安徽省马鞍山市2021届高三下学期一模考试数学（理）试题 Word版含答案

马鞍山市2021年高三第一次教学质量监测

理科数学试题

本试卷4页，满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．

4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则

A．   B．   C．   D．

2．若复数为纯虚数（为虚数单位），则实数 

A．    B．    C．    D．

3．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为

A．    B．    C．    D．

4．为了解学生参加“阳光体育”活动的情况，某学校随机统计了学生的“阳光体育”活动时间(单位：分钟)，已知所得样本数据都在区间内，样本频率分布直方图如图所示，则该样本数据的中位数的估计值为

A．60    B． 65    C．66.25    D．72.25

5．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则

A．若，，则    B．若，，，则

C．若，，，则   D．若，，，则

6．在“学宪法、讲宪法”活动中，将甲、乙、丙、丁四位法律老师分配到A、B、C、D四个班级进行宣讲，每个班级分配一位老师．若甲不分配到A班，丁不分配到D班，则分配方案的种数为

A．12    B．14    C．16    D．24

7．已知函数（，）的最小正周期为，若将的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则

 A．    B．    C．    D．

8．已知，，，则

A．   B．   C．   D．

9．已知点为抛物线准线上一点，点为焦点，为坐标原点，在抛物线上，且，则的最小值为

A．    B．   C．   D．

10．已知函数 则方程的解的个数为

A．3    B．4    C．5    D．6

11．在等差数列中，，且它的前项和有最小值，则当时，的最大值为   

A．7    B．8    C．13    D．14

12．已知函数，则不等式的解集是 

A．   B．  C．  D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量a，b，则|a-b|=   ▲  ．

14．在平面直角坐标系中，点是单位圆上第一象限内的点，,若，则的值为   ▲  ．

15．已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线右支交于两点，且，则的面积为   ▲  ．

16．已知正方形的边长为4，是的中点，沿把折起，使点到达点的位置，且，则三棱锥的外接球的表面积为  ▲  ．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

已知的内角，，的对边分别是，，，满足．

（1）若，，求的面积；

（2）求的值．

18．（12分）

智慧课堂是指一种打破传统教育课堂模式，以信息化科学技术为媒介实现师生之间、生生之间的多维度互动，能有效提升教师教学效果、学生学习成果的新型教学模式．为了进一步推动智慧课堂的普及和应用，A市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如下：

从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是．

（1）补全列联表，判断能否有99.5%的把握认为智慧课堂的应用与区域有关，并说明理由；

（2）在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取6个学校进行分析，然后再从这6个学校中随机抽取2个学校所在的地域进行核实，记其中农村学校有个，求的分布列和数学期望．

附：，．

19．（12分）

如图，已知三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，点D为SC的中点，．

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的正弦值．

20．（12分）

已知椭圆，右焦点为，短轴长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点的直线与椭圆交于两点，线段中点为，线段中点为,且（为坐标原点），求所有满足条件的直线方程．

21．（12分）

已知函数（其中为自然对数的底数）．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，证明：．

参考数据：．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程与的直角坐标方程；

（2）求上的动点到距离的取值范围．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．

2021年高中毕业班第一次教学质量监测

理科数学参考答案

一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．      14．     15．     16．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．

（一）必考题：共60分．

17．（1）因为，由正弦定理，，即，若，由余弦定理，得，又，所以，而，所以，所以．                               （6分）

（2）由，知．  （12分）

18．（1）

                                                                         （2分）

    ．                         （4分）

所以有99.5%的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关．                      （6分）                                                                                                          

    （2）在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是2：1，所以抽取的6个样本有4个是农村学校，2个是城市学校，从中抽取2个，则的可能取值为0，1，2．（7分）

     ，，，．       

     所以的分布列为：

                                                                        （10分）

     的数学期望．                         （12分）

19．（1）因为SC=4，点D为SC的中点，所以，又，所以是等边三角形，所以DCA=，所以SA=，所以SC2=SA2+AC2， SAAC．    （3分）

又，得SAAB，又，所以SA平面ABC，又SA平面SAB，所以平面SAB平面ABC．                                                       （5分）

（2）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，在平面ABC内过点A垂直于AB的直线为y轴，AS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．

则，，，，所以，所以，． （7分）

设为平面的法向量，由得令,得．       （9分）

而平面的一个法向量，所以．         （11分）

设二面角的平面角为，则．                         （12分）

方法2：取AC中点E，连接DE，则DE平面ABC，过点E作EFAB于F，连接DF，DFE为二面角D-AB-C的平面角．                                                （8分）

在中，，，，所以．（10分）

    因为二面角S-AB-D的平面角与二面角D-AB-C的平面角互余，

    所以二面角S-AB-D的正弦值为．                                      （12分）

20．（1）由已知得，，，所以椭圆的方程为．（5分）

（2）易知直线斜率存在，设直线方程为：．

联立，消去得，则．

设，，则，．               （7分）

∵，∴，

即：．                          （9分）

∵，∴，

∴，解得，，，          （11分）

   所以满足条件的直线方程为：、和．         （12分）

注：①若考生从图形特征仅分析出的结果，得1分；

    ②第（2）小题中取的中点，由转化为解决，请酌情给分．

21．（1）解：函数的定义域为，．               （1分）

    ①当时，，则在上单调递增；

    ②当时，由得，且时，单调递减；时，单调递增．

    综上，时，在上单调递增；

          时，在单调递减，在单调递增．     （5分）

（2）证明：①当时，显然有；

②当时，令在时单调递减，所以只需证明，即．                                  （6分）

令（），则，显然单调递增，，，所以存在唯一，使，且时，单调递减；时，单调递增，所以．                                 （8分）

因为，所以，即，

所以．   （10分）

又因为，所以，所以，从而，所以．                                       （11分）

所以，故待证不等式成立．                                  （12分）

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（1）∵直线的参数方程为（为参数），

∴消去参数，得的普通方程为．                    （2分）

∵曲线的极坐标方程为，

      ∴，

      ∴的直角坐标方程为，即．       （5分）

（2）曲线的参数方程为（为参数），设上的动点为，

则上的动点到距离．   （8分）

∵，则上的动点到距离的最大值是，最小值是，

∴上的动点到距离的取值范围是．              （10分）

23．（1）由不等式可得：，

可化为：或或          （3分）

解得：或，所以原不等式的解集为．          （5分）

（2）因为，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以．                                        （7分）

要对任意恒成立，只需，即：，

所以或，解得：或，

所以，实数的取值范围为．                         （10分）