二次函数单调区间由对称轴决定. 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．

16.下列命题：

①偶函数的图象一定与y轴相交；

②任取，均有；

③在同一坐标系中，与的图象关于轴对称；

④在上是减函数．

其中正确的命题的序号是________．

【答案】②  ③

【解析】

【分析】

根据函数的奇偶性及单调性,即可分析各个选项.

【详解】对于①,偶函数图象关于轴对称即可,不一定和轴有交点,所以①错误;

对于②,当时, 成立,所以②正确;

对于③,在同一坐标系中,由图象可知与关于轴对称,所以③正确;

对于④,在上是减函数,在上是减函数,但不满足在上是减函数,且单调区间不能用并集符号表示,所以④错误;

综上可知正确的命题序号是②③

故答案为: ②③

【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质及简单应用,函数单调性的性质及写法,属于基础题.

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|1≤x≤5，x∈Z}，C＝{x|2<x<9，x∈Z}．求

(1)A∪(B∩C)；(2)(∁UB)∪(∁UC)．

【答案】（1）A∪(B∩C)＝{1,2,3,4,5}．（2）(∁UB)∪(∁UC)＝{1,2,6,7,8}．

【解析】

试题分析：（1）先求集合A,B,C；再求B∩C，最后求A∪(B∩C)（2）先求∁UB，∁UC；再求(∁UB)∪(∁UC)．

试题解析：解：(1)依题意有：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，C＝{3,4,5,6,7,8}，∴B∩C＝{3,4,5}，故有A∪(B∩C)＝{1,2}∪{3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．

(2)由∁UB＝{6,7,8}，∁UC＝{1,2}；

故有(∁UB)∪(∁UC)＝{6,7,8}∪{1,2}＝{1,2,6,7,8}．

18.已知一次函数满足且

（1）求解析式;

（2）当时，求的值域；

（3）若方程没有实数根，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

【分析】

（1）根据函数为一次函数,设出解析式,代入表达式及,解方程组即可求得

的值,即可得解析式.

（2）先表示出的解析式,根据二次函数的开口及对称轴,可判断在上的单调情况,根据单调情况即可求得的值域.

（3）根据方程没有实数根,即判别式,代入即可求得的取值范围.

【详解】(1) ∵是一次函数,设

由,代入可得

∵

且,代入可得

化简可得,所以

∴解析式为

(2)由（1）可得,

∵的对称轴

∴在上为单调递减函数

且

即的值域为

（3）方程没有实数根,化简后即没有实数根,

所以

∴

∴

∴取值范围是

【点睛】本题考查了函数解析式的求法,二次函数的值域求法,一元二次方程无解时求参数,属于基础题.

19.已知函数

（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；

（2）用定义证明在上是减函数；

（3）函数在上是单调增函数还是单调减函数？（直接写出答案，不要求写证明过程）．

【答案】（Ⅰ）函数为奇函数；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）在（﹣1，0）上是减函数．

【解析】

【详解】试题分析：（Ⅰ）首先求函数定义域并验证其定义域是否关于原点对称，再根据奇函数的定义验证即证；（Ⅱ）根据减函数的定义，证明当且时，总有即证；（Ⅲ）由（Ⅰ）可知函数为奇函数，其图象关于原点对称，得在（﹣1，0）上是减函数。

试题解析：（Ⅰ）函数为奇函数，理由如下：

易知函数的定义域为：，关于坐标原点对称.

又

在定义域上是奇函数.

（Ⅱ）设且，则

∵0＜x1＜x2＜1，∴x1x2＜1，x1x2﹣1＜0，

又∵x2＞x1∴x2﹣x1＞0．

∴，即

因此函数在（0，1）上是减函数.

（Ⅲ）在（﹣1，0）上是减函数．

考点：1、奇、偶函数的判定方法；2、函数单调性的判定方法；3、函数的单调区间.

20.某工厂生产的某种产品，当年产量在吨至吨之间时，年生产总成本（万元）与年产量 （吨）之间的关系可近似地表示成，问年产量为多少时，每吨的平均成本最低？并求出该最低成本．

【答案】年产量为吨时，每吨的平均成本最低，最低为万元．

【解析】

分析：利用函数的解析式求出平均成本的表达式，利用基本不等式求解即可．

详解：

设每吨的平均成本（万元/），

则，

当且仅当，（）的每吨平均成本最低，且最低成本为万元．

点睛：本题考查函数的模型的实际应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．

21.已知函数是定义在R上的偶函数，且当时,.

(1)现已画出函数在y轴左侧的图像，如图所示，请补出完整函数的图像，并根据图像写出函数的减区间；

(2)写出函数的解析式和值域.

【答案】（1）图见解析，递减区间是（2）；值域

【解析】

【分析】

(1)根据偶函数图像关于轴对称可画出轴右侧的图像;根据图像即可写出单调递减区间.

(2)令即可根据偶函数的性质求得解析式,写成分段函数形式即可;结合图像,可得函数的值域.

【详解】(1)因为函数为偶函数,故图象关于y轴对称,补出完整函数图象如下图所示:

所以的递减区间是．

(2)由于函数为偶函数,则

又当时,．

设,则

所以时,,

故的解析式为

由函数图像可知的值域为

【点睛】本题考查了偶函数的性质及图像画法,由偶函数性质求分段函数的解析式,根据图像求值域,属于基础题.

22.已知函数（为常数且）的图象经过点，

（1）试求的值；

（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用函数图像上的两个点的坐标列方程组，解方程组求得的值.

（2）将原不等式分离常数，利用函数的单调性，求出的取值范围.

【详解】（1）由于函数图像经过，，所以，解得，所以.

（2）原不等式为，即在时恒成立，而在时单调递减，故在时有最小值为，故.所以实数的取值范围是.

【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数的解析式，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查函数的单调性以及最值，属于中档题.