初中数学北师大版九年级下册第一章 直角三角形的边角关系综合与测试同步达标检测题

这是一份初中数学北师大版九年级下册第一章 直角三角形的边角关系综合与测试同步达标检测题，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北师大版九年级下册第一章
直角三角形的边角关系
一、单选题
1.（2019九上·梁平期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，则 bc 是∠A的（   ）
A. 正弦                                 B. 余弦                                 C. 正切                                D. 以上都不对
2.（2019·宿迁）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 ABCD 的顶点 A 与原点 O 重合，顶点 B 落在 x 轴的正半轴上，对角线 AC 、 BD 交于点 M ，点 D 、 M 恰好都在反比例函数 y=kx(x>0) 的图象上，则 ACBD 的值为（    ）

A. 2                                        B. 3                                        C. 2                                    D. 5
3.（2021九上·八步期末）如图，在 ΔABC 中， AC⊥BC ， ∠ABC=30° ，点D是 CB 延长线上的一点，且 AB=BD ，则 tan∠DAC 的值为（   ）

A. 33                                  B. 23                                  C. 2+3                                 D. 2−3
4.（2020九上·广饶期中）如图，△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（   ）

A. 12                                        B. 55                                        C. 2                                        D. 255
5.（2019九上·长兴期末）在△ABC中，AB=12 2 ，AC=13，cosB= 22 ，则BC的边长为（   ）
A. 7                                      B. 8                                      C. 8或17                                   D. 7或17
6.（2020九上·上思月考）⊙○内有一个内接正三角形和一个内接正方形，则内接三角形与内接正方形的边长之比为（   ）
A. 1∶ 2                                B. 3 ∶ 2                                C. 3∶2                            D. 1∶2 
7.（2021·休宁模拟）如图，一块含有 30° 的直角三角板的直角顶点和坐标原点 O 重合， 30° 角的顶点 A 在反比例函数 y=kx 的图象上，顶点 B 在反比例函数 y=4x 的图象上，则 k 的值为（      ）

A. 12                                         B. -12                                         C. 3                                       D. -3
8.（2021·鄂州）如图， Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ， AC=23 ， BC=3 .点 P 为 ΔABC 内一点，且满足 PA2+PC2 =AC2 .当 PB 的长度最小时， ΔACP 的面积是（   ）

A. 3                                      B. 33                                      C. 334                                      D. 332
9.（2020九上·吴兴期末）在长和宽分别是19和15矩形内，如图所示放置5个大小相同的正方形，且A、B、C、D四个顶点分别在矩形的四条边上，则每个小正方形的边长是（      ）

A. 29                                B. 5.5                                C. 1812                                        D. 3 5
二、填空题
10.（2020·海淀模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，且tanA= 13 ，则AC=       ．

11.（2019·会宁模拟）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表.如图所示的是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC的高为a，已知冬至时北京的正午日光的入射角∠ABC为30°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离即BC的长）为________（用含a的代数式表示）

12.（2019·杭州）在直角三角形ABC中，若2AB=AC，则cosC=________.
13.（2019九上·长春月考）计算： 3cos30°= ________．
14.（2020九上·双台子期末）如图，在边长为1正方形ABCD中，点P是边AD上的动点，将△PAB沿直线BP翻折，点A的对应点为点Q，连接BQ、DQ．则当BQ+DQ的值最小时，tan∠ABP＝________．

15.（2021九上·鹤壁月考）▱ ABCD中，若AB=4，AD=m，∠A=60°，将 ▱ ABCD沿某直线翻折，使得点A与CD的中点重合，若折痕与直线AD交于点E，DE= 1，则m的值为      
16.（2020·成都模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2 3 ，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F．若△AB′F为直角三角形，则AE的长为________．

17.（2021九上·河南期末）如图，在Rt△ABC中∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点P是AC边上不与端点重合的一动点，将△BPC沿着BP对折，得对应△BPD，在点P的移动过程中，若PD平行于△ABC的一边，则CP的长度为       .

三、解答题
18.（2019九上·海曙期末）如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆 AB 的高度，站在教学楼上的 C 处测得旗杆底端 B 的俯角为 45° ，测得旗杆顶端 A 的仰角为 37° ，如旗杆与教学楼的水平距离 CD 为 12cm ，求旗杆的高度.
（参考数据： sin37°≈0.6 ， cos37°≈0.8  ）





19.（2020·海口模拟）如图，要测量某山的高度 AB ，小明先在山脚 C 点测得山顶 A 的仰角为 45° ，然后沿坡度为 1:3 的斜坡走100米到达 D 点，在 D 点测得山顶 A 的仰角为 30° ，求这座山的高度 AB .（结果保留整数）（参考数据： 2≈1.41 ， 3≈1.73 ）




20.（2021·大丰模拟）吾悦广场准备在地下停车场北侧建设一个供小型货车进出的专用入口，如图，入口设计示意图中，一楼到地下停车场地面的垂直高度CD＝300 cm ， 一楼到地平线的距离BC＝90 cm ． 经调查，送货的小型货车高度都低于268 cm ， 为了保证货物安全，入口处货车顶部要留有不少于20 cm的安全距离．为尽量减少施工量，应在地面上距点B多远的A处开始斜坡AD的施工？




21.（2019九上·江北期末）如图，“人字梯”放在水平地面上，梯子的两边相等(AB＝AC)，当梯子的一边AB与梯子两底端的连线BC的夹角α为60°时，BC的长为2米，若将α调整为65°时，求梯子顶端A上升的高度.(参考数据：sin65°≈0.91，cos65°＝0.42，tan65°≈2.41， 3 ＝1.73，结果精确到0.1m)





22.（2020·仙居模拟）如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A到调节器点O处的距离为80cm，AO与地面垂直。现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA'处。求调整后点A'比调整前点A的高度降低多少厘米？（结果取整数）（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）





23.（2019九上·深圳期末）关于三角函数有如下的公式：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①
cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ②
tan（α+β）= tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ ③
利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：
tan105°=tan（45°+60°）= tan45°+tan60°1−tan45°⋅tan60°=1+31−1⋅3=(1+3)(1+3)(1−3)(1+3) =﹣（2+ 3 ）．
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°，底端C点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．


答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】根据直角三角形的三角函数可得：sinA= ac ，cosA= bc ，tanA= ab ，
故答案为：B.

【分析】 在Rt△ABC中 ，b是∠A的邻边，c是斜边，由cosA=∠A的邻边斜边判断即可.
2.【答案】 A
【考点】反比例函数的性质，菱形的性质，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设 D(m,km) ， B(t,0) ，
∵ M 点为菱形对角线的交点，
∴ BD⊥AC ， AM=CM ， BM=DM ，
∴ M(m+t2,k2m) ，
把 M(m+t2,k2m) 代入 y=kx 得 m+t2⋅k2m=k ，
∴ t=3m ，
∵四边形 ABCD 为菱形，
∴ OD=AB=t ，
∴ m2+(km)2=(3m)2 ，解得 k=22m2 ，
∴ M(2m,2m) ，
在 RtΔABM 中， tan∠MAB=BMAM=2m2m=12=22 ，
∴ ACBD=2 .
故答案为：A.
【分析】设 D(m,km) ， B(t,0) ，根据菱形的四边相等得出OD=AB=t根据菱形的性质得出BD⊥AC ， AM=CM ， BM=DM ，根据线段中点坐标公式，用含m,t的式子表示出点M的坐标，将点M的坐标代入反比例函数的解析式得出 t=3m ，根据勾股定理建立方程m2+(km)2=(3m)2求解得出k=22m2,利用等量代换即可简化点M的坐标，在 RtΔABM 中，根据正切函数的定义由tan∠MAB=BMAM=22 ， 进而即可得出 ACBD 的值 。
3.【答案】 C
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：设AC=x，
∵ AC⊥BC ， ∠ABC=30° ，
∴tan∠ABC= ACBC ,sin∠ABC= ACAB ,
即ACBC=33 ,ACAB=12 ，
∴ BC= 3x ，AB=2x，
∴ BD=2x，
∴DC=2x+ 3x = (2+3)x ，
∴tan∠DAC= DCAC=(2+3)xx=2+3 ，
故答案为：C.
【分析】设AC=x，在直角三角形ABC中，根据tan∠ABC=ACBC可将BC用含x的代数式表示出来，根据sin∠ABC=ACAB可将AB用含x的代数式表示出来，则BD、DC也可用含x的代数式表示出来，然后根据tan∠DAC=DCAC可求解.
4.【答案】 D
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过B点作BD⊥AC，如图，

由勾股定理得，
AB= 12+32=10
AD= 22+22=22
cosA= ADAB=2210=255
故答案为：D．
【分析】过B点作BD⊥AC，得AB的长，AD的长，利用锐角三角函数得结果．
5.【答案】 D
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵cosB=22 ，
∴∠B=45°，
①若△ABC为钝角三角形，如图1：

在Rt△ADB中，
∵AB=122 ， ∠B=45°，
∴AD=BD=12，
在Rt△ADC中，
∵AC=13，AD=12，
∴CD=5，
∴BC=BD-CD=12-5=7；
②若△ABC为锐角三角形，如图2：

在Rt△ADB中，
∵AB=122 ， ∠B=45°，
∴AD=BD=12，
在Rt△ADC中，
∵AC=13，AD=12，
∴CD=5，
∴BC=BD+CD=12+5=17；
综上所述：BC长为7或17.
故答案为：D.
【分析】根据特殊角的三角函数值求得∠B=45°，然后分情况讨论：①若△ABC为钝角三角形，②若△ABC为锐角三角形，根据勾股定理求得BD、CD长，再结合图形求得BC长.
6.【答案】 B
【考点】勾股定理，圆内接正多边形，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB、OC、OD，作OH⊥AB于H，

∵∠COD=90°，
∴△COD为等腰直角三角形，
∴CD=OC2+OD2=2R ，
∵∠AOH=60°，
∴AH=OA×sin60°=32R，
∴AB=2AH=3R，
内接三角形与内接正方形的边长之比为=3R：2R=3：2；
故答案为：B.
 
【分析】连接OA、OB、OC、OD，作OH⊥AB于H，利用等腰直角三角形和含30°角的直角三角形的性质分别求出内接正三角形和内接正方形的边长，最后求比值即可.
7.【答案】 B
【考点】反比例函数的图象，反比例函数系数k的几何意义，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】如图，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵∠AOC+∠BOD=90°，∠AOC+∠CAO=90°，
∴∠BOD=∠CAO，
∴△CAO∽△DOB，
∴ S△CAO ： S△DOB = (AOBO)2 ，

∵ 30° 角的顶点 A 在反比例函数 y=kx 的图象上，
∴tan30°=OB：OA= 33 ，
∴ S△CAO ： S△DOB =3：1，
∵点 A 在反比例函数 y=kx 的图象上，顶点 B 在反比例函数 y=4x 的图象上，
∴ S△CAO = |k|2 ， S△DOB = 42 =2，
∴ |k|2 ：2 =3：1，
∴ |k| =12，
∵反比例函数 y=kx 的图象在第二象限，
∴k= -12，
故答案为：B．

【分析】在反比例函数中求K的值，一定是利用图象上一点的横纵坐标的乘积来求。有图象知，只有一个点A过反比例函数y=kx ， 因此过点A做AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，这属于K字型相似，由此可证△CAO∽△DOB，再根据30°角，可求出正切值，也就是OB:OA=3:3 ， 面积比就是3:1。根据S△AOC=|x||y|2=|K|2,S△DOB = 42 =2，再根据比值=3:1，可求得|k|=12，再根据图象在第二象限，k＜0，所以k=-12。
8.【答案】 D
【考点】等边三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： ∵PA2+PC2=AC2
∴ ∠APC=90°
取 AC 中点O，并以O为圆心， 12AC 长为半径画圆

由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短
∴AO=PO=CO
∵CO=12AC=12×23=3,BC=3
∴BO=BC2+CO2=23
∴BP=BO−PO=3
∴ 点P是BO的中点
∴ 在 RtΔBCO 中， CP=12BO=3=PO
∴ ΔPCO 是等边三角形
∴ ∠ACP=60°
∴ 在 RtΔAPC 中， AP=CP×tan60°=3
∴SΔAPC=12AP×CP=3×32=332 .
 
【分析】由勾股逆定理得出∠APC为90°，取 AC 中点O，并以O为圆心， 12AC 长为半径画圆，则知当B、P、O三点共线时，BP最短，再求出OC的长，然后利用勾股定理求出BO，再根据线段间的关系求出△PCO为等边三角形，得出∠ACP为60°，利用三角函数的定义求出AP，代入面积公式计算即可.
9.【答案】 A
【考点】矩形的性质，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过T作EF垂直矩形的宽，过P作HJ垂直于矩形的长，

设正方形的边长为x，由EF和DT所成的角为θ，则PJ和PC所成的角为θ，在
EF=ET+OT+AH+AM=2xsinθ+xcosθ+xcosθ+xcosθ=19, 即2xsinθ+3xcosθ=19
JH=PJ+PH=2xcosθ+xcosθ=15，即3xcosθ=15，
∴xsinθ=2, xcosθ=5，
两边平方相加得：x2=29,
∴x=29, 即正方形的边长为29.
故答案为：A.

【分析】过T作EF垂直矩形的宽，过P作HJ垂直于矩形的长，设正方形的边长为x，由EF和DT所成的角为θ，得出PJ和PC所成的角为θ，利用θ的正弦值和余弦值表示出矩形的长和宽，两式联立求解即可.
二、填空题
10.【答案】 6
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵ tanA= 13 ，
∴ BCAC=13 ，即 2AC=13 ，
解得，AC=6，
故答案为：6．

【分析】利用正切值的定义求解即可。
11.【答案】 3a
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】由题意可得，
立柱根部与圭表的冬至线的距离为： ACtan∠ABC=a33=3a ，
故答案为： 3a .
【分析】根据题意和图形，可以用含a的式子表示出BC的长，从而可以解答本题.
12.【答案】 32 或 255
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：①若∠B=90°,
∵AC=2AB,
∴BC= 3 AB，
∴cosC= BCAC = 3AB2AB = 32 ，
②若∠A=90°,
∵AC=2AB,
∴BC= 5 AB，
∴cosC= ACBC = 2AB5AB = 255 ，
综上所述：cosC的值为 32 或 255 .
故答案为： 32 ， 255 .
【分析】根据题意分情况讨论：①若∠B=90°,②若∠A=90°,根据勾股定理分别求得BC，再由锐角三角函数余弦定义即可求得答案.
13.【答案】 32
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】 3cos30°= 3 × 32 = 32
故答案为 32 .
【分析】根据特殊角的三角函数值计算出 cos30° ，再与 3 相乘即可.
14.【答案】 2 ﹣1
【考点】翻折变换（折叠问题），锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图：

连接DB，若Q点落在BD上，此时和最短，且为 2 ，
设AP＝x，则PD＝1﹣x，PQ＝x．
∵∠PDQ＝45°，
∴PD＝ 2 PQ，即1﹣x＝ 2 ，
∴x＝ 2 ﹣1，
∴AP＝ 2 ﹣1，
∴tan∠ABP＝ APAB ＝ 2 ﹣1，
故答案为： 2 ﹣1．
【分析】连接DB，若Q点落在BD上，此时和最短，且为 2 ，设AP＝x，则PD＝1﹣x，PQ＝x．解直角三角形得到AP＝ 2 ﹣1，根据三角函数的定义即可得到结论．
15.【答案】 7+1或3-1
【考点】勾股定理，平行四边形的性质，翻折变换（折叠问题），锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：①如图，当点E在线段AD上时，过点F作FH⊥AD交AD延长线于H，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，AB∥CD，
∴DF=CF=12CD=2，
∴∠FDH=∠BAD=60°，
∴FH=DFsin60°=3 ， DH=DFcos60°=1，
∵DE=1，
∴EH=DE+DH=2，
∴AE=EF=FH2+EH2=32+22=7 ，
∴m=AD=AE+DE=7+1；
②如图，当点E在线段AD的延长线上时，

同理可得DH=DE=1，AE=EF=FH=3 ，
∴AD=AE-DE=3-1；
综上，m的值为7+1或3-1.

【分析】分两种情况讨论，即①当点E在线段AD上时，②当点E在线段AD的延长线上时，过点F作FH⊥AD交AD延长线于H，根据折叠的性质和三角函数定义分别求出AE和DE，最后利用线段间的和差关系计算即可.
16.【答案】 3或 145
【考点】含30°角的直角三角形，翻折变换（折叠问题），锐角三角函数的定义，解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝2 3 ，AC＝2，
∴tanB＝ ACBC=223=33 ，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝4，
∵点D是BC的中点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F

∴DB＝DC＝ 3 ，EB′＝EB，∠DB′E＝∠B＝30°，
设AE＝x，则BE＝4﹣x，EB′＝4﹣x，
当∠AFB′＝90°时，
在Rt△BDF中，cosB＝ BFBD ，
∴BF＝ 3 cos30°＝ 32 ，
∴EF＝ 32 ﹣（4﹣x）＝x﹣ 52 ，
在Rt△B′EF中，∵∠EB′F＝30°，
∴EB′＝2EF，
即4﹣x＝2（x﹣ 52 ），解得x＝3，此时AE为3；
②当∠AB′F＝90°时，即B′不落在C点处时，作EH⊥AB′于H，连接AD，如图，
∵DC＝DB′，AD＝AD，
∴Rt△ADB′≌Rt△ADC，
∴AB′＝AC＝2，
∵∠AB′E＝∠AB′F+∠EB′F＝90°+30°＝120°，
∴∠EB′H＝60°，
在Rt△EHB′中，B′H＝ 12 B′E＝ 12 （4﹣x），EH＝ 3 B′H＝ 32 （4﹣x），
在Rt△AEH中，
∵EH2+AH2＝AE2 ，
∴ 34 （4﹣x）2+[ 12 （4﹣x）+2]2＝x2 ， 解得x＝ 145 ，此时AE为 145 ．
综上所述，AE的长为3或 145 ．
故答案为3或 145 ．
【分析】由∠C＝90°，BC＝2 3 ，AC＝2可得tanB＝ ACBC=223=33 ，即∠B=30°，再根据直角三角形的性质可得AB＝2AC＝4；再由翻折的性质可得DB＝DC＝ 3 ，EB′＝EB，∠DB′E＝∠B＝30°；设AE＝x，则BE＝4﹣x，EB′＝4﹣x．当∠AFB′＝90°时，解直角三角形可得EF＝x﹣ 52 ；又由在Rt△B′EF中，∠EB′F＝30°，可得EB′＝2EF；再用x表示出来，然后解关于x的方程即可；②当∠AB′F＝90°时，即B′不落在C点处时，在进行求解即可．
17.【答案】 2或4
【考点】平行四边形的判定与性质，翻折变换（折叠问题），解直角三角形
【解析】【解答】解：如图1，当DP∥AB时，

∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴ AC=AB2+BC2=32+42=5    
∵将△BPC沿着BP对折，
∴BD＝BC＝4，∠D＝∠C，DP＝PC，
∵DP∥AB，
∴∠D＝∠ABD＝∠C，
∵∠C+∠A＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴∠DEP＝90°
∵ S△ABC=12AC·BE=12AB·BC
∴ BE=AB·BCAC=3×45=125
∴ DE=BD−BE=4−125=85
∵ cosC=cosD=BCAC=DEDP
∴ DP=AC·DEBC=2 ，
∴CP＝2，
如图2，当PD∥BC时，

∵PD∥BC，
∴∠DEB＝∠ABC＝90°，
∵将△BPC沿着BP对折，
∴∠C＝∠PDB，BC＝DB＝4，
∵∠C+∠A＝90°，∠D+∠DBE＝90°，
∴∠DBE＝∠A，
∴DB∥AC，
∴四边形BCPD是平行四边形，
∴PC＝BD＝4，
故答案为：2或4.
【分析】分情况讨论：当DP∥AB时，利用勾股定理求出AC的长；利用折叠的性质可求出BD的长，同时可得∠D＝∠C，DP＝PC；利用平行线的性质证得∠D＝∠ABD＝∠C，再证∠AEB=∠DEP=90°，利用三角形的面积公式求出BE的长，根据DE=BD-BE可求DE的长；然后利用锐角三角函数的定义，可求出DP的长，然后求出CP的长；当PD∥BC时，利用平行线的性质可证得∠DEB＝∠ABC＝90°，利用折叠的性质可得到∠C＝∠PDB，BC＝DB＝4，可推出∠DBE＝∠A，由此可得到DB=BD=4，从而可推出四边形BCPD是平行四边形，利用平行四边形的性质可求出PC的长.
三、解答题
18.【答案】 解：在 RtΔBCD 中， ∵CD=12 ， ∠BCD=45° ，
∴BD=CD=12 ，
在 RtΔACD 中， ∵CD=12 ， ∠ACD=37° ，
∴AC=CDcos37°≈15，AD=sin37°·AC≈0.6×15=9，
∴AB=AD+BD=12+9=21(m)。
答：旗杆的高度21米。
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 在 RtΔBCD 中 ，根据等腰直角三角形的性质得出BD=CD=12， 在 RtΔACD 中 ，根据余弦函数的定义，由AC=CDcos37°算出A长，进而根据正弦函数的定义由AD=sin37°·AC算出AD的长，最后根据AB=AD+BD即可算出答案。
19.【答案】 解：如图2，过点 D 作 DE⊥BC 于 E ，作 DF⊥AB 于 F ，

设 AB=x 米.
在 Rt△DEC 中， tan∠DCE=DECE=13 ，
∴ ∠DCE=30° ，
∴ DE=12CD=50 ， CE=503 ，
∴ AF=AB−BF=AB−DE=x−50 .
在 Rt△ABC 中， ∠ACB=45° ，
∴ BC=AB=x ，
∴ DF=BE=BC+CE=x+503 .
在 Rt△AFD 中， ∠ADF=30° ， tan∠ADF=tan30°=AFDF
∴ AF=33DF ，即 x−50=33(x+503) ，
∴ x=50(3+3)≈237 （米）.
答：这座山的高度 AB 约为237米.
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 过点D作DE⊥BC于E,作DF⊥AB于F ， 设AB=x米，利用特殊角三角函数值求出∠DCE=30°，从而求出DE=12CD=50  ，  CE=503 ， 继而得出AF=AB−BF=AB−DE=x−50 ，根据等腰直角三角形的性质，得出BC=AB=x ， 从而可得DF=BE=BC+CE=x+503 ， 由tan∠ADF=tan30°=AFDF ， 可得AF=33DF ， 据此得出关于x的方程，解出x的值即可. 
20.【答案】 解：过点C作CH⊥AD于H，

则∠CDH＋∠DCH＝90°，
∵∠CDH＋∠DAB＝90°，
∴∠DCH＝∠DAB，
∵CD＝300，CH＝288，∠CHD=90°
∴DH＝ CD2−CH2 =84
∴tan∠DAB＝tan∠DCH＝ DHCH=84288 = 724 ，
∴tan∠DAB＝ BDAB=210AB=724
∴AB=720
应在地面上距点B720cm的A处开始斜坡AD的施工．
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】过点C作CH⊥AD于H，则∠CDH＋∠DCH＝90°，由同角的余角相等可得∠DCH＝∠DAB，利用勾股定理求出DH，接下来根据三角函数的概念就可求出AB.
21.【答案】 解：如图1，由题意可得：

∠B=∠C=60∘ ，则 ΔABC 是等边三角形，故 BC=AB=AC=2m
在 RtΔABD 中得 AD=2sin60∘=232=3≈1.73m
如图2，由题意可得：
AB=A1B1=2m ， ∠B1=∠C1=65∘ ，在 RtΔA1B1D1 中得 A1D1=2sin65∘≈2×0.91=1.82
∴ A1D1−AD=1.82−1.73=0.09≈0.1m
答：梯子顶端离地面的高度 AD 升高了约 0.1m 。
【考点】等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三边相等得出BC=AB=AC=2米， 在 RtΔABD 中根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由AD=AB·sin60°即可求出AD的长，同理算出A1D1 ， 进而根据A1D1-AD即可得出答案。
22.【答案】 解：过点A＇作A＇H⊥OA于点H，

由题意可知OA=OA＇=80，∠AOA＇=35°
在Rt△A＇OH中
OH=OA＇cos∠AOA＇=80×cos35°=80×0.82≈65.6
∴AH=OA-OH=80-65.6=14.4≈14.
故答案为：14.
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】过点A＇作A＇H⊥OA于点H，由题意知OA＇=80，∠AOA＇=35°，再在Rt△A＇OH中，利用解直角三角形求出OH的长，然后根据AH=OA-OH，代入计算求出AH的长。
23.【答案】 解：如图，

过点D作DE⊥AB于点E，由题意可得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，CD=BE，∠ADE=60°，
∴在Rt△ABC和Rt△ADE
AB=BC•tan75°=42tan75°= 42×tan45∘+tan30∘1−tan45∘⋅tan30∘=42×1+331−33=423+84 ，
AE= 42×tan60∘=423 ，
∴CD=AB﹣AE= 423+84−423=84 （米）.
答：建筑物CD的高为84米.
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意易得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，∠ADE=60°，这样在Rt△ABC和在Rt△ADE中，结合题中所给关系式分别求出AB和AE的长，即可由CD=BE=AB-AE求得结果了.