广东省广州市华南师大附中2018_2019学年高一数学上学期10月月考试题含解析

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广东省广州市华南师大附中2018-2019学年高一数学上学期10月月考试题（B卷）（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用集合的交集的定义求A∩B.【详解】已知,借助数轴,易知故选B【点睛】利用交集定义求集合的交集，可借助数轴或韦恩图直接解答. 2.f（x）是一次函数且2f（1）+3f（2）=3，2f（-1）-f（0）=-1，则f（x）等于（　　）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】试题分析：设f(x)=ax+b，∵2f（1）＋3f（2）＝3，2f（－1）－f（0）＝－1，∴8a+5b=3,2a-b=1，解得a=，∴f（x）=，故选C考点：本题考查了函数解析式的求法点评：当函数的特征已知时，常常用待定系数法求解函数的解析式，属基础题 3.函数的定义域是（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据二次根式被开方数大于等于0，求解分式不等式和一元二次不等式，最后将解得的x的范围取交集.【详解】要使二次根式有意义，则 ，由①得：（x+2）（1-x）≥0且x≠1，解得：-2≤x＜1，解②得：x≤-1或x≥2．故原函数的定义域为{x|-2≤x≤-1}．故选：A【点睛】本题考查了函数的定义域，考查了分式不等式和一元二次不等式的解法，注意原函数的定义域为两个不等式解集的交集 . 4.下列函数中在上单调递减的是（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】结合初等基本函数在区间上单调性判断.【详解】A中在（-∞，-1）和（-1，+∞）上是增函数，B中，y=1-x2在（-∞，0）上是增函数，C中，y=x2+x= ，在（-∞，-）上是减函数，在（-，+∞）上是增函数，D中，y=  ，定义域为（-∞，1],根据复合函数的单调性，函数在（-∞，1]是减函数，故选：D【点睛】本题考查函数的单调性的判断，涉及基本初等函数的性质；判断复合函数的单调性，可依据 “同增异减”判断，即两个函数单调性不一致，其复合函数为减函数. 5.已知，那么=（　　）A. 3 B.  C. 4 D. 【答案】B【解析】【分析】本题首先可以根据题意判断出的函数解析式，得出，然后再根据计算出的值即可得出结果.【详解】因为，所以，因为，所以，，，因为，所以，故选B.【点睛】本题考查函数的相关性质，在解题的过程中要注意发现规律，比如本题中的，考查计算能力，锻炼了学生的观察能力，是简单题. 6.设,则（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数y=0.6x在R上单调性，可得y2＜y3．再根据函数y=的单调性，可得y1＜y2，即可得解.【详解】根据函数y=0.6x在R上单调递减，可知,即y2＜y3，根据函数y=在（0，+∞）上是增函数，可知，即y1＜y2综上，，故选B【点睛】本题考查了幂的大小比较问题，若底数相同，指数不同，可通过指数函数的单调性比较；若指数相同，底数不同，可利用幂函数的单调性比较. 7.函数的零点所在的区间是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】分析】应用函数零点存在性定理判断.【详解】易知函数f（x）=在定义域上连续，且f()= <0 , f（1）= -1<0 , f(2)= , ,根据函数零点存在性定理，可知零点所在区间为，故选B.【点睛】本题考查了函数零点的判定定理的应用，判断函数零点所在区间有三种常用方法，①直接法，解方程判断，②定理法，③图象法. 8.设函数，若对任意的都满足成立，则函数可以是（  ）A.  B. C.  D. 不存在这样的函数【答案】B【解析】【分析】分情况讨论，得不等式，进而依次判断即可.【详解】当x为无理数时，f（x）=0，xf（x）≤g（x）⇔0≤g（x），当x为有理数时，f（x）=1，xf（x）≤g（x）⇔x≤g（x），若g（x）=x，当x= - ，时g（x）<0，即A不正确若g（x）=，已知对任意实数，x≤，且故当x为有理数或无理数时，不等式恒成立，即B正确；若g（x）=x2，当x= ，则g（）= ， ，即C不正确；故选B【点睛】本题考查了分段函数、函数恒成立问题，考查了分析问题解决问题的能力．难度一般． 9.已知方程有两个正根，则实数的取值范围是（　　）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】首先根据方程有两个正根得到、以及，进而构造出关于的不等式组，然后通过解不等式组并取交集即可求出实数的取值范围．详解】若方程有两个正根，由韦达定理可得： ，，解得，又由得，解得或者，故，故选D.【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质以及一元二次方程的根与系数的关系，其中通过韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）结合题目给出的条件构造出关于的不等式组，是解答本题的关键. 10.已知函数，若，，则（    ）A.  B. C.  D. 与的大小不能确定【答案】A【解析】【分析】判断f（x1）-f（x2）的正负即可【详解】f（x1）-f（x2）=（ax12+2ax1+4）-（ax22+2ax2+4）=a（x1-x2）（x1+x2）+2a（x1-x2）=a（x1-x2）（x1+x2+2）因为a＞0，x1＜x2，x1+x2=0所以x1-x2＜0，x1+x2+2＞0所以f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）．故选A【点睛】本题考查了函数值作差法比较大小，作差，判断式子的正负，也是判断函数单调性的一种常用方法. 11.设整数，集合,令集合，且三条件,、恰有一个成立．若和都在中，则下列选项正确的是（　　）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】B【解析】【分析】本题可以采用特殊值排除法，可以取、、、，然后根据题意即可判断出以及与的关系，即可排除错误选项，得出答案.【详解】取、、、，显然满足和都在中，此时，，故A、C、D均错误，只有B成立，故选B．【点睛】本题考查简单的合情推理，能否正确的取用特殊值并采用特殊值验证法是解决问题的关键，考查推理能力，锻炼了学生的阅读理解能力，是简单题. 12.设函数，则下列命题中正确的个数是（  ）①当时，函数在上是单调增函数；②当时，函数在上有最小值；③函数的图象关于点对称；④方程可能有三个实数根.A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】将转化为分段函数，进而分别判断.【详解】= ,当b>0时,结合一元二次方程根与系数的关系，可判断y=，在（-，0 ）上是增函数，y=，在[0,+)上是增函数，且x=0时，函数图象连续，故f（x）在R上是单调增函数.故①正确；当b＜0时，f（x）的值域是R，没有最小值，故②错误；若f（x）=|x|x+bx，f（-x）=-f（x），故函数f（x）是奇函数，即函数f（x）的图象关于（0，0）对称．而函数f（x）=|x|x+bx+c的图象是由函数f（x）=|x|x+bx的图象向上（下）平移个单位 ，故图象一定是关于（0，c）对称的，故③正确；令b=-2，c=0，则f（x）=|x|x-2x=0，解得x=0，2，-2．所以④正确．故选C.【点睛】本题考查了分段函数的单调性、对称性和最值问题，若题目中含有绝对值，通常采取去绝对值的方法，进行分类讨论；函数的对称性问题一般转化为分析函数的奇偶性，再根据函数图象的平移进行判断；存在性的命题，一般可通过特殊值法来解决． 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设集合，集合，则集合中的元素个数为______．【答案】6【解析】【分析】本题首先可以根据题意可知、、，然后依次计算出的所有可能的值并消去相同的结果，即可得出答案.【详解】因为，，，所以的可能结果有种，依次是，所以中有个元素，故答案.【点睛】本题考查了集合与元素之间的关系，考查了推理能力与计算能力，在计算集合中的元素的个数的时候，需要注意元素的互异性，属于基础题. 14.已知，则=______．【答案】【解析】【分析】本题首先可以根据题意令，求出，再将带入中进行计算，即可得出的值.【详解】因为，令，解得，所以，故答案为.【点睛】本题考查了函数的解析式的相关性质，考查了如何利用函数的解析式求函数值，考查了计算能力，体现了基础性，提高了学生对函数的理解，是基础题目. 15.已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且它们在上的图象如图所示，则不等式在上的解集是________.    【答案】【解析】【分析】不等式的解集，与f（x）g(x)0且g（x）0的解集相同，观察图象选择函数值同号的部分，再由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，得到f（x）g（x）是奇函数，从而求得对称区间上的部分解集，最后两部分取并集即可.【详解】将不等式转化为f（x）g(x)0且g（x）0，如图所示：满足不等式的解集为：（1,2]∵y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数∴f（x）g（x）是奇函数,故在y轴左侧，满足不等式的解集为(-3,-2](-1,0) 故不等式在上的解集是(-3,-2](-1,0)（1,2]【点睛】本题考查了函数的奇偶性在解不等式中的应用，考查了数形结合，转化，分类讨论等思想方法，根据函数奇偶性的性质以及数形结合是解决本题的关键. 16.已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为______.【答案】9【解析】【分析】本题首先可以根据“函数的值域为”判断出函数的，并根据判断出与的关系，然后通过“不等式的解集为”即可得出方程的两根之差为并写出以及的值，最后通过即可得出结果.【详解】因为函数的值域为，所以，，因为不等式的解集为，所以，，所以方程的两根之差为，因为，，，所以，，，综上所述，实数的值为.【点睛】本题考查函数的相关性质，主要考查函数的根与函数所对应的的方程的之间的关系，考查韦达定理的应用，考查函数方程思想，考查了化归与转化思想，考查了学生的计算能力，是中档题. 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（）计算．（）．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：根据实数指数幂和对数的运算公式，即可化简求得各式的值．试题解析：（）．综上所述，结论是：．（）原式 ． 18.已知全集.（1）求；（2）求．【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）根据交集、并集的概念求解即可；（2）根据（1）的解和补集的概念求解即可.【详解】（1）A∩B＝［－1，3］∩［－2，2）＝［－1，2），A∪B＝［－1，3］∪［－2，2）＝［－2，3］；（2）＝（－，－1）∪［2，＋）， ＝（－，－2）∪（3，＋）.【点睛】本题考查的是集合的运算，在解题的过程中，需要明确集合的运算法则，注意对应集合与元素的关系，从而求得结果． 19.已知集合,,，且,求的取值范围.【答案】解：，当时，，而则这是矛盾的；当时，，而，则；当时，，而，则；∴【解析】【分析】先分类讨论A是否是空集，再当A不是空集时，分-2≤a＜0，0≤a≤2，a＞2三种情况分析a的取值范围，综合讨论结果，即可得到a的取值范围【详解】若A=∅，则a＜-2，故B=C=∅，满足CB；若A∅，即a-2， 由在上是增函数，得，即①当时，函数在上单调递减，则，即，要使,必须且只需，解得，这与矛盾；②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，要使,必须且只需，解得；③当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，要使,必须且只需，解得；综上所述，的取值范围是.【点睛】本题考查了通过集合之间的关系求参数问题，考查了分类讨论的数学思想，要明确集合中的元素，对集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解． 20.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．【答案】(1) 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析.【解析】【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．【详解】（1）由题意知，当时，，即，解得或，∴时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当时，；当时，；∴；当时，单调递减；当时，单调递增；说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为时，人均通勤时间最少．【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力． 21.已知是定义在上的奇函数，且，若，时，有成立．（1）判断在上的单调性，并证明；（2）解不等式：；（3）若对所有的恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）在上单调递增，证明见解析；（2）；（3）或或．【解析】试题分析：（1）由单调性和奇偶性的定义可得,可证在上单调递增；（2）由（1）得,再由定义域解得的取值范围；（3）由（1）可得在有最大值,不等式转化为对恒成立,令,分类讨论:可得结论．试题解析： （1）任取，且，则∵为奇函数，∴由已知，又，∴，即．∴在上单调递增．（2）∵在上单调递增．∴，∴故原不等式的解集为．（3）∵，在上单调递增．∴在上，，问题转化，即对恒成立，设，①若，则，对恒成立，②若，则为的一次函数，若对恒成立，必须，且，∴或综上，实数的取值范围是或或．考点：函数的奇偶性；函数的单调性；不等式的恒成立问题．【易错点睛】本题主要考查了函数定义域；函数的单调性．对于函数的单调性的考察首先一定要注意对函数的定义域的考虑,对于函数奇偶性的考察也要注意这个问题．其次对于单调性的应用:函数的单调性,的大小,的大小,三者之间若知其二,则可得到第三个结论．函数的单调性是函数的重要性质,是高考的重点和热点内容． 22.对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：①对任意的，总有；②；③若，都有成立，则称函数为理想函数．(1) 若函数为理想函数，求的值；(2)判断函数是否为理想函数，并予以证明；(3) 若函数为理想函数，假定 ，使得，且，求证：．【答案】（1）．（2）理想函数．【解析】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设的中的隐含条件，注意性质的灵活运用．（1）取x1=x2=0可得f（0）≥f（0）+f（0）⇒f（0）≤0，由此可求出f（0）的值．（2）g（x）=2x-1在[0，1]满足条件①g（x）≥0，也满足条件②g（1）=1．若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，满足条件③，收此知故g（x）理想函数．（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．由此能够推导出f（x0）=x0