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【专项练习】中考数学试题分专题训练 专题4.2 三角形（第02期）（教师版含解析）
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这是一份【专项练习】中考数学试题分专题训练 专题4.2 三角形（第02期）（教师版含解析），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．【四川省眉山市2018年中考数学试题】将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）.
A． 45° B． 60° C． 75° D． 85°
【答案】C
【解析】分析：先根据三角形的内角和得出∠CGF=∠DGB=45°，再利用∠α=∠D+∠DGB可得答案．
详解：如图，
点睛：本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质．
2．【山东省聊城市2018年中考数学试卷】如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在处的处，折痕为.如果，，，那么下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分析:根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论.
详解:
点睛：本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键.
3．【台湾省2018年中考数学试卷】如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（ ）
A． 115 B． 120 C． 125 D． 130
【答案】C
【解析】分析：根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等，进而得出∠B=∠E，利用多边形的内角和解答即可．
详解：∵三角形ACD为正三角形，
∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，
∵AB=DE，BC=AE，
∴△ABC≌△DEA，
∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE，
∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°，
∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°，
故选：C．
点睛：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等．
4．【湖北省襄阳市2018年中考数学试卷】如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）
A． 16cm B． 19cm C． 22cm D． 25cm
【答案】B
【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．学&科网
5．【湖北省黄石市2018年中考数学试卷】如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）
A． 75° B． 80° C． 85° D． 90°
【答案】A
点睛：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．
6．【贵州省（黔东南，黔南，黔西南）2018年中考数学试题】下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（ ）
A． 甲和乙 B． 乙和丙 C． 甲和丙 D． 只有丙
【答案】B
【解析】
分析：根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．
点睛：本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．【山东省淄博市2018年中考数学试题】如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（ ）
A． 4 B． 6 C． D． 8
【答案】B
【解析】分析：根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．
详解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，
∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，
∴∠ACB=2∠B，NM=NC，
∴∠B=30°，
∵AN=1，
∴MN=2，
∴AC=AN+NC=3，
∴BC=6，
故选：B．
点睛：本题考查30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
8．【四川省达州市2018年中考数学试题】如图，AB∥CD，∠1=45°，∠3=80°，则∠2的度数为（ ）
A． 30° B． 35° C． 40° D． 45°
【答案】B
点睛：此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质解答．
9．【湖北省荆门市2018年中考数学试卷】如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（ ）
A． B． C． 1 D． 2
【答案】C
【详解】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，
∵△ACB为到等腰直角三角形，
∴AC=BC=AB=，∠A=∠B=45°，
∵O为AB的中点，
∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，
∴∠OCB=45°，
∵∠POQ=90°，∠COA=90°，
∴∠AOP=∠COQ，
在Rt△AOP和△COQ中
，
∴Rt△AOP≌△COQ，
∴AP=CQ，
易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，
∴PE=AP=CQ，QF=BQ，
∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC==1，
∵M点为PQ的中点，
∴MH为梯形PEFQ的中位线，
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线、点运动的轨迹，通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹是解题的关键. 学&科网
10．【河北省2018年中考数学试卷】尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是（ ）
A． ①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ B． ①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ
C． ①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ D． ①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ
【答案】D
【解析】【分析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案．
【详解】Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线，观察可知图②符合；
Ⅱ、作线段的垂直平分线，观察可知图③符合；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线，观察可知图④符合；
Ⅳ、作角的平分线，观察可知图①符合，
所以正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．
11．【山东省东营市2018年中考数学试题】如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：
①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（ ）
A． ①②③④ B． ②④ C． ①②③ D． ①③④
【答案】A
点睛：本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
12．【浙江省台州市2018年中考数学试题】如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（ ）
A． △ADF≌△CGE
B． △B′FG的周长是一个定值
C． 四边形FOEC的面积是一个定值
D． 四边形OGB'F的面积是一个定值
【答案】D
B、根据△DOF≌△GOF≌△GOE，得DF=GF=GE，所以△ADF≌△B'GF≌△CGE，可得结论；
C、根据S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE，依次换成面积相等的三角形，可得结论为：S△AOC=S△ABC（定值），可作判断；
D、方法同C，将S四边形OGB'F=S△OAC-S△OFG，根据S△OFG=•FG•OH，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，可作判断．
详解：A、连接OA、OC，
∵点O是等边三角形ABC的外心，
∴AO平分∠BAC，
∴点O到AB、AC的距离相等，
由折叠得：DO平分∠BDB'，
∴点O到AB、DB'的距离相等，
∴点O到DB'、AC的距离相等，
∴FO平分∠DFG，
∠DFO=∠OFG=（∠FAD+∠ADF），
由折叠得：∠BDE=∠ODF=（∠DAF+∠AFD），
∴∠OFD+∠ODF=（∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）=120°，
∴∠DOF=60°，
B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE，
∴DF=GF=GE，
∴△ADF≌△B'GF≌△CGE，
∴B'G=AD，
∴△B'FG的周长=FG+B'F+B'G=FG+AF+CG=AC（定值），
故选项B正确；
C、S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE=S△OCF+S△OAF=S△AOC=S△ABC（定值），
故选项C正确；
点睛：本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定、角平分线的性质和判定、三角形和四边形面积及周长的确定以及折叠的性质，有难度，本题全等的三角形比较多，要注意利用数形结合，并熟练掌握三角形全等的判定，还要熟练掌握角平分线的逆定理的运用，证明FO平分∠DFG是本题的关键，
13．【浙江省台州市2018年中考数学试题】如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（ ）
A． B． 1 C． D．
【答案】B
【解析】分析：只要证明BE=BC即可解决问题；
详解：∵由题意可知CF是∠BCD的平分线，
∴∠BCE=∠DCE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DCE=∠E，∠BCE=∠AEC，
∴BE=BC=3，
∵AB=2，
∴AE=BE-AB=1，
故选：B．
点睛：本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
14．【河北省2018年中考数学试卷】已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（ ）
A． 作∠APB的平分线PC交AB于点C
B． 过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC
C． 取AB中点C，连接PC
D． 过点P作PC⊥AB，垂足为C
【答案】B
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键．
二、填空题
15．【吉林省长春市2018年中考数学试卷】如图，在△ABC中，AB=AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为_____度．
【答案】37
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．学&科网
16．【山东省东营市2018年中考数学试题】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是_____．
【答案】15
【解析】分析：作DQ⊥AC，由角平分线的性质知DB=DQ=3，再根据三角形的面积公式计算可得．
详解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，
由作图知CP是∠ACB的平分线，
∵∠B=90°，BD=3，
∴DB=DQ=3，
∵AC=10，
∴S△ACD=•AC•DQ=×10×3=15，
故答案为：15．
点睛：本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质．
17．【黑龙江省哈尔滨市2018年中考数学试题】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为_____．
【答案】130°或90°．
【解析】分析：根据题意可以求得∠B和∠C的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC的度数．
点睛：本题考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．
18．【江苏省徐州巿2018年中考数学试卷】如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于_____cm．
【答案】7
【解析】【分析】根据勾股定理，可得BC的长，根据翻折的性质，可得AE与CE的关系，根据三角形的周长公式，可得答案．
【详解】在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，
由勾股定理，得
BC==4，
由翻折的性质，得CE=AE，
△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了翻折的性质、勾股定理等，利用翻折的性质得出CE与AE的关系是解题的关键．
19．【湖南省邵阳市2018年中考数学试卷】如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若AE=，则BC的长是_____．
【答案】
【点睛】本题考查了等腰三角形的判断和性质、折叠的性质以及三角形内角和定理的运用，证明△BCE是等腰三角形是解题的关键．
20．【湖北省襄阳市2018年中考数学试卷】已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，则BC的长为_____．
【答案】或
【解析】【分析】分两种情况：△ABC是锐角三角形，△ABC是钝角三角形，分别画出符合条件的图形，然后分别根据勾股定理计算AC和BC即可．
【详解】分两种情况：
当是锐角三角形，如图1，
当是钝角三角形，如图2，
同理得：AC=2，AB=4，
∴BC=；
综上所述，BC的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾股定理计算线段的长，要熟练掌握，运用分类讨论思想进行解答是关键.
21．【2018年湖南省湘潭市中考数学试卷】如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=_________．
【答案】30°
点睛：考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
22．【广西壮族自治区桂林市2018年中考数学试题】如图，在ΔABC中，∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是__________
【答案】3
【解析】分析：由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案．
详解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．
∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．
∵BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∵∠A=∠ABD=36°，
∴△ABD是等腰三角形．
∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，
∴△BDC是等腰三角形．
∴共有3个等腰三角形．
故答案为：3．
点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．
23．【江苏省泰州市2018年中考数学试题】已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为_____．
【答案】5
点睛：此题主要是考查了三角形的三边关系，同时注意整数这一条件．学&科网
24．【江苏省淮安市2018年中考数学试题】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是_____．
【答案】
【解析】分析：连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；
详解：连接AD．
点睛：本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
三、解答题
25．【浙江省杭州市临安市2018年中考数学试卷】阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A）
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B）
∴c2=a2+b2 （C）
∴△ABC是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；
（2）错误的原因为： ；
（3）本题正确的结论为： ．
【答案】（1）C；（2）没有考虑a=b的情况；（3）△ABC是等腰三角形或直角三角形．
【解析】【分析】（1）根据题目中的书写步骤可以解答本题；
（2）根据题目中B到C可知没有考虑a=b的情况；
（3）根据题意可以写出正确的结论．
【点睛】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．
26．【湖北省武汉市2018年中考数学试卷】如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．
【答案】证明见解析.
【解析】【分析】求出BF=CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．
【详解】∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
∴BF=CE，
在△ABF和△DCE中
，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠GEF=∠GFE，
∴EG=FG．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
27．【广西壮族自治区桂林市2018年中考数学试题】如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF.
(1)求证：ΔABC≌△DEF；
(2)若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数.
【答案】（1）证明见解析；（2）37°
【解析】分析：（1）先证明AC=DF，再运用SSS证明△ABC≌△DEF；
（2）根据三角形内角和定理可求∠ACB=37°，由（1）知∠F=∠ACB，从而可得结论.
点睛：本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
28．【陕西省2018年中考数学试题】如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交与点G、H，若AB＝CD，求证：AG＝DH．
【答案】证明见解析.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
29．【浙江省台州市2018年中考数学试题】如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD=CE．
（1）如图1，求证：∠CAE=∠CBD；
（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；
（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC=2，CE=1，求△CGF的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）S△CFG=．
【解析】分析：（1）直接判断出△ACE≌△BCD即可得出结论；
（2）先判断出∠BCF=∠CBF，进而得出∠BCF=∠CAE，即可得出结论；
（3）先求出BD=3，进而求出CF=，同理：EG=，再利用等面积法求出ME，进而求出GM，最后用面积公式即可得出结论．
详解：（1）在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD；
（2）如图2，
（3）如图3，
∵AC=2，
∴BC=AC=2，
∵CE=1，
∴CD=CE=1，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD==3，
∵点F是BD中点，
∴CF=DF=BD=，
同理：EG=AE=，
连接EF，过点F作FH⊥BC，
∵∠ACB=90°，点F是BD的中点，
∴FH=CD=，
∴S△CEF=CE•FH=×1×=，
点睛：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，勾股定理，作出辅助线求出△CFG的边CF上的是解本题的关键．学&科网
30．【湖北省荆门市2018年中考数学试卷】如图，在Rt△ABC中，（M2，N2），∠BAC=30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．
（1）求证：△ADE≌△CDB；
（2）若BC=，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）BH+EH的最小值为3．
【解析】【分析】（1）只要证明△DEB是等边三角形，再根据SAS即可证明；
（2）如图，作点E关于直线AC点E'，连接BE'交AC于点H．则点H即为符合条件的点．
（2）如图，作点E关于直线AC点E'，连接BE'交AC于点H，则点H即为符合条件的点，
由作图可知：EH=HE'，AE'=AE，∠E'AC=∠BAC=30°，
∴∠EAE'=60°，
∴△EAE'为等边三角形，
∴E E'=EA=AB，
∴∠AE'B=90°，
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=，
∴AB=2，A E'=AE=，
∴B E'= =3，
∴BH+EH的最小值为3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，轴对称中的最短路径问题、勾股定理等，熟练掌握相关的性质与判定定理、利用轴对称添加辅助线确定最短路径问题是解题的关键.
31．【山东省淄博市2018年中考数学试题】（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是__________；位置关系是__________．
（2）类比思考：
如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．
（3）深入研究：
如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．
【答案】（1）MG=NG； MG⊥NG；（2）成立，MG=NG，MG⊥NG；（3）答案见解析
详解：（1）连接BE，CD相交于H，如图1，
∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°
∴∠CAD=∠BAE，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，
∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，
（2）连接CD，BE，相交于H，如图2，
同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG；
（3）连接EB，DC并延长相交于点H，如图3.
同（1）的方法得，MG=NG，
同（1）的方法得，△ABE≌△ADC，
∴∠AEB=∠ACD，
∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°，
∴∠DHE=90°，
同（1）的方法得，MG⊥NG．
∴△GMN是等腰直角三角形.
点睛：此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键．
32．【黑龙江省哈尔滨市2018年中考数学试题】已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE．
（1）如图1，求证：AD=CD；
（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．
【答案】（1）证明见解析；（2）△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．
【解析】分析：（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得；
（2）设DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，据此知S△ADC=2a2=2S△ADE，证△ADE≌△BGE得BE=AE=2a，再分别求出S△ABE、S△ACE、S△BHG，从而得出答案．
（2）设DE=a，
则AE=2DE=2a，EG=DE=a，
∴S△ADE=AE×DE=×2a×a=a2，
∵BH是△ABE的中线，
∴AH=HE=a，
∵AD=CD、AC⊥BD，
∴CE=AE=2a，
则S△ADC=AC•DE=•（2a+2a）•a=2a2=2S△ADE；
点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质．学&科网
一、单选题
1．【四川省眉山市2018年中考数学试题】将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）.
A． 45° B． 60° C． 75° D． 85°
【答案】C
【解析】分析：先根据三角形的内角和得出∠CGF=∠DGB=45°，再利用∠α=∠D+∠DGB可得答案．
详解：如图，
点睛：本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质．
2．【山东省聊城市2018年中考数学试卷】如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在处的处，折痕为.如果，，，那么下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分析:根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论.
详解:
点睛：本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键.
3．【台湾省2018年中考数学试卷】如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（ ）
A． 115 B． 120 C． 125 D． 130
【答案】C
【解析】分析：根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等，进而得出∠B=∠E，利用多边形的内角和解答即可．
详解：∵三角形ACD为正三角形，
∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，
∵AB=DE，BC=AE，
∴△ABC≌△DEA，
∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE，
∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°，
∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°，
故选：C．
点睛：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等．
4．【湖北省襄阳市2018年中考数学试卷】如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）
A． 16cm B． 19cm C． 22cm D． 25cm
【答案】B
【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．学&科网
5．【湖北省黄石市2018年中考数学试卷】如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）
A． 75° B． 80° C． 85° D． 90°
【答案】A
点睛：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．
6．【贵州省（黔东南，黔南，黔西南）2018年中考数学试题】下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（ ）
A． 甲和乙 B． 乙和丙 C． 甲和丙 D． 只有丙
【答案】B
【解析】
分析：根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．
点睛：本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．【山东省淄博市2018年中考数学试题】如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（ ）
A． 4 B． 6 C． D． 8
【答案】B
【解析】分析：根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．
详解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，
∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，
∴∠ACB=2∠B，NM=NC，
∴∠B=30°，
∵AN=1，
∴MN=2，
∴AC=AN+NC=3，
∴BC=6，
故选：B．
点睛：本题考查30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
8．【四川省达州市2018年中考数学试题】如图，AB∥CD，∠1=45°，∠3=80°，则∠2的度数为（ ）
A． 30° B． 35° C． 40° D． 45°
【答案】B
点睛：此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质解答．
9．【湖北省荆门市2018年中考数学试卷】如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（ ）
A． B． C． 1 D． 2
【答案】C
【详解】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，
∵△ACB为到等腰直角三角形，
∴AC=BC=AB=，∠A=∠B=45°，
∵O为AB的中点，
∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，
∴∠OCB=45°，
∵∠POQ=90°，∠COA=90°，
∴∠AOP=∠COQ，
在Rt△AOP和△COQ中
，
∴Rt△AOP≌△COQ，
∴AP=CQ，
易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，
∴PE=AP=CQ，QF=BQ，
∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC==1，
∵M点为PQ的中点，
∴MH为梯形PEFQ的中位线，
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线、点运动的轨迹，通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹是解题的关键. 学&科网
10．【河北省2018年中考数学试卷】尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是（ ）
A． ①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ B． ①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ
C． ①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ D． ①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ
【答案】D
【解析】【分析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案．
【详解】Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线，观察可知图②符合；
Ⅱ、作线段的垂直平分线，观察可知图③符合；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线，观察可知图④符合；
Ⅳ、作角的平分线，观察可知图①符合，
所以正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．
11．【山东省东营市2018年中考数学试题】如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：
①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（ ）
A． ①②③④ B． ②④ C． ①②③ D． ①③④
【答案】A
点睛：本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
12．【浙江省台州市2018年中考数学试题】如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（ ）
A． △ADF≌△CGE
B． △B′FG的周长是一个定值
C． 四边形FOEC的面积是一个定值
D． 四边形OGB'F的面积是一个定值
【答案】D
B、根据△DOF≌△GOF≌△GOE，得DF=GF=GE，所以△ADF≌△B'GF≌△CGE，可得结论；
C、根据S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE，依次换成面积相等的三角形，可得结论为：S△AOC=S△ABC（定值），可作判断；
D、方法同C，将S四边形OGB'F=S△OAC-S△OFG，根据S△OFG=•FG•OH，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，可作判断．
详解：A、连接OA、OC，
∵点O是等边三角形ABC的外心，
∴AO平分∠BAC，
∴点O到AB、AC的距离相等，
由折叠得：DO平分∠BDB'，
∴点O到AB、DB'的距离相等，
∴点O到DB'、AC的距离相等，
∴FO平分∠DFG，
∠DFO=∠OFG=（∠FAD+∠ADF），
由折叠得：∠BDE=∠ODF=（∠DAF+∠AFD），
∴∠OFD+∠ODF=（∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）=120°，
∴∠DOF=60°，
B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE，
∴DF=GF=GE，
∴△ADF≌△B'GF≌△CGE，
∴B'G=AD，
∴△B'FG的周长=FG+B'F+B'G=FG+AF+CG=AC（定值），
故选项B正确；
C、S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE=S△OCF+S△OAF=S△AOC=S△ABC（定值），
故选项C正确；
点睛：本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定、角平分线的性质和判定、三角形和四边形面积及周长的确定以及折叠的性质，有难度，本题全等的三角形比较多，要注意利用数形结合，并熟练掌握三角形全等的判定，还要熟练掌握角平分线的逆定理的运用，证明FO平分∠DFG是本题的关键，
13．【浙江省台州市2018年中考数学试题】如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（ ）
A． B． 1 C． D．
【答案】B
【解析】分析：只要证明BE=BC即可解决问题；
详解：∵由题意可知CF是∠BCD的平分线，
∴∠BCE=∠DCE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DCE=∠E，∠BCE=∠AEC，
∴BE=BC=3，
∵AB=2，
∴AE=BE-AB=1，
故选：B．
点睛：本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
14．【河北省2018年中考数学试卷】已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（ ）
A． 作∠APB的平分线PC交AB于点C
B． 过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC
C． 取AB中点C，连接PC
D． 过点P作PC⊥AB，垂足为C
【答案】B
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键．
二、填空题
15．【吉林省长春市2018年中考数学试卷】如图，在△ABC中，AB=AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为_____度．
【答案】37
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．学&科网
16．【山东省东营市2018年中考数学试题】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是_____．
【答案】15
【解析】分析：作DQ⊥AC，由角平分线的性质知DB=DQ=3，再根据三角形的面积公式计算可得．
详解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，
由作图知CP是∠ACB的平分线，
∵∠B=90°，BD=3，
∴DB=DQ=3，
∵AC=10，
∴S△ACD=•AC•DQ=×10×3=15，
故答案为：15．
点睛：本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质．
17．【黑龙江省哈尔滨市2018年中考数学试题】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为_____．
【答案】130°或90°．
【解析】分析：根据题意可以求得∠B和∠C的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC的度数．
点睛：本题考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．
18．【江苏省徐州巿2018年中考数学试卷】如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于_____cm．
【答案】7
【解析】【分析】根据勾股定理，可得BC的长，根据翻折的性质，可得AE与CE的关系，根据三角形的周长公式，可得答案．
【详解】在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，
由勾股定理，得
BC==4，
由翻折的性质，得CE=AE，
△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了翻折的性质、勾股定理等，利用翻折的性质得出CE与AE的关系是解题的关键．
19．【湖南省邵阳市2018年中考数学试卷】如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若AE=，则BC的长是_____．
【答案】
【点睛】本题考查了等腰三角形的判断和性质、折叠的性质以及三角形内角和定理的运用，证明△BCE是等腰三角形是解题的关键．
20．【湖北省襄阳市2018年中考数学试卷】已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，则BC的长为_____．
【答案】或
【解析】【分析】分两种情况：△ABC是锐角三角形，△ABC是钝角三角形，分别画出符合条件的图形，然后分别根据勾股定理计算AC和BC即可．
【详解】分两种情况：
当是锐角三角形，如图1，
当是钝角三角形，如图2，
同理得：AC=2，AB=4，
∴BC=；
综上所述，BC的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾股定理计算线段的长，要熟练掌握，运用分类讨论思想进行解答是关键.
21．【2018年湖南省湘潭市中考数学试卷】如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=_________．
【答案】30°
点睛：考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
22．【广西壮族自治区桂林市2018年中考数学试题】如图，在ΔABC中，∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是__________
【答案】3
【解析】分析：由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案．
详解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．
∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．
∵BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∵∠A=∠ABD=36°，
∴△ABD是等腰三角形．
∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，
∴△BDC是等腰三角形．
∴共有3个等腰三角形．
故答案为：3．
点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．
23．【江苏省泰州市2018年中考数学试题】已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为_____．
【答案】5
点睛：此题主要是考查了三角形的三边关系，同时注意整数这一条件．学&科网
24．【江苏省淮安市2018年中考数学试题】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是_____．
【答案】
【解析】分析：连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；
详解：连接AD．
点睛：本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
三、解答题
25．【浙江省杭州市临安市2018年中考数学试卷】阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A）
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B）
∴c2=a2+b2 （C）
∴△ABC是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；
（2）错误的原因为： ；
（3）本题正确的结论为： ．
【答案】（1）C；（2）没有考虑a=b的情况；（3）△ABC是等腰三角形或直角三角形．
【解析】【分析】（1）根据题目中的书写步骤可以解答本题；
（2）根据题目中B到C可知没有考虑a=b的情况；
（3）根据题意可以写出正确的结论．
【点睛】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．
26．【湖北省武汉市2018年中考数学试卷】如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．
【答案】证明见解析.
【解析】【分析】求出BF=CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．
【详解】∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
∴BF=CE，
在△ABF和△DCE中
，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠GEF=∠GFE，
∴EG=FG．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
27．【广西壮族自治区桂林市2018年中考数学试题】如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF.
(1)求证：ΔABC≌△DEF；
(2)若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数.
【答案】（1）证明见解析；（2）37°
【解析】分析：（1）先证明AC=DF，再运用SSS证明△ABC≌△DEF；
（2）根据三角形内角和定理可求∠ACB=37°，由（1）知∠F=∠ACB，从而可得结论.
点睛：本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
28．【陕西省2018年中考数学试题】如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交与点G、H，若AB＝CD，求证：AG＝DH．
【答案】证明见解析.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
29．【浙江省台州市2018年中考数学试题】如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD=CE．
（1）如图1，求证：∠CAE=∠CBD；
（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；
（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC=2，CE=1，求△CGF的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）S△CFG=．
【解析】分析：（1）直接判断出△ACE≌△BCD即可得出结论；
（2）先判断出∠BCF=∠CBF，进而得出∠BCF=∠CAE，即可得出结论；
（3）先求出BD=3，进而求出CF=，同理：EG=，再利用等面积法求出ME，进而求出GM，最后用面积公式即可得出结论．
详解：（1）在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD；
（2）如图2，
（3）如图3，
∵AC=2，
∴BC=AC=2，
∵CE=1，
∴CD=CE=1，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD==3，
∵点F是BD中点，
∴CF=DF=BD=，
同理：EG=AE=，
连接EF，过点F作FH⊥BC，
∵∠ACB=90°，点F是BD的中点，
∴FH=CD=，
∴S△CEF=CE•FH=×1×=，
点睛：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，勾股定理，作出辅助线求出△CFG的边CF上的是解本题的关键．学&科网
30．【湖北省荆门市2018年中考数学试卷】如图，在Rt△ABC中，（M2，N2），∠BAC=30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．
（1）求证：△ADE≌△CDB；
（2）若BC=，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）BH+EH的最小值为3．
【解析】【分析】（1）只要证明△DEB是等边三角形，再根据SAS即可证明；
（2）如图，作点E关于直线AC点E'，连接BE'交AC于点H．则点H即为符合条件的点．
（2）如图，作点E关于直线AC点E'，连接BE'交AC于点H，则点H即为符合条件的点，
由作图可知：EH=HE'，AE'=AE，∠E'AC=∠BAC=30°，
∴∠EAE'=60°，
∴△EAE'为等边三角形，
∴E E'=EA=AB，
∴∠AE'B=90°，
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=，
∴AB=2，A E'=AE=，
∴B E'= =3，
∴BH+EH的最小值为3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，轴对称中的最短路径问题、勾股定理等，熟练掌握相关的性质与判定定理、利用轴对称添加辅助线确定最短路径问题是解题的关键.
31．【山东省淄博市2018年中考数学试题】（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是__________；位置关系是__________．
（2）类比思考：
如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．
（3）深入研究：
如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．
【答案】（1）MG=NG； MG⊥NG；（2）成立，MG=NG，MG⊥NG；（3）答案见解析
详解：（1）连接BE，CD相交于H，如图1，
∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°
∴∠CAD=∠BAE，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，
∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，
（2）连接CD，BE，相交于H，如图2，
同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG；
（3）连接EB，DC并延长相交于点H，如图3.
同（1）的方法得，MG=NG，
同（1）的方法得，△ABE≌△ADC，
∴∠AEB=∠ACD，
∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°，
∴∠DHE=90°，
同（1）的方法得，MG⊥NG．
∴△GMN是等腰直角三角形.
点睛：此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键．
32．【黑龙江省哈尔滨市2018年中考数学试题】已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE．
（1）如图1，求证：AD=CD；
（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．
【答案】（1）证明见解析；（2）△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．
【解析】分析：（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得；
（2）设DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，据此知S△ADC=2a2=2S△ADE，证△ADE≌△BGE得BE=AE=2a，再分别求出S△ABE、S△ACE、S△BHG，从而得出答案．
（2）设DE=a，
则AE=2DE=2a，EG=DE=a，
∴S△ADE=AE×DE=×2a×a=a2，
∵BH是△ABE的中线，
∴AH=HE=a，
∵AD=CD、AC⊥BD，
∴CE=AE=2a，
则S△ADC=AC•DE=•（2a+2a）•a=2a2=2S△ADE；
点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质．学&科网
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