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【专项练习】中考数学试题分专题训练 专题4.4 圆（第02期）（教师版含解析）
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这是一份【专项练习】中考数学试题分专题训练 专题4.4 圆（第02期）（教师版含解析），共58页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（ ）
A． 4 B． 2 C． D． 2
【来源】湖北省襄阳市2018年中考数学试卷
【答案】B
【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理，熟练掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
2．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（ ）
A． 35° B． 45° C． 55° D． 65°
【来源】江苏省盐城市2018年中考数学试题
【答案】C
【解析】分析：由同弧所对的圆周角相等可知∠B=∠ADC=35°；而由圆周角的推论不难得知∠ACB=90°，则由∠CAB=90°-∠B即可求得.
详解：∵∠ADC=35°，∠ADC与∠B所对的弧相同，
∴∠B=∠ADC=35°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠B=55°，
故选C．
点睛：本题考查了同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角等知识.
3．如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则 的长为（ ）
A． B． C． 2π D．
【来源】湖北省黄石市2018年中考数学试卷
【答案】D
【解析】分析：先计算圆心角为120°，根据弧长公式=，可得结果．
详解：连接OD，
∵∠ABD=30°，
∴∠AOD=2∠ABD=60°，
∴∠BOD=120°，
∴的长== ，
故选：D．
点睛：本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练掌握弧长公式是关键，属于基础题．
4．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC=140°，则∠B的度数是（ ）
A． 70° B． 80° C． 110° D． 140°
【来源】江苏省淮安市2018年中考数学试题
【答案】C
【解析】分析：作对的圆周角∠APC，如图，利用圆内接四边形的性质得到∠P=40°，然后根据圆周角定理求∠AOC的度数．
详解：作对的圆周角∠APC，如图，
∵∠P=∠AOC=×140°=70°
∵∠P+∠B=180°，
∴∠B=180°﹣70°=110°，
故选：C．
点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5．如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
【来源】江苏省无锡市2018年中考数学试题
【答案】C
详解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，
∵G是BC的中点，
∴AG=DG，
∴GH垂直平分AD，
∴点O在HG上，
∵AD∥BC，
∴HG⊥BC，
∴BC与圆O相切；
∵OG=OD，
∴点O不是HG的中点，
∴圆心O不是AC与BD的交点；
而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，
∴AF与DE的交点是圆O的圆心；
∴（1）错误，（2）（3）正确．
故选：C．
点睛：本题考查了三角形外接圆与外心：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点．也考查了切线的判定与矩形的性质．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（ ）
A． 56° B． 62° C． 68° D． 78°
【来源】山东省烟台市2018年中考数学试卷
【答案】B
【解析】分析：由点I是△ABC的内心知∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，从而求得∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．
详解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，
∵∠AIC=124°，
∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）
=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
=180°﹣2（180°﹣∠AIC）
=68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE=∠B=68°，
故选：C．
点睛：本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．
7．正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【来源】湖北省随州市2018年中考数学试卷
【答案】A
【解析】【分析】求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率．
【详解】如图，连接PA、PB、OP，
则S半圆O=，S△ABP=×2×1=1，
由题意得：图中阴影部分的面积=4（S半圆O﹣S△ABP）
=4（﹣1）=2π﹣4，
∴米粒落在阴影部分的概率为，
故选A．
【点睛】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积．
8．如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（ ）
A． ﹣2 B． ﹣2 C． ﹣8 D． ﹣7
【来源】台湾省2018年中考数学试卷
【答案】A
【解析】分析：连接AC，根据线段垂直平分线的性质得到AC=BC，根据勾股定理求出OA，得到答案．
详解：连接AC，
点睛：本题考查的是垂径定理、坐标与图形的性质以及勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．
9．如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A=60°，∠B=100°，BC=4，则扇形BDE的面积为何？（ ）
A． B． C． D．
【来源】台湾省2018年中考数学试卷
【答案】C
点睛：本题考查扇形的面积公式、三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式：S=．
10．如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是（ ）
A． 18+36π B． 24+18π C． 18+18π D． 12+18π
【来源】山东省威海市2018年中考数学试题
【答案】C
【解析】分析：作FH⊥BC于H，连接FH，如图，根据正方形的性质和切线的性质得BE=CE=CH=FH=6，则利用勾股定理可计算出AE=6，通过Rt△ABE≌△EHF得∠AEF=90°，然后利用图中阴影部分的面积=S正方形ABCD+S半圆﹣S△ABE﹣S△AEF进行计算．
点睛：本题考查了正多边形和圆：利用面积的和差计算不规则图形的面积．
11．如图,是⊙的直径,弦⊥于点,,则( )
A． B． C． D．
【来源】湖南省张家界市2018年初中毕业学业考试数学试题
【答案】A
【解析】分析：根据垂径定理可得出CE的长度，在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE的长度，再利用AE=AO+OE即可得出AE的长度．
详解：∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，
∴CE=CD=4cm．
在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，
∴OE==3cm，
∴AE=AO+OE=5+3=8cm．
故选：A．
点睛：本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出OE的长度是解题的关键．
12．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（ ）
A． B． C． D．
【来源】湖北省武汉市2018年中考数学试卷
【答案】B
【详解】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，
∵D为AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴AD=BD=AB=2，
在Rt△OBD中，OD==1，
∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，
∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，
∴，
∴AC=DC，
∴AE=DE=1，
易得四边形ODEF为正方形，
∴OF=EF=1，
在Rt△OCF中，CF==2，
∴CE=CF+EF=2+1=3，
而BE=BD+DE=2+1=3，
∴BC=3，
故选B．
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、切线的性质，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，熟练掌握相关的定理和性质是解题的关键.
13．如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P=36°，则∠B等于（ ）.
【来源】四川省眉山市2018年中考数学试题
【答案】A
【解析】分析：直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，再利用三角形内角和定理得出∠AOP=54°，结合圆周角定理得出答案．
详解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=36°，
∴∠AOP=54°，
∴∠B=27°．
故选：A．
点睛：此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确得出∠AOP的度数是解题关键．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I'的坐标为（ ）
A． （﹣2，3） B． （﹣3，2） C． （3，﹣2） D． （2，﹣3）
【来源】湖北省荆门市2018年中考数学试卷
【答案】A
【解析】【分析】直接利用直角三角形的性质得出其内切圆半径，进而得出I点坐标，再利用旋转的性质得出对应点坐标．
【详解】过点作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E，
∵A（4，0），B（0，3），C（4，3），
∴BC=4，AC=3，
则AB=5，
∵I是△ABC的内心，
∴I到△ABC各边距离相等，等于其内切圆的半径，
∴IF=1，故I到BC的距离也为1，
则AE=1，
故IE=3﹣1=2，
OE=4﹣1=3，
则I（3，2），
∵△ABC绕原点逆时针旋转90°，
∴I的对应点I'的坐标为：（﹣2，3），
故选A．
【点睛】本题考查了直角三角形的内心、旋转的性质，根据直角三角形内心的性质得出其内心I的坐标是解题的关键.
15．如图，在中，，，，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，则的长为
A． B． C． D．
【来源】浙江省宁波市2018年中考数学试卷
【答案】C
【点睛】本题考查了弧长公式的运用和含30度角的直角三角形性质，熟练掌握弧长公式是解题的关键.弧长公式：弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为．
16．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A． B． C． 2 D． 2
【来源】广西钦州市2018年中考数学试卷
【答案】D
【解析】【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
【详解】过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=1，AD=BD=，
∴△ABC的面积为BC•AD==，
S扇形BAC==，
∴莱洛三角形的面积S=3×﹣2×=2π﹣2，
故选D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．
17．⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（ ）
A． 内含 B． 内切 C． 相交 D． 外切
【来源】江苏省徐州巿2018年中考数学试卷
【答案】B
【解析】【分析】根据两圆圆心距与半径之间的数量关系即可判断⊙O1与⊙O2的位置关系．
【详解】∵⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，
则5﹣2=3，
∴⊙O1和⊙O2内切，
故选B．
【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R﹣r＜P＜R+r；内切P=R﹣r；内含P＜R﹣r．
18．已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A． 相交 B． 相切 C． 相离 D． 无法确定
【来源】湖南省湘西州2018年中考数学试卷
【答案】B
【解析】【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，即可判断直线和圆相切．
【详解】∵圆心到直线的距离5cm=5cm，
∴直线和圆相切，
故选B．
【点睛】本题考查了直线与圆的关系，解题的关键是能熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
二、填空题
19．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D=_____度．
【来源】浙江省台州市2018年中考数学试题
【答案】26
【解析】分析：连接OC，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A，根据切线的性质计算即可．
详解：连接OC，
点睛：本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
20．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作当与正方形ABCD的边相切时，BP的长为______．
【来源】浙江省宁波市2018年中考数学试卷
【答案】3或
【解析】【分析】分两种情况：与直线CD相切、与直线AD相切，分别画出图形进行求解即可得.
【详解】如图1中，当与直线CD相切时，设，
在中，，
，
，
，；
如图2中当与直线AD相切时，设切点为K，连接PK，则，四边形PKDC是矩形，
，
，，
在中，，
综上所述，BP的长为3或．
【点睛】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，会用分类讨论的思想思考问题，会利用参数构建方程解决问题是关键．
21．如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D=30°，CD=4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为_____．
【来源】湖北省荆门市2018年中考数学试卷
【答案】
【解析】【分析】连接半径和弦AE，根据直径所对的圆周角是直角得：∠AEB=90°，继而可得AE和BE的长，所以图中弓形的面积为扇形OBE的面积与△OBE面积的差，因为OA=OB，所以△OBE的面积是△ABE面积的一半，可得结论．
【详解】如图，连接OE、AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，∠B=∠D=30°，
∴AE=AB=2，BE==2，
∵OA=OB=OE，
∴∠B=∠OEB=30°，
∴∠BOE=120°，
∴S阴影=S扇形OBE﹣S△BOE
=
=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形的面积计算、平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质等，求出扇形OBE的面积和△ABE的面积是解本题的关键．
22．用一块圆心角为216°的扇形铁皮，做一个高为40cm的圆锥形工件（接缝忽略不计），那么这个扇形铁皮的半径是_____cm．
【来源】山东省聊城市2018年中考数学试题
【答案】50
【解析】
分析：设这个扇形铁皮的半径为Rcm，圆锥的底面圆的半径为rcm，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．和弧长公式得到2πr=，解得r=R，然后利用勾股定理得到402+（R）2=R2，最后解方程即可．
详解：设这个扇形铁皮的半径为Rcm，
圆锥的底面圆的半径为rcm，
根据题意得2πr=，解得r=R，
因为402+（R）2=R2，解得R=50．
所以这个扇形铁皮的半径为50cm．
故答案为50．
点睛：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
23．已知的半径为，，是的两条弦，，，，则弦和之间的距离是__________．
【来源】湖北省孝感市2018年中考数学试题
【答案】2或14
详解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，
∵AB=16cm，CD=12cm，
∴AE=8cm，CF=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴EO=6cm，OF=8cm，
∴EF=OF-OE=2cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，
∵AB=16cm，CD=12cm，
∴AF=8cm，CE=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴OF=6cm，OE=8cm，
∴EF=OF+OE=14cm．
∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．
故答案为：2或14．
点睛：本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．
24．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_____．
【来源】山东省烟台市2018年中考数学试卷
【答案】（-1，-2）
【解析】分析：连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点O的坐标即可．
详解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：
在CB的垂直平分线上找到一点D，
CD═DB=DA=，
所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，
即D的坐标为（﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2），
点睛：此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出圆心位置．
25．如图，点，，，在上，，，，则________．
【来源】北京市2018年中考数学试卷
【答案】70°
【解析】分析：根据=，得到，根据同弧所对的圆周角相等即可得到，根据三角形的内角和即可求出.
详解：∵=，
∴，
∴，
∵，∴．
故答案为：
点睛：考查圆周角定理和三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
26．在Rt△ABC中，AB=1，∠A=60°，∠ABC=90°，如图所示将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为_____．（结果不取近似值）
【来源】湖北省恩施州2018年中考数学试题
【答案】π+．
【解析】分析：先得到∠ACB=30°，BC=，利用旋转的性质可得到点B路径分部分：第一部分为以直角三角形30°的直角顶点为圆心，为半径，圆心角为150°的弧长；第二部分为以直角三角形60°的直角顶点为圆心，1为半径，圆心角为120°的弧长，第三部分为△ABC的面积；然后根据扇形的面积公式计算点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积．
详解：∵Rt△ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，
∴∠ACB=30°，BC=，
将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，点B路径分部分：第一部分为以直角三角形30°的直角顶点为圆心，为半径，圆心角为150°的弧长；第二部分为以直角三角形60°的直角顶点为圆心，1为半径，圆心角为120°的弧长；第三部分为△ABC的面积.
∴点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积
=．
故答案为．
点睛：本题考查了轨迹：利用特殊几何图形描述点运动的轨迹，然后利用几何性质计算相应的几何量．
27．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是________.
【来源】四川省眉山市2018年中考数学试题
【答案】
点睛：本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．
28．如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B'上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为_____．
【来源】江苏省泰州市2018年中考数学试题
【答案】或
【解析】分析：分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，
详解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，连接PQ．
设PQ=PA′=r，
∵PQ∥CA′，
∴，
∴，
∴r=．
如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，易证A′、B′、T共线，
∵△A′BT∽△ABC，
∴，
∴，
∴A′T=，
∴r=A′T=．
综上所述，⊙P的半径为或．
点睛：本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
29．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是_____．
【来源】浙江省湖州市2018年中考数学试题
【答案】70°
【解析】分析：先根据三角形内心的性质和切线的性质得到OB平分∠ABC，OD⊥BC，则∠OBD=∠ABC=20°，然后利用互余计算∠BOD的度数．
详解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，
∴OB平分∠ABC，OD⊥BC，
∴∠OBD=∠ABC=×40°=20°，
∴∠BOD=90°-∠OBD=70°．
故答案为70°．
点睛：本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆．
30．如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为__．
【来源】山东省威海市2018年中考数学试题
【答案】135°．
【解析】分析：如图，连接EC．首先证明∠AEC=135°，再证明△EAC≌△EAB即可解决问题.
详解：如图，连接EC．
点睛：本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
31．已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点F，C是⊙O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC=60°，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为点D．
（1）求扇形OBC的面积（结果保留）；
（2）求证：CD是⊙O的切线．
【来源】湖南省怀化市2018年中考数学试题
【答案】（1）S扇形OBC=；（2）证明见解析.
【解析】分析：（1）由扇形的面积公式即可求出答案．
（2）易证∠FAC=∠ACO，从而可知AD∥OC，由于CD⊥AF，所以CD⊥OC，所以CD是⊙O的切线．
详解：（1）∵AB=4，
∴OB=2
∵∠COB=60°，
∴S扇形OBC=.
（2）∵AC平分∠FAB，
∴∠FAC=∠CAO，
∵AO=CO，
∴∠ACO=∠CAO
∴∠FAC=∠ACO
∴AD∥OC，
∵CD⊥AF，
∴CD⊥OC
∵C在圆上，
∴CD是⊙O的切线
点睛：本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用扇形面积公式以及切线的判定方法，本题属于中等题型．
32．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D．已知⊙O的半径为6，∠C=40°．
（1）求∠B的度数．
（2）求 的长．（结果保留π）
【来源】吉林省长春市2018年中考数学试卷
【答案】(1)50°;(2).
【解析】【分析】（1）根据切线的性质求出∠A=90°，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据圆周角定理求出∠AOD，根据弧长公式求出即可．
【详解】（1）∵AC切⊙O于点A，
∠BAC=90°，
∵∠C=40°，
∴∠B=50°；
（2）如图，连接OD，
∵∠B=50°，
∴∠AOD=2∠B=100°，
∴的长为．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、弧长公式等，熟练掌握切线的性质、圆周角定理以及弧长公式等知识是解题的关键.
33．已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．
【来源】湖南省郴州市2018年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】【分析】（1）先求出∠ABC=30°，进而求出∠BAD=120°，即可求出∠OAB=30°，结论得证；
（2）先求出∠AOC=60°，用三角函数求出AM，再用垂径定理即可得出结论．
（2）连接OA，∵∠AEC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵BC⊥AE于M，
∴AE=2AM，∠OMA=90°，
在Rt△AOM中，AM=OA•sin∠AOM=4×sin60°=2，
∴AE=2AM=4．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，锐角三角函数，三角形内角和定理，圆周角定理等，熟练掌握和运用相关的定理与性质是解本题的关键．
34．如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．
（1）求证：∠CAD=∠BDC；
（2）若BD=AD，AC=3，求CD的长．
【来源】山东省东营市2018年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）CD=2．
【解析】分析：（1）连接OD，由OB=OD可得出∠OBD=∠ODB，根据切线的性质及直径所对的圆周角等于180°，利用等角的余角相等，即可证出∠CAD=∠BDC；
（2）由∠C=∠C、∠CAD=∠CDB可得出△CDB∽△CAD，根据相似三角形的性质结合BD=AD、AC=3，即可求出CD的长．
详（1）证明：连接OD，如图所示．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．
∵CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，
∴∠ODB+∠BDC=90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠OBD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BDC．
（2）∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB，
∴△CDB∽△CAD，
∴．
∵BD=AD，
∴，
∴，
又∵AC=3，
∴CD=2．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定义以及切线的性质，解题的关键是：（1）利用等角的余角相等证出∠CAD=∠BDC；（2）利用相似三角形的性质找出．
35．如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，∠AC平分∠BAD，连接BF．
（1）求证：AD⊥ED；
（2）若CD=4，AF=2，求⊙O的半径．
【来源】云南省昆明市2018年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为．
【解析】分析：（1）连接OC，如图，先证明OC∥AD，然后利用切线的性质得OC⊥DE，从而得到AD⊥ED；
（2）OC交BF于H，如图，利用圆周角定理得到∠AFB=90°，再证明四边形CDFH为矩形得到FH=CD=4，∠CHF=90°，利用垂径定理得到BH=FH=4，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径．
详（1）证明：连接OC，如图，
∵AC平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OC∥AD，
∵ED切⊙O于点C，
∴OC⊥DE，
∴AD⊥ED；
点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和圆周角定理．
36．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D在上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE为菱形．
（1）求证：AC=CE；
（2）求证：BC2﹣AC2=AB•AC；
（3）已知⊙O的半径为3．
①若=，求BC的长；
②当为何值时，AB•AC的值最大？
【来源】浙江省台州市2018年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①BC=4；②
【解析】分析：（1）由菱形知∠D=∠BEC，由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC，据此得证；
（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG=AC=CE=CD，证△BEF∽△BGA得，即BF•BG=BE•AB，将BF=BC-CF=BC-AC、BG=BC+CG=BC+AC代入可得；
（3）①设AB=5k、AC=3k，由BC2-AC2=AB•AC知BC=2k，连接ED交BC于点M，Rt△DMC中由DC=AC=3k、MC=BC=k求得DM==k，可知OM=OD-DM=3-k，在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2可得答案．②设OM=d，则MD=3-d，MC2=OC2-OM2=9-d2，继而知BC2=（2MC）2=36-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=（3-d）2+9-d2，由（2）得AB•AC=BC2-AC2，据此得出关于d的二次函数，利用二次函数的性质可得答案．
详解：（1）∵四边形EBDC为菱形，
∴∠D=∠BEC，
∵四边形ABDC是圆的内接四边形，
∴∠A+∠D=180°，
又∠BEC+∠AEC=180°，
∴∠A=∠AEC，
∴AC=CE；
（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG，
由（1）知AC=CE=CD，
∴CF=CG=AC，
∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形，
∴∠G+∠AEF=180°，
又∵∠AEF+∠BEF=180°，
∴∠G=∠BEF，
∵∠EBF=∠GBA，
∴△BEF∽△BGA，
∴，即BF•BG=BE•AB，
∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC，BE=CE=AC，
∴（BC﹣AC）（BC+AC）=AB•AC，即BC2﹣AC2=AB•AC；
（3）设AB=5k、AC=3k，
∵BC2﹣AC2=AB•AC，
∴BC=2k，
连接ED交BC于点M，
∵四边形BDCE是菱形，
∴DE垂直平分BC，
则点E、O、M、D共线，
在Rt△DMC中，DC=AC=3k，MC=BC=k，
∴DM=，
∴OM=OD﹣DM=3﹣k，
在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2得（3﹣k）2+（k）2=32，
解得：k=或k=0（舍），
∴BC=2k=4；
点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点．
37．如图1，直线l：与x轴交于点，与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点以点A为圆心，AC长为半径作交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交于点F．
求直线l的函数表达式和的值；
如图2，连结CE，当时，
求证：∽；
求点E的坐标；
当点C在线段OA上运动时，求的最大值．
【来源】浙江省宁波市2018年中考数学试卷
【答案】（1）直线l的函数表达式，；证明见解析；E； 最大值为．
【解析】【分析】利用待定系数法求出b即可得出直线l表达式，即可求出OA，OB，即可得出结论；
先判断出，进而得出，即可得出结论；
设出，，进而得出点E坐标，即可得出OE的平方，再根据的相似得出比例式得出OE的平方，建立方程即可得出结论；
利用面积法求出OG，进而得出AG，HE，再构造相似三角形，即可得出结论．
【详解】（1）直线l：与x轴交于点，
，
，
直线l的函数表达式，
，
，，
在中，；
如图2，连接DF，，
，
，
，
，
四边形CEFD是的圆内接四边形，
，
，
，
∽，
过点于M，
由知，，
设，则，
，，
，，
，
由知，∽，
，
，
，
，
，
舍或，
，，
；
如图，设的半径为r，过点O作于G，
，，
，，
，
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理等，熟练掌握相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，运用数理结合思想，正确添加辅助线进行图形构建是解本题的关键．
38．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，AD交⊙O于F，FM⊥AB于H，分别交⊙O、AC于M、N，连接MB，BC．
（1）求证：AC平分∠DAE；
（2）若cosM=，BE=1，①求⊙O的半径；②求FN的长．
【来源】湖北省荆门市2018年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）①⊙O的半径为4；②FN=．
【解析】【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得OC⊥DE，则判断OC∥AD得到∠1=∠3，加上∠2=∠3，从而得到∠1=∠2；
（2）①利用圆周角定理和垂径定理得到，则∠COE=∠FAB，所以∠FAB=∠M=∠COE，设⊙O的半径为r，然后在Rt△OCE中利用余弦的定义得到，从而解方程求出r即可；
②连接BF，如图，先在Rt△AFB中利用余弦定义计算出AF=，再计算出OC=3，接着证明△AFN∽△AEC，然后利用相似比可计算出FN的长．
【详解】（1）连接OC，如图，
∵直线DE与⊙O相切于点C，
∴OC⊥DE，
又∵AD⊥DE，
∴OC∥AD．
∴∠1=∠3
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AC平方∠DAE；
（2）①∵AB为直径，
∴∠AFB=90°，
而DE⊥AD，
∴BF∥DE，
∴OC⊥BF，
∴，
∴∠COE=∠FAB，
而∠FAB=∠M，
∴∠COE=∠M，
设⊙O的半径为r，
在Rt△OCE中，cos∠COE=，即，解得r=4，
即⊙O的半径为4；
②连接BF，如图，
在Rt△AFB中，cos∠FAB=，
∴AF=8×，
在Rt△OCE中，OE=5，OC=4，
∴CE=3，
∵AB⊥FM，
∴，
∴∠5=∠4，
∵FB∥DE，
∴∠5=∠E=∠4，
∵，
∴∠1=∠2，
∴△AFN∽△AEC，
∴，即，
∴FN=．
【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线、熟练应用相关的性质与定理是解题的关键.
39．如图，中，，以为直径的交于点，交于点，过点作于点，交的延长线于点.
（1）求证：是的切线；
（2）已知，，求和的长.
【来源】湖北省孝感市2018年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）
详解：（1）如图，连接OD，AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
又∵OA=OB，
∴OD∥AC，
∵DG⊥AC，
∴OD⊥FG，
∴直线FG与⊙O相切，即DF是⊙O的切线；
（2）如图，连接BE．∵BD=2，
∴CD＝BD＝2，
∵CF=2，
∴DF==4，
∴BE=2DF=8，
∵cos∠C=cos∠ABC，
∴，
∴，
∴AB=10，
∴AE=，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥GF，
∴△AEB∽△AFG，
∴，
∴，
∴BG=．
点睛：本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及中位线定理等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
40．已知：如图，以等边△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC交AC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若等边△ABC的边长为8，求由、DF、EF围成的阴影部分面积．
【来源】四川省达州市2018年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】分析：（1）连接CD、OD，先利用等腰三角形的性质证AD=BD，再证OD为△ABC的中位线得DO∥AC，根据DF⊥AC可得；
（2）连接OE、作OG⊥AC，求出EF、DF的长及∠DOE的度数，根据阴影部分面积=S梯形EFDO-S扇形DOE计算可得．
详解：（1）如图，连接CD、OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，
又∵△ABC是等边三角形，
∴AD=BD，
∵BO=CO，
∴DO是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线；
（2）连接OE、作OG⊥AC于点G，
∴∠OGF=∠DFG=∠ODF=90°，
∴四边形OGFD是矩形，
∴FG=OD=4，
∵OC=OE=OD=OB，且∠COE=∠B=60°，
∴△OBD和△OCE均为等边三角形，
点睛：本题主要考查了切线的判定与性质，等边三角形的性质，垂径定理等知识．判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，再证直线和半径的夹角为90°即可．注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长．
41．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为2.5，BE=4，求BC，AD的长．
【来源】山东省聊城市2018年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）BC=，AD=．
【解析】分析：（1）连接OE，由OB=OE知∠OBE=∠OEB、由BE平分∠ABC知∠OBE=∠CBE，据此得∠OEB=∠CBE，从而得出OE∥BC，进一步即可得证；
（2）证△BDE∽△BEC得，据此可求得BC的长度，再证△AOE∽△ABC得，据此可得AD的长．
详解：（1）如图，连接OE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE=∠CBE，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
又∵∠C=90°，
∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，
∴AC为⊙O的切线；
（2）∵ED⊥BE，
∴∠BED=∠C=90°，
又∵∠DBE=∠EBC，
∴△BDE∽△BEC，
∴，即，
∴BC=；
∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△AOE∽△ABC，
∴，即，
解得：AD=．
点睛：本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质．
42．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．
（1）求证：MD=MC；
（2）若⊙O的半径为5，AC=4，求MC的长．
【来源】湖北省随州市2018年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）MC=.
【解析】【分析】（1）连接OC，利用切线的性质证明即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
【详解】（1）连接OC，
∵CN为⊙O的切线，
∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°，
∵OM⊥AB，
∴∠OAC+∠ODA=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠ACM=∠ODA=∠CDM，
∴MD=MC；
（2）由题意可知AB=5×2=10，AC=4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC==2，
∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，
∴△AOD∽△ACB，
∴，即，
可得：OD=2.5，
设MC=MD=x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52，
解得：x=，
即MC=．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，准确添加辅助线，正确寻找相似三角形是解决问题的关键.
43．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠B=50°，AC=4.8，求图中阴影部分的面积．
【来源】江苏省淮安市2018年中考数学试题
【答案】（1）直线DE与⊙O相切．理由见解析；（2）图中阴影部分的面积为4.8﹣π．
详解：（1）直线DE与⊙O相切．理由如下：
连接OE、OD，如图，
∵AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，
∴OE∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠3，
∵OB=OD，
∴∠B=∠3，
∴∠1=∠2，
在△AOE和△DOE中
，
∴△AOE≌△DOE，
∴∠ODE=∠OAE=90°，
∴OA⊥AE，
∴DE为⊙O的切线；
（2）∵点E是AC的中点，
∴AE=AC=2.4，
∵∠AOD=2∠B=2×50°=100°，
∴图中阴影部分的面积=2××2×2.4﹣．
点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．
44．如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点，连接AC、BC．将△ABC沿AB翻折后得到△ABD．
（1）试说明点D在⊙O上；
（2）在线段AD的延长线上取一点E，使AB2=AC·AE.求证：BE为⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，分别延长线段AE、CB相交于点F，若BC=2，AC=4，求线段EF的长.
【来源】江苏省盐城市2018年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=
【解析】分析：（1）由翻折知△ABC≌△ABD，得∠ADB=∠C=90°，据此即可得；
（2）由AB=AD知AB2=AD•AE，即，据此可得△ABD∽△AEB，即可得出∠ABE=∠ADB=90°，从而得证；
（3）由知DE=1、BE=，证△FBE∽△FAB得，据此知FB=2FE，在Rt△ACF中根据AF2=AC2+CF2可得关于EF的一元二次方程，解之可得．
详解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵将△ABC沿AB翻折后得到△ABD，
∴△ABC≌△ABD，
∴∠ADB=∠C=90°，
∴点D在以AB为直径的⊙O上；
（2）∵△ABC≌△ABD，
∴AC=AD，
∵AB2=AC•AE，
∴AB2=AD•AE，即，
∵∠BAD=∠EAB，
∴△ABD∽△AEB，
∴∠ABE=∠ADB=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴BE是⊙O的切线；
（3）∵AD=AC=4、BD=BC=2，∠ADB=90°，
∴AB=，
∵，
∴，
解得：DE=1，
∴BE=，
∵四边形ACBD内接于⊙O，
∴∠FBD=∠FAC，即∠FBE+∠DBE=∠BAE+∠BAC，
又∵∠DBE+∠ABD=∠BAE+∠ABD=90°，
∴∠DBE=∠BAE，
∴∠FBE=∠BAC，
点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、翻折的性质、圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．
45．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交斜边AC于点D，过圆心O作OE∥AC，交BC于点E，连接DE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）求证：2DE2=CD•OE；
（3）若tanC=，DE=，求AD的长．
【来源】四川省内江市2018年中考数学试题
【答案】（1）DE是⊙O的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】分析：（1）先判断出DE=BE=CE，得出∠DBE=∠BDE，进而判断出∠ODE=90°，即可得出结论；
（2）先判断出△BCD∽△ACB，得出BC2=CD•AC，再判断出DE=BC，AC=2OE，即可得出结论；
（3）先求出BC，进而求出BD，CD，再借助（2）的结论求出AC，即可得出结论．
详解：（1）DE是⊙O的切线，理由：如图，
连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
∵OE∥AC，OA=OB，
∴BE=CE，
∴DE=BE=CE，
∴∠DBE=∠BDE，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵∠BCD=∠ABC=90°，∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB，
∴，
∴BC2=CD•AC，
由（1）知DE=BE=CE=BC，
∴4DE2=CD•AC，
由（1）知，OE是△ABC是中位线，
∴AC=2OE，
∴4DE2=CD•2OE，
∴2DE2=CD•OE；
（3）∵DE=，
∴BC=5，
在Rt△BCD中，tanC=，
设CD=3x，BD=4x，根据勾股定理得，（3x）2+（4x）2=25，
∴x=-1（舍）或x=1，
∴BD=4，CD=3，
由（2）知，BC2=CD•AC，
∴AC=，
∴AD=AC-CD=-3=．
点睛：此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出△BCD∽△ACB是解本题的关键．
46．如图，AB为⊙O直径，P点为半径OA上异于O点和A点的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，OE∥AD交BE于E点，连接AE、DE、AE交CD于F点．
（1）求证：DE为⊙O切线；
（2）若⊙O的半径为3，sin∠ADP=，求AD；
（3）请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明．
【来源】湖北省恩施州2018年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）2；（3）PF=FD，证明见解析.
详证明：（1）如图1，连接OD、BD，BD交OE于M，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，AD⊥BD，
∵OE∥AD，
∴OE⊥BD，
∴BM=DM，
∵OB=OD，
∴∠BOM=∠DOM，
∵OE=OE，
∴△BOE≌△DOE（SAS），
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∴DE为⊙O切线；
（2）设AP=a，
∵sin∠ADP=，
∴AD=3a，
∴PD=，
∵OP=3-a，
∴OD2=OP2+PD2，
∴32=（3-a）2+（2a）2，
9=9-6a+a2+8a2，
a1=，a2=0（舍），
当a=时，AD=3a=2，
∴AD=2；
（3）PF=FD，
理由是：∵∠APD=∠ABE=90°，∠PAD=∠BAE，
∴△APF∽△ABE，
∴，
∴PF=，
∵OE∥AD，
∴∠BOE=∠PAD，
∵∠OBE=∠APD=90°，
∴△ADP∽△OEB，
∴，
∴PD=，
∵AB=2OB，
∴PD=2PF，
∴PF=FD．
点睛：本题考查了圆的综合问题，熟练掌握切线的判定，锐角三角函数，圆周角定理，垂径定理等知识点的应用，难度适中，连接BD构造直角三角形是解题的关键．
47．如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若OC=3，AC=4，求sinE的值．
【来源】新疆自治区2018年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】分析：（1）要证明是圆的切线，须证明过切点的半径垂直，所以连接OB，证明OB⊥PE即可．
（2）要求sinE，首先应找出∠E所在的直角三角形，然后利用直角三角函数求解即可．而sinE既可放在直角三角形EAP中，也可放在直角三角形EBO中，所以利用相似三角形的性质求出EP或EO的长即可解决问题
详解：（1）证明：连接OB
∵PO⊥AB，
∴AC=BC，
∴PA=PB,
在△PAO和△PBO中
,
∴△PAO和≌△PBO，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∴PB是⊙O的切线．
（2）连接BD，则BD∥PO，且BD=2OC=6
在Rt△ACO中，OC=3，AC=4
∴AO=5
在△EPO与△EBD中，
BD∥PO
∴△EPO∽△EBD
∴，
解得EB=，PE=，
∴sinE=.
点睛：本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质．能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键．
48．如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM．
（1）若半圆的半径为10．
①当∠AOM=60°时，求DM的长；
②当AM=12时，求DM的长．
（2）探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【来源】2018年湖南省湘潭市中考数学试卷
【答案】（1）①10，②；（2）∠DMC的大小是定值，45°
【解析】分析：（1）①当时，所以△AMO是等边三角形，从而可知∠MOD=30°，∠D=30°，所以DM=OM=10；
②过点M作MF⊥OA于点F，设AF=x， 利用勾股定理即可求出x的值．易证明△AMF∽△ADO，从而可知AD的长度，进而可求出MD的长度．
（2）根据点M的位置分类讨论，然后利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求出答案．
详解：（1）①当∠AOM=60°时，
∵
∴△AMO是等边三角形，
∴∠A=∠MOA=60°，
∴∠MOD=30°，∠D=30°，
∴DM=OM=10
②过点M作MF⊥OA于点F，
设
∴
∵
（2）当点M位于之间时，
连接BC，
∵C是的中点，
∴∠B=45°，
∵四边形AMCB是圆内接四边形，
此时∠CMD=∠B=45°，
当点M位于之间时，
连接BC，
由圆周角定理可知：∠CMD=∠B=45°
综上所述，∠CMD=45°
点睛：本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形性质，解方程等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．
一、单选题
1．如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（ ）
A． 4 B． 2 C． D． 2
【来源】湖北省襄阳市2018年中考数学试卷
【答案】B
【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理，熟练掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
2．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（ ）
A． 35° B． 45° C． 55° D． 65°
【来源】江苏省盐城市2018年中考数学试题
【答案】C
【解析】分析：由同弧所对的圆周角相等可知∠B=∠ADC=35°；而由圆周角的推论不难得知∠ACB=90°，则由∠CAB=90°-∠B即可求得.
详解：∵∠ADC=35°，∠ADC与∠B所对的弧相同，
∴∠B=∠ADC=35°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠B=55°，
故选C．
点睛：本题考查了同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角等知识.
3．如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则 的长为（ ）
A． B． C． 2π D．
【来源】湖北省黄石市2018年中考数学试卷
【答案】D
【解析】分析：先计算圆心角为120°，根据弧长公式=，可得结果．
详解：连接OD，
∵∠ABD=30°，
∴∠AOD=2∠ABD=60°，
∴∠BOD=120°，
∴的长== ，
故选：D．
点睛：本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练掌握弧长公式是关键，属于基础题．
4．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC=140°，则∠B的度数是（ ）
A． 70° B． 80° C． 110° D． 140°
【来源】江苏省淮安市2018年中考数学试题
【答案】C
【解析】分析：作对的圆周角∠APC，如图，利用圆内接四边形的性质得到∠P=40°，然后根据圆周角定理求∠AOC的度数．
详解：作对的圆周角∠APC，如图，
∵∠P=∠AOC=×140°=70°
∵∠P+∠B=180°，
∴∠B=180°﹣70°=110°，
故选：C．
点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5．如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
【来源】江苏省无锡市2018年中考数学试题
【答案】C
详解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，
∵G是BC的中点，
∴AG=DG，
∴GH垂直平分AD，
∴点O在HG上，
∵AD∥BC，
∴HG⊥BC，
∴BC与圆O相切；
∵OG=OD，
∴点O不是HG的中点，
∴圆心O不是AC与BD的交点；
而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，
∴AF与DE的交点是圆O的圆心；
∴（1）错误，（2）（3）正确．
故选：C．
点睛：本题考查了三角形外接圆与外心：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点．也考查了切线的判定与矩形的性质．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（ ）
A． 56° B． 62° C． 68° D． 78°
【来源】山东省烟台市2018年中考数学试卷
【答案】B
【解析】分析：由点I是△ABC的内心知∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，从而求得∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．
详解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，
∵∠AIC=124°，
∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）
=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
=180°﹣2（180°﹣∠AIC）
=68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE=∠B=68°，
故选：C．
点睛：本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．
7．正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【来源】湖北省随州市2018年中考数学试卷
【答案】A
【解析】【分析】求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率．
【详解】如图，连接PA、PB、OP，
则S半圆O=，S△ABP=×2×1=1，
由题意得：图中阴影部分的面积=4（S半圆O﹣S△ABP）
=4（﹣1）=2π﹣4，
∴米粒落在阴影部分的概率为，
故选A．
【点睛】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积．
8．如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（ ）
A． ﹣2 B． ﹣2 C． ﹣8 D． ﹣7
【来源】台湾省2018年中考数学试卷
【答案】A
【解析】分析：连接AC，根据线段垂直平分线的性质得到AC=BC，根据勾股定理求出OA，得到答案．
详解：连接AC，
点睛：本题考查的是垂径定理、坐标与图形的性质以及勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．
9．如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A=60°，∠B=100°，BC=4，则扇形BDE的面积为何？（ ）
A． B． C． D．
【来源】台湾省2018年中考数学试卷
【答案】C
点睛：本题考查扇形的面积公式、三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式：S=．
10．如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是（ ）
A． 18+36π B． 24+18π C． 18+18π D． 12+18π
【来源】山东省威海市2018年中考数学试题
【答案】C
【解析】分析：作FH⊥BC于H，连接FH，如图，根据正方形的性质和切线的性质得BE=CE=CH=FH=6，则利用勾股定理可计算出AE=6，通过Rt△ABE≌△EHF得∠AEF=90°，然后利用图中阴影部分的面积=S正方形ABCD+S半圆﹣S△ABE﹣S△AEF进行计算．
点睛：本题考查了正多边形和圆：利用面积的和差计算不规则图形的面积．
11．如图,是⊙的直径,弦⊥于点,,则( )
A． B． C． D．
【来源】湖南省张家界市2018年初中毕业学业考试数学试题
【答案】A
【解析】分析：根据垂径定理可得出CE的长度，在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE的长度，再利用AE=AO+OE即可得出AE的长度．
详解：∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，
∴CE=CD=4cm．
在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，
∴OE==3cm，
∴AE=AO+OE=5+3=8cm．
故选：A．
点睛：本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出OE的长度是解题的关键．
12．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（ ）
A． B． C． D．
【来源】湖北省武汉市2018年中考数学试卷
【答案】B
【详解】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，
∵D为AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴AD=BD=AB=2，
在Rt△OBD中，OD==1，
∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，
∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，
∴，
∴AC=DC，
∴AE=DE=1，
易得四边形ODEF为正方形，
∴OF=EF=1，
在Rt△OCF中，CF==2，
∴CE=CF+EF=2+1=3，
而BE=BD+DE=2+1=3，
∴BC=3，
故选B．
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、切线的性质，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，熟练掌握相关的定理和性质是解题的关键.
13．如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P=36°，则∠B等于（ ）.
【来源】四川省眉山市2018年中考数学试题
【答案】A
【解析】分析：直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，再利用三角形内角和定理得出∠AOP=54°，结合圆周角定理得出答案．
详解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=36°，
∴∠AOP=54°，
∴∠B=27°．
故选：A．
点睛：此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确得出∠AOP的度数是解题关键．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I'的坐标为（ ）
A． （﹣2，3） B． （﹣3，2） C． （3，﹣2） D． （2，﹣3）
【来源】湖北省荆门市2018年中考数学试卷
【答案】A
【解析】【分析】直接利用直角三角形的性质得出其内切圆半径，进而得出I点坐标，再利用旋转的性质得出对应点坐标．
【详解】过点作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E，
∵A（4，0），B（0，3），C（4，3），
∴BC=4，AC=3，
则AB=5，
∵I是△ABC的内心，
∴I到△ABC各边距离相等，等于其内切圆的半径，
∴IF=1，故I到BC的距离也为1，
则AE=1，
故IE=3﹣1=2，
OE=4﹣1=3，
则I（3，2），
∵△ABC绕原点逆时针旋转90°，
∴I的对应点I'的坐标为：（﹣2，3），
故选A．
【点睛】本题考查了直角三角形的内心、旋转的性质，根据直角三角形内心的性质得出其内心I的坐标是解题的关键.
15．如图，在中，，，，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，则的长为
A． B． C． D．
【来源】浙江省宁波市2018年中考数学试卷
【答案】C
【点睛】本题考查了弧长公式的运用和含30度角的直角三角形性质，熟练掌握弧长公式是解题的关键.弧长公式：弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为．
16．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A． B． C． 2 D． 2
【来源】广西钦州市2018年中考数学试卷
【答案】D
【解析】【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
【详解】过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=1，AD=BD=，
∴△ABC的面积为BC•AD==，
S扇形BAC==，
∴莱洛三角形的面积S=3×﹣2×=2π﹣2，
故选D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．
17．⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（ ）
A． 内含 B． 内切 C． 相交 D． 外切
【来源】江苏省徐州巿2018年中考数学试卷
【答案】B
【解析】【分析】根据两圆圆心距与半径之间的数量关系即可判断⊙O1与⊙O2的位置关系．
【详解】∵⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，
则5﹣2=3，
∴⊙O1和⊙O2内切，
故选B．
【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R﹣r＜P＜R+r；内切P=R﹣r；内含P＜R﹣r．
18．已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A． 相交 B． 相切 C． 相离 D． 无法确定
【来源】湖南省湘西州2018年中考数学试卷
【答案】B
【解析】【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，即可判断直线和圆相切．
【详解】∵圆心到直线的距离5cm=5cm，
∴直线和圆相切，
故选B．
【点睛】本题考查了直线与圆的关系，解题的关键是能熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
二、填空题
19．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D=_____度．
【来源】浙江省台州市2018年中考数学试题
【答案】26
【解析】分析：连接OC，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A，根据切线的性质计算即可．
详解：连接OC，
点睛：本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
20．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作当与正方形ABCD的边相切时，BP的长为______．
【来源】浙江省宁波市2018年中考数学试卷
【答案】3或
【解析】【分析】分两种情况：与直线CD相切、与直线AD相切，分别画出图形进行求解即可得.
【详解】如图1中，当与直线CD相切时，设，
在中，，
，
，
，；
如图2中当与直线AD相切时，设切点为K，连接PK，则，四边形PKDC是矩形，
，
，，
在中，，
综上所述，BP的长为3或．
【点睛】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，会用分类讨论的思想思考问题，会利用参数构建方程解决问题是关键．
21．如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D=30°，CD=4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为_____．
【来源】湖北省荆门市2018年中考数学试卷
【答案】
【解析】【分析】连接半径和弦AE，根据直径所对的圆周角是直角得：∠AEB=90°，继而可得AE和BE的长，所以图中弓形的面积为扇形OBE的面积与△OBE面积的差，因为OA=OB，所以△OBE的面积是△ABE面积的一半，可得结论．
【详解】如图，连接OE、AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，∠B=∠D=30°，
∴AE=AB=2，BE==2，
∵OA=OB=OE，
∴∠B=∠OEB=30°，
∴∠BOE=120°，
∴S阴影=S扇形OBE﹣S△BOE
=
=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形的面积计算、平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质等，求出扇形OBE的面积和△ABE的面积是解本题的关键．
22．用一块圆心角为216°的扇形铁皮，做一个高为40cm的圆锥形工件（接缝忽略不计），那么这个扇形铁皮的半径是_____cm．
【来源】山东省聊城市2018年中考数学试题
【答案】50
【解析】
分析：设这个扇形铁皮的半径为Rcm，圆锥的底面圆的半径为rcm，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．和弧长公式得到2πr=，解得r=R，然后利用勾股定理得到402+（R）2=R2，最后解方程即可．
详解：设这个扇形铁皮的半径为Rcm，
圆锥的底面圆的半径为rcm，
根据题意得2πr=，解得r=R，
因为402+（R）2=R2，解得R=50．
所以这个扇形铁皮的半径为50cm．
故答案为50．
点睛：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
23．已知的半径为，，是的两条弦，，，，则弦和之间的距离是__________．
【来源】湖北省孝感市2018年中考数学试题
【答案】2或14
详解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，
∵AB=16cm，CD=12cm，
∴AE=8cm，CF=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴EO=6cm，OF=8cm，
∴EF=OF-OE=2cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，
∵AB=16cm，CD=12cm，
∴AF=8cm，CE=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴OF=6cm，OE=8cm，
∴EF=OF+OE=14cm．
∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．
故答案为：2或14．
点睛：本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．
24．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_____．
【来源】山东省烟台市2018年中考数学试卷
【答案】（-1，-2）
【解析】分析：连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点O的坐标即可．
详解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：
在CB的垂直平分线上找到一点D，
CD═DB=DA=，
所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，
即D的坐标为（﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2），
点睛：此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出圆心位置．
25．如图，点，，，在上，，，，则________．
【来源】北京市2018年中考数学试卷
【答案】70°
【解析】分析：根据=，得到，根据同弧所对的圆周角相等即可得到，根据三角形的内角和即可求出.
详解：∵=，
∴，
∴，
∵，∴．
故答案为：
点睛：考查圆周角定理和三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
26．在Rt△ABC中，AB=1，∠A=60°，∠ABC=90°，如图所示将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为_____．（结果不取近似值）
【来源】湖北省恩施州2018年中考数学试题
【答案】π+．
【解析】分析：先得到∠ACB=30°，BC=，利用旋转的性质可得到点B路径分部分：第一部分为以直角三角形30°的直角顶点为圆心，为半径，圆心角为150°的弧长；第二部分为以直角三角形60°的直角顶点为圆心，1为半径，圆心角为120°的弧长，第三部分为△ABC的面积；然后根据扇形的面积公式计算点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积．
详解：∵Rt△ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，
∴∠ACB=30°，BC=，
将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，点B路径分部分：第一部分为以直角三角形30°的直角顶点为圆心，为半径，圆心角为150°的弧长；第二部分为以直角三角形60°的直角顶点为圆心，1为半径，圆心角为120°的弧长；第三部分为△ABC的面积.
∴点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积
=．
故答案为．
点睛：本题考查了轨迹：利用特殊几何图形描述点运动的轨迹，然后利用几何性质计算相应的几何量．
27．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是________.
【来源】四川省眉山市2018年中考数学试题
【答案】
点睛：本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．
28．如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B'上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为_____．
【来源】江苏省泰州市2018年中考数学试题
【答案】或
【解析】分析：分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，
详解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，连接PQ．
设PQ=PA′=r，
∵PQ∥CA′，
∴，
∴，
∴r=．
如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，易证A′、B′、T共线，
∵△A′BT∽△ABC，
∴，
∴，
∴A′T=，
∴r=A′T=．
综上所述，⊙P的半径为或．
点睛：本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
29．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是_____．
【来源】浙江省湖州市2018年中考数学试题
【答案】70°
【解析】分析：先根据三角形内心的性质和切线的性质得到OB平分∠ABC，OD⊥BC，则∠OBD=∠ABC=20°，然后利用互余计算∠BOD的度数．
详解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，
∴OB平分∠ABC，OD⊥BC，
∴∠OBD=∠ABC=×40°=20°，
∴∠BOD=90°-∠OBD=70°．
故答案为70°．
点睛：本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆．
30．如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为__．
【来源】山东省威海市2018年中考数学试题
【答案】135°．
【解析】分析：如图，连接EC．首先证明∠AEC=135°，再证明△EAC≌△EAB即可解决问题.
详解：如图，连接EC．
点睛：本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
31．已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点F，C是⊙O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC=60°，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为点D．
（1）求扇形OBC的面积（结果保留）；
（2）求证：CD是⊙O的切线．
【来源】湖南省怀化市2018年中考数学试题
【答案】（1）S扇形OBC=；（2）证明见解析.
【解析】分析：（1）由扇形的面积公式即可求出答案．
（2）易证∠FAC=∠ACO，从而可知AD∥OC，由于CD⊥AF，所以CD⊥OC，所以CD是⊙O的切线．
详解：（1）∵AB=4，
∴OB=2
∵∠COB=60°，
∴S扇形OBC=.
（2）∵AC平分∠FAB，
∴∠FAC=∠CAO，
∵AO=CO，
∴∠ACO=∠CAO
∴∠FAC=∠ACO
∴AD∥OC，
∵CD⊥AF，
∴CD⊥OC
∵C在圆上，
∴CD是⊙O的切线
点睛：本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用扇形面积公式以及切线的判定方法，本题属于中等题型．
32．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D．已知⊙O的半径为6，∠C=40°．
（1）求∠B的度数．
（2）求 的长．（结果保留π）
【来源】吉林省长春市2018年中考数学试卷
【答案】(1)50°;(2).
【解析】【分析】（1）根据切线的性质求出∠A=90°，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据圆周角定理求出∠AOD，根据弧长公式求出即可．
【详解】（1）∵AC切⊙O于点A，
∠BAC=90°，
∵∠C=40°，
∴∠B=50°；
（2）如图，连接OD，
∵∠B=50°，
∴∠AOD=2∠B=100°，
∴的长为．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、弧长公式等，熟练掌握切线的性质、圆周角定理以及弧长公式等知识是解题的关键.
33．已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．
【来源】湖南省郴州市2018年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】【分析】（1）先求出∠ABC=30°，进而求出∠BAD=120°，即可求出∠OAB=30°，结论得证；
（2）先求出∠AOC=60°，用三角函数求出AM，再用垂径定理即可得出结论．
（2）连接OA，∵∠AEC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵BC⊥AE于M，
∴AE=2AM，∠OMA=90°，
在Rt△AOM中，AM=OA•sin∠AOM=4×sin60°=2，
∴AE=2AM=4．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，锐角三角函数，三角形内角和定理，圆周角定理等，熟练掌握和运用相关的定理与性质是解本题的关键．
34．如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．
（1）求证：∠CAD=∠BDC；
（2）若BD=AD，AC=3，求CD的长．
【来源】山东省东营市2018年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）CD=2．
【解析】分析：（1）连接OD，由OB=OD可得出∠OBD=∠ODB，根据切线的性质及直径所对的圆周角等于180°，利用等角的余角相等，即可证出∠CAD=∠BDC；
（2）由∠C=∠C、∠CAD=∠CDB可得出△CDB∽△CAD，根据相似三角形的性质结合BD=AD、AC=3，即可求出CD的长．
详（1）证明：连接OD，如图所示．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．
∵CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，
∴∠ODB+∠BDC=90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠OBD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BDC．
（2）∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB，
∴△CDB∽△CAD，
∴．
∵BD=AD，
∴，
∴，
又∵AC=3，
∴CD=2．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定义以及切线的性质，解题的关键是：（1）利用等角的余角相等证出∠CAD=∠BDC；（2）利用相似三角形的性质找出．
35．如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，∠AC平分∠BAD，连接BF．
（1）求证：AD⊥ED；
（2）若CD=4，AF=2，求⊙O的半径．
【来源】云南省昆明市2018年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为．
【解析】分析：（1）连接OC，如图，先证明OC∥AD，然后利用切线的性质得OC⊥DE，从而得到AD⊥ED；
（2）OC交BF于H，如图，利用圆周角定理得到∠AFB=90°，再证明四边形CDFH为矩形得到FH=CD=4，∠CHF=90°，利用垂径定理得到BH=FH=4，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径．
详（1）证明：连接OC，如图，
∵AC平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OC∥AD，
∵ED切⊙O于点C，
∴OC⊥DE，
∴AD⊥ED；
点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和圆周角定理．
36．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D在上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE为菱形．
（1）求证：AC=CE；
（2）求证：BC2﹣AC2=AB•AC；
（3）已知⊙O的半径为3．
①若=，求BC的长；
②当为何值时，AB•AC的值最大？
【来源】浙江省台州市2018年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①BC=4；②
【解析】分析：（1）由菱形知∠D=∠BEC，由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC，据此得证；
（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG=AC=CE=CD，证△BEF∽△BGA得，即BF•BG=BE•AB，将BF=BC-CF=BC-AC、BG=BC+CG=BC+AC代入可得；
（3）①设AB=5k、AC=3k，由BC2-AC2=AB•AC知BC=2k，连接ED交BC于点M，Rt△DMC中由DC=AC=3k、MC=BC=k求得DM==k，可知OM=OD-DM=3-k，在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2可得答案．②设OM=d，则MD=3-d，MC2=OC2-OM2=9-d2，继而知BC2=（2MC）2=36-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=（3-d）2+9-d2，由（2）得AB•AC=BC2-AC2，据此得出关于d的二次函数，利用二次函数的性质可得答案．
详解：（1）∵四边形EBDC为菱形，
∴∠D=∠BEC，
∵四边形ABDC是圆的内接四边形，
∴∠A+∠D=180°，
又∠BEC+∠AEC=180°，
∴∠A=∠AEC，
∴AC=CE；
（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG，
由（1）知AC=CE=CD，
∴CF=CG=AC，
∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形，
∴∠G+∠AEF=180°，
又∵∠AEF+∠BEF=180°，
∴∠G=∠BEF，
∵∠EBF=∠GBA，
∴△BEF∽△BGA，
∴，即BF•BG=BE•AB，
∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC，BE=CE=AC，
∴（BC﹣AC）（BC+AC）=AB•AC，即BC2﹣AC2=AB•AC；
（3）设AB=5k、AC=3k，
∵BC2﹣AC2=AB•AC，
∴BC=2k，
连接ED交BC于点M，
∵四边形BDCE是菱形，
∴DE垂直平分BC，
则点E、O、M、D共线，
在Rt△DMC中，DC=AC=3k，MC=BC=k，
∴DM=，
∴OM=OD﹣DM=3﹣k，
在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2得（3﹣k）2+（k）2=32，
解得：k=或k=0（舍），
∴BC=2k=4；
点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点．
37．如图1，直线l：与x轴交于点，与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点以点A为圆心，AC长为半径作交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交于点F．
求直线l的函数表达式和的值；
如图2，连结CE，当时，
求证：∽；
求点E的坐标；
当点C在线段OA上运动时，求的最大值．
【来源】浙江省宁波市2018年中考数学试卷
【答案】（1）直线l的函数表达式，；证明见解析；E； 最大值为．
【解析】【分析】利用待定系数法求出b即可得出直线l表达式，即可求出OA，OB，即可得出结论；
先判断出，进而得出，即可得出结论；
设出，，进而得出点E坐标，即可得出OE的平方，再根据的相似得出比例式得出OE的平方，建立方程即可得出结论；
利用面积法求出OG，进而得出AG，HE，再构造相似三角形，即可得出结论．
【详解】（1）直线l：与x轴交于点，
，
，
直线l的函数表达式，
，
，，
在中，；
如图2，连接DF，，
，
，
，
，
四边形CEFD是的圆内接四边形，
，
，
，
∽，
过点于M，
由知，，
设，则，
，，
，，
，
由知，∽，
，
，
，
，
，
舍或，
，，
；
如图，设的半径为r，过点O作于G，
，，
，，
，
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理等，熟练掌握相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，运用数理结合思想，正确添加辅助线进行图形构建是解本题的关键．
38．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，AD交⊙O于F，FM⊥AB于H，分别交⊙O、AC于M、N，连接MB，BC．
（1）求证：AC平分∠DAE；
（2）若cosM=，BE=1，①求⊙O的半径；②求FN的长．
【来源】湖北省荆门市2018年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）①⊙O的半径为4；②FN=．
【解析】【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得OC⊥DE，则判断OC∥AD得到∠1=∠3，加上∠2=∠3，从而得到∠1=∠2；
（2）①利用圆周角定理和垂径定理得到，则∠COE=∠FAB，所以∠FAB=∠M=∠COE，设⊙O的半径为r，然后在Rt△OCE中利用余弦的定义得到，从而解方程求出r即可；
②连接BF，如图，先在Rt△AFB中利用余弦定义计算出AF=，再计算出OC=3，接着证明△AFN∽△AEC，然后利用相似比可计算出FN的长．
【详解】（1）连接OC，如图，
∵直线DE与⊙O相切于点C，
∴OC⊥DE，
又∵AD⊥DE，
∴OC∥AD．
∴∠1=∠3
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AC平方∠DAE；
（2）①∵AB为直径，
∴∠AFB=90°，
而DE⊥AD，
∴BF∥DE，
∴OC⊥BF，
∴，
∴∠COE=∠FAB，
而∠FAB=∠M，
∴∠COE=∠M，
设⊙O的半径为r，
在Rt△OCE中，cos∠COE=，即，解得r=4，
即⊙O的半径为4；
②连接BF，如图，
在Rt△AFB中，cos∠FAB=，
∴AF=8×，
在Rt△OCE中，OE=5，OC=4，
∴CE=3，
∵AB⊥FM，
∴，
∴∠5=∠4，
∵FB∥DE，
∴∠5=∠E=∠4，
∵，
∴∠1=∠2，
∴△AFN∽△AEC，
∴，即，
∴FN=．
【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线、熟练应用相关的性质与定理是解题的关键.
39．如图，中，，以为直径的交于点，交于点，过点作于点，交的延长线于点.
（1）求证：是的切线；
（2）已知，，求和的长.
【来源】湖北省孝感市2018年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）
详解：（1）如图，连接OD，AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
又∵OA=OB，
∴OD∥AC，
∵DG⊥AC，
∴OD⊥FG，
∴直线FG与⊙O相切，即DF是⊙O的切线；
（2）如图，连接BE．∵BD=2，
∴CD＝BD＝2，
∵CF=2，
∴DF==4，
∴BE=2DF=8，
∵cos∠C=cos∠ABC，
∴，
∴，
∴AB=10，
∴AE=，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥GF，
∴△AEB∽△AFG，
∴，
∴，
∴BG=．
点睛：本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及中位线定理等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
40．已知：如图，以等边△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC交AC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若等边△ABC的边长为8，求由、DF、EF围成的阴影部分面积．
【来源】四川省达州市2018年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】分析：（1）连接CD、OD，先利用等腰三角形的性质证AD=BD，再证OD为△ABC的中位线得DO∥AC，根据DF⊥AC可得；
（2）连接OE、作OG⊥AC，求出EF、DF的长及∠DOE的度数，根据阴影部分面积=S梯形EFDO-S扇形DOE计算可得．
详解：（1）如图，连接CD、OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，
又∵△ABC是等边三角形，
∴AD=BD，
∵BO=CO，
∴DO是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线；
（2）连接OE、作OG⊥AC于点G，
∴∠OGF=∠DFG=∠ODF=90°，
∴四边形OGFD是矩形，
∴FG=OD=4，
∵OC=OE=OD=OB，且∠COE=∠B=60°，
∴△OBD和△OCE均为等边三角形，
点睛：本题主要考查了切线的判定与性质，等边三角形的性质，垂径定理等知识．判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，再证直线和半径的夹角为90°即可．注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长．
41．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为2.5，BE=4，求BC，AD的长．
【来源】山东省聊城市2018年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）BC=，AD=．
【解析】分析：（1）连接OE，由OB=OE知∠OBE=∠OEB、由BE平分∠ABC知∠OBE=∠CBE，据此得∠OEB=∠CBE，从而得出OE∥BC，进一步即可得证；
（2）证△BDE∽△BEC得，据此可求得BC的长度，再证△AOE∽△ABC得，据此可得AD的长．
详解：（1）如图，连接OE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE=∠CBE，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
又∵∠C=90°，
∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，
∴AC为⊙O的切线；
（2）∵ED⊥BE，
∴∠BED=∠C=90°，
又∵∠DBE=∠EBC，
∴△BDE∽△BEC，
∴，即，
∴BC=；
∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△AOE∽△ABC，
∴，即，
解得：AD=．
点睛：本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质．
42．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．
（1）求证：MD=MC；
（2）若⊙O的半径为5，AC=4，求MC的长．
【来源】湖北省随州市2018年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）MC=.
【解析】【分析】（1）连接OC，利用切线的性质证明即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
【详解】（1）连接OC，
∵CN为⊙O的切线，
∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°，
∵OM⊥AB，
∴∠OAC+∠ODA=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠ACM=∠ODA=∠CDM，
∴MD=MC；
（2）由题意可知AB=5×2=10，AC=4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC==2，
∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，
∴△AOD∽△ACB，
∴，即，
可得：OD=2.5，
设MC=MD=x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52，
解得：x=，
即MC=．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，准确添加辅助线，正确寻找相似三角形是解决问题的关键.
43．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠B=50°，AC=4.8，求图中阴影部分的面积．
【来源】江苏省淮安市2018年中考数学试题
【答案】（1）直线DE与⊙O相切．理由见解析；（2）图中阴影部分的面积为4.8﹣π．
详解：（1）直线DE与⊙O相切．理由如下：
连接OE、OD，如图，
∵AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，
∴OE∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠3，
∵OB=OD，
∴∠B=∠3，
∴∠1=∠2，
在△AOE和△DOE中
，
∴△AOE≌△DOE，
∴∠ODE=∠OAE=90°，
∴OA⊥AE，
∴DE为⊙O的切线；
（2）∵点E是AC的中点，
∴AE=AC=2.4，
∵∠AOD=2∠B=2×50°=100°，
∴图中阴影部分的面积=2××2×2.4﹣．
点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．
44．如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点，连接AC、BC．将△ABC沿AB翻折后得到△ABD．
（1）试说明点D在⊙O上；
（2）在线段AD的延长线上取一点E，使AB2=AC·AE.求证：BE为⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，分别延长线段AE、CB相交于点F，若BC=2，AC=4，求线段EF的长.
【来源】江苏省盐城市2018年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=
【解析】分析：（1）由翻折知△ABC≌△ABD，得∠ADB=∠C=90°，据此即可得；
（2）由AB=AD知AB2=AD•AE，即，据此可得△ABD∽△AEB，即可得出∠ABE=∠ADB=90°，从而得证；
（3）由知DE=1、BE=，证△FBE∽△FAB得，据此知FB=2FE，在Rt△ACF中根据AF2=AC2+CF2可得关于EF的一元二次方程，解之可得．
详解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵将△ABC沿AB翻折后得到△ABD，
∴△ABC≌△ABD，
∴∠ADB=∠C=90°，
∴点D在以AB为直径的⊙O上；
（2）∵△ABC≌△ABD，
∴AC=AD，
∵AB2=AC•AE，
∴AB2=AD•AE，即，
∵∠BAD=∠EAB，
∴△ABD∽△AEB，
∴∠ABE=∠ADB=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴BE是⊙O的切线；
（3）∵AD=AC=4、BD=BC=2，∠ADB=90°，
∴AB=，
∵，
∴，
解得：DE=1，
∴BE=，
∵四边形ACBD内接于⊙O，
∴∠FBD=∠FAC，即∠FBE+∠DBE=∠BAE+∠BAC，
又∵∠DBE+∠ABD=∠BAE+∠ABD=90°，
∴∠DBE=∠BAE，
∴∠FBE=∠BAC，
点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、翻折的性质、圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．
45．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交斜边AC于点D，过圆心O作OE∥AC，交BC于点E，连接DE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）求证：2DE2=CD•OE；
（3）若tanC=，DE=，求AD的长．
【来源】四川省内江市2018年中考数学试题
【答案】（1）DE是⊙O的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】分析：（1）先判断出DE=BE=CE，得出∠DBE=∠BDE，进而判断出∠ODE=90°，即可得出结论；
（2）先判断出△BCD∽△ACB，得出BC2=CD•AC，再判断出DE=BC，AC=2OE，即可得出结论；
（3）先求出BC，进而求出BD，CD，再借助（2）的结论求出AC，即可得出结论．
详解：（1）DE是⊙O的切线，理由：如图，
连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
∵OE∥AC，OA=OB，
∴BE=CE，
∴DE=BE=CE，
∴∠DBE=∠BDE，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵∠BCD=∠ABC=90°，∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB，
∴，
∴BC2=CD•AC，
由（1）知DE=BE=CE=BC，
∴4DE2=CD•AC，
由（1）知，OE是△ABC是中位线，
∴AC=2OE，
∴4DE2=CD•2OE，
∴2DE2=CD•OE；
（3）∵DE=，
∴BC=5，
在Rt△BCD中，tanC=，
设CD=3x，BD=4x，根据勾股定理得，（3x）2+（4x）2=25，
∴x=-1（舍）或x=1，
∴BD=4，CD=3，
由（2）知，BC2=CD•AC，
∴AC=，
∴AD=AC-CD=-3=．
点睛：此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出△BCD∽△ACB是解本题的关键．
46．如图，AB为⊙O直径，P点为半径OA上异于O点和A点的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，OE∥AD交BE于E点，连接AE、DE、AE交CD于F点．
（1）求证：DE为⊙O切线；
（2）若⊙O的半径为3，sin∠ADP=，求AD；
（3）请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明．
【来源】湖北省恩施州2018年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）2；（3）PF=FD，证明见解析.
详证明：（1）如图1，连接OD、BD，BD交OE于M，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，AD⊥BD，
∵OE∥AD，
∴OE⊥BD，
∴BM=DM，
∵OB=OD，
∴∠BOM=∠DOM，
∵OE=OE，
∴△BOE≌△DOE（SAS），
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∴DE为⊙O切线；
（2）设AP=a，
∵sin∠ADP=，
∴AD=3a，
∴PD=，
∵OP=3-a，
∴OD2=OP2+PD2，
∴32=（3-a）2+（2a）2，
9=9-6a+a2+8a2，
a1=，a2=0（舍），
当a=时，AD=3a=2，
∴AD=2；
（3）PF=FD，
理由是：∵∠APD=∠ABE=90°，∠PAD=∠BAE，
∴△APF∽△ABE，
∴，
∴PF=，
∵OE∥AD，
∴∠BOE=∠PAD，
∵∠OBE=∠APD=90°，
∴△ADP∽△OEB，
∴，
∴PD=，
∵AB=2OB，
∴PD=2PF，
∴PF=FD．
点睛：本题考查了圆的综合问题，熟练掌握切线的判定，锐角三角函数，圆周角定理，垂径定理等知识点的应用，难度适中，连接BD构造直角三角形是解题的关键．
47．如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若OC=3，AC=4，求sinE的值．
【来源】新疆自治区2018年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】分析：（1）要证明是圆的切线，须证明过切点的半径垂直，所以连接OB，证明OB⊥PE即可．
（2）要求sinE，首先应找出∠E所在的直角三角形，然后利用直角三角函数求解即可．而sinE既可放在直角三角形EAP中，也可放在直角三角形EBO中，所以利用相似三角形的性质求出EP或EO的长即可解决问题
详解：（1）证明：连接OB
∵PO⊥AB，
∴AC=BC，
∴PA=PB,
在△PAO和△PBO中
,
∴△PAO和≌△PBO，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∴PB是⊙O的切线．
（2）连接BD，则BD∥PO，且BD=2OC=6
在Rt△ACO中，OC=3，AC=4
∴AO=5
在△EPO与△EBD中，
BD∥PO
∴△EPO∽△EBD
∴，
解得EB=，PE=，
∴sinE=.
点睛：本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质．能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键．
48．如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM．
（1）若半圆的半径为10．
①当∠AOM=60°时，求DM的长；
②当AM=12时，求DM的长．
（2）探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【来源】2018年湖南省湘潭市中考数学试卷
【答案】（1）①10，②；（2）∠DMC的大小是定值，45°
【解析】分析：（1）①当时，所以△AMO是等边三角形，从而可知∠MOD=30°，∠D=30°，所以DM=OM=10；
②过点M作MF⊥OA于点F，设AF=x， 利用勾股定理即可求出x的值．易证明△AMF∽△ADO，从而可知AD的长度，进而可求出MD的长度．
（2）根据点M的位置分类讨论，然后利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求出答案．
详解：（1）①当∠AOM=60°时，
∵
∴△AMO是等边三角形，
∴∠A=∠MOA=60°，
∴∠MOD=30°，∠D=30°，
∴DM=OM=10
②过点M作MF⊥OA于点F，
设
∴
∵
（2）当点M位于之间时，
连接BC，
∵C是的中点，
∴∠B=45°，
∵四边形AMCB是圆内接四边形，
此时∠CMD=∠B=45°，
当点M位于之间时，
连接BC，
由圆周角定理可知：∠CMD=∠B=45°
综上所述，∠CMD=45°
点睛：本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形性质，解方程等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．
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