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2021年广东省东莞市可园中学中考数学一模试卷（含答案）
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这是一份2021年广东省东莞市可园中学中考数学一模试卷（含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年广东省东莞市可园中学中考数学一模试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列实数中，无理数是（ ）
A．0 B．﹣4 C． D．
2．（3分）如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（ ）
A．仅主视图不同
B．仅俯视图不同
C．仅左视图不同
D．主视图、左视图和俯视图都相同
3．（3分）中国信息通信研究院指出5G对经济社会发展的影响力开始显现，据统计2020年5G将直接带动经济总产出约为8109亿元．将810 900 000 000用科学记数法表示应为（ ）
A．8.109×1010 B．8.109×1011
C．81.09×1010 D．0.8109×1012
4．（3分）不等式组的解集在数轴表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）若一个多边形的每个内角都等于108°，则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
6．（3分）若一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥4 B．m≤4 C．m＞4 D．m＜4
7．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，且AD：DB＝1：2，则△ADE与△ABC的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝70°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
9．（3分）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5cm，且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长为（ ）
A．18 B．25 C．32 D．36
10．（3分）如图，CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E，连接AC、BE、DO、DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF：BE＝2：3；④S四边形AFOE：S△COD＝2：3．其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①② D．②③④
二.填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）分解因式：1﹣16n2＝ ．
12．（4分）若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
13．（4分）抛物线y＝2（x+1）2﹣6向右平移一个单位后，得到的解析式为 ．
14．（4分）据2020年3月16日中央电视台“战疫情•看数据变化”报道，截止3月15日24时止的前八天，31个省市和新疆生产建设兵团报告新增确诊病例数（单位：例）如表：
3月8日
3月9日
3月10日
3月11日
3月12日
3月13日
3月14日
3月15日
40
18
24
15
8
11
20
16
这组数据的中位数是 ．
15．（4分）计算：20210+＝ ．
16．（4分）尺规作图要求：
a、过直线外一点作这条直线的垂线；
b、作线段的垂直平分线；
c、过直线上一点作这条直线的垂线；
d、作角的平分线．
其中与a、b、c、d四个作图要求依次对应的图形是 ．（填序号）
17．（4分）如图，线段AB是直线y＝5x+1的一部分，点A的坐标为（0，1），点B的纵坐标是6，曲线BC是双曲线y＝的一部分，点C的横坐标是6．由点C开始，不断重复曲线“A﹣B﹣C”，形成一组波浪线．已知点P（18，m），Q（21，n）均在该组波浪线上，分别过点P，Q向x轴作垂线段，垂足分别为D和E，则四边形PDEQ的面积是 ．
三.解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）先化简，再求值：（）÷，其中x＝﹣1．
19．（6分）如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于点P．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求∠AOB的度数．
20．（6分）2020年春季在新冠疫情的背景下，全国各大中小学纷纷开设空中课堂，学生要面对电脑等电子产品上网课，某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到同性别学生的概率．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）学校为表彰在“了不起我的国”演讲比赛中获奖的选手，决定购买甲、乙两种图书作为奖品．已知购买30本甲种图书，50本乙种图书共需1350元；购买50本甲种图书，30本乙种图书共需1450元．
（1）求甲、乙两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校要求购买甲、乙两种图书共40本，且甲种图书的数量不少于乙种图书数量的，请设计最省钱的购书方案．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4），B（2，0），交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最大值．
23．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，CB⊥AB，CD切圆O于点D，连AC，BD，AC与BD交于点M．
（1）求证：AD∥OC；
（2）若CD＝3，AD＝2，求的值．
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
24．（9分）如图1，二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（﹣2，0），B（3，0），交y轴于点C，P是第一象限内二次函数图象上的动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）过点P作PQ⊥x轴于点Q，若以点P、A、Q为顶点的三角形与△BOC相似，求点P的坐标；
（3）如图2．连接AP，交直线BC于点D，当点D是线段BC的三等分点时，求tan∠ADC的值．
25．（9分）如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A（6，0），C（0，2），将矩形OABC绕点O逆时针旋转得到矩形ODEF，使得点A的对应点D恰好落在对角线OB上，OE交BC于点G．
（1）求证：△BGO是等腰三角形；
（2）求点E的坐标；
（3）如图2，矩形ODEF从点O出发，沿OB方向移动，得到矩形O′D′E′F′，当移动到点O′与点B重合时，停止运动，设矩形O'D'E′F′与△OBC重叠部分的面积为y，OO′＝x，求y关于x的函数关系式．
2021年广东省东莞市可园中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列实数中，无理数是（ ）
A．0 B．﹣4 C． D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此解答即可．
【解答】解：0，﹣4是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；无理数是．
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（3分）如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（ ）
A．仅主视图不同
B．仅俯视图不同
C．仅左视图不同
D．主视图、左视图和俯视图都相同
【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：解法一：从正面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故主视图相同；
从左面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故左视图相同；
从上面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故俯视图相同．
解法二：第一个几何体的三视图如图所示
第二个几何体的三视图如图所示：
观察可知这两个几何体的主视图、左视图和俯视图都相同，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的意义是解题关键．
3．（3分）中国信息通信研究院指出5G对经济社会发展的影响力开始显现，据统计2020年5G将直接带动经济总产出约为8109亿元．将810 900 000 000用科学记数法表示应为（ ）
A．8.109×1010 B．8.109×1011
C．81.09×1010 D．0.8109×1012
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：810 900 000 000＝8.109×1011，
故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）不等式组的解集在数轴表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x+1≤3，得：x≤2，
解不等式﹣2x﹣6＜﹣4，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5．（3分）若一个多边形的每个内角都等于108°，则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【分析】根据多边形的内角和公式列式计算即可得解．
【解答】解：设这个多边形是n边形，
由题意得，（n﹣2）•180°＝108°•n，
解得n＝5，
所以，这个多边形是五边形．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的外角是解题的关键．
6．（3分）若一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥4 B．m≤4 C．m＞4 D．m＜4
【分析】计算根的判别式△，由题意得不等式，求解即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个不相同的实数根，
∴Δ＝16﹣4m＞0
解得m＜4．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，题目比较简单，根的判别式Δ＝b2﹣4ac．
7．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，且AD：DB＝1：2，则△ADE与△ABC的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【解答】解：∵AD：DB＝1：2，
∴AD：AB＝1：3，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
8．（3分）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝70°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【分析】连接OC，由AO∥DC，得出∠ODC＝∠AOD＝70°，再由OD＝OC，得出∠ODC＝∠OCD＝70°，求得∠COD＝40°，进一步得出∠AOC，进一步利用圆周角定理得出∠B的度数即可．
【解答】解：如图，
连接OC，
∵AO∥DC，
∴∠ODC＝∠AOD＝70°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝70°，
∴∠COD＝40°，
∴∠AOC＝110°，
∴∠B＝∠AOC＝55°．
故选：D．
【点评】此题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，圆周角定理，正确作出辅助线是解决问题的关键．
9．（3分）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5cm，且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长为（ ）
A．18 B．25 C．32 D．36
【分析】根据tan∠EFC＝，设CE＝3k，在Rt△EFC中可得CF＝4k，EF＝DE＝5k，由∠BAF＝∠EFC，由三角函数的知识求出AF，在Rt△AEF中由勾股定理求出k，代入可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
由折叠的性质得：∠AFE＝∠D＝90°，EF＝ED，AF＝AD，
∴tan∠EFC＝＝，
设CE＝3k，则CF＝4k，
由勾股定理得DE＝EF＝＝5k，
∴DC＝AB＝8k，
∵∠AFB+∠BAF＝90°，∠AFB+∠EFC＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC，
∴tan∠BAF＝＝tan∠EFC＝，
∴BF＝6k，AF＝BC＝AD＝10k，
在Rt△AFE中，由勾股定理得AE＝＝＝5k＝5，
解得：k＝1，
∴矩形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2（8k+10k）＝36（cm），
故选：D．
【点评】此题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、三角函数定义等知识，解答本题关键是根据三角函数定义，表示出每条线段的长度，然后利用勾股定理进行解答．
10．（3分）如图，CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E，连接AC、BE、DO、DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF：BE＝2：3；④S四边形AFOE：S△COD＝2：3．其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①② D．②③④
【分析】根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵EC垂直平分AB，
∴OA＝OB＝AB＝DC，CD⊥CE，
∵OA∥DC，
∴，
∴AE＝AD，OE＝OC，
∵OA＝OB，OE＝OC，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵AB⊥EC，
∴四边形ACBE是菱形，故①正确，
∵∠DCE＝90°，DA＝AE，
∴AC＝AD＝AE，
∴∠ACD＝∠ADC＝∠BAE，故②正确，
∵OA∥CD，
∴＝＝，
∴＝＝，故③错误，
设△AOF的面积为a，则△OFC的面积为2a，△CDF的面积为4a，△AOC的面积＝△AOE的面积＝3a，
∴四边形AFOE的面积为4a，△ODC的面积为6a，
∴S四边形AFOE：S△COD＝2：3．故④正确，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
二.填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）分解因式：1﹣16n2＝ （1﹣4n）（1+4n） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案．
【解答】解：1﹣16n2＝（1﹣4n）（1+4n）．
故答案为：（1﹣4n）（1+4n）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
12．（4分）若代数式有意义，则x的取值范围是 x≠ ．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0，列式计算即可．
【解答】解：由题意得，1﹣2x≠0，
解得x≠，
故答案为：x≠．
【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于0是解题的关键．
13．（4分）抛物线y＝2（x+1）2﹣6向右平移一个单位后，得到的解析式为 y＝2x2﹣6 ．
【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答．
【解答】解：抛物线y＝2（x+1）2﹣6向右平移一个单位后，得到的解析式为：y＝2（x+1﹣1）2﹣6，即y＝2x2﹣6．
故答案为y＝2x2﹣6．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
14．（4分）据2020年3月16日中央电视台“战疫情•看数据变化”报道，截止3月15日24时止的前八天，31个省市和新疆生产建设兵团报告新增确诊病例数（单位：例）如表：
3月8日
3月9日
3月10日
3月11日
3月12日
3月13日
3月14日
3月15日
40
18
24
15
8
11
20
16
这组数据的中位数是 17 ．
【分析】要求中位数，是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的两个数的平均数．
【解答】解：按从小到大的顺序排列8，11，15，16，18，20，24，40，最中间的两个数是16，18，
故这组数据的中位数为（16+18）÷2＝17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
15．（4分）计算：20210+＝ ﹣2 ．
【分析】利用零指数幂、负指数幂及乘方的运算法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝1+3﹣6
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了实数的相关运算，解题关键是熟练运用零指数幂、负指数幂及乘方的运算法则．
16．（4分）尺规作图要求：
a、过直线外一点作这条直线的垂线；
b、作线段的垂直平分线；
c、过直线上一点作这条直线的垂线；
d、作角的平分线．
其中与a、b、c、d四个作图要求依次对应的图形是 ②③④① ．（填序号）
【分析】根据基本作图进行判断．
【解答】解：a，过直线外一点作这条直线的垂线，如图②；
b，作线段的垂直平分线，如图③；
c、过直线上一点作这条直线的垂线，如图④；
d、作角的平分线．如图①．
故答案为②③④①．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
17．（4分）如图，线段AB是直线y＝5x+1的一部分，点A的坐标为（0，1），点B的纵坐标是6，曲线BC是双曲线y＝的一部分，点C的横坐标是6．由点C开始，不断重复曲线“A﹣B﹣C”，形成一组波浪线．已知点P（18，m），Q（21，n）均在该组波浪线上，分别过点P，Q向x轴作垂线段，垂足分别为D和E，则四边形PDEQ的面积是 ．
【分析】A，C之间的距离为6，点Q与点P的水平距离为3，进而得到A，B之间的水平距离为1，且k＝6，根据四边形PDEQ的面积为＝，即可得到四边形PDEQ的面积．
【解答】解：A，C之间的距离为6，
18÷6＝3，故点P离x轴的距离与点A离x轴的距离相同，
∴点P离x轴的距离为1，
∴m＝1，
21﹣18＝3，故点Q与点P的水平距离为3，
在y＝5x+1中，当y＝6时，x＝1，即点B（1，6）
∵6＝，
解得k＝6，
∴双曲线y＝，
把x＝3代入得y＝2，
即点Q离x轴的距离为2，
四边形PDEQ的面积是＝．
故答案为．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征以及一次函数的性质，解题时注意：四边形PDEQ为梯形，依据梯形的面积公式即可得到其面积．
三.解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）先化简，再求值：（）÷，其中x＝﹣1．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•＝x+2，
当x＝﹣1时，原式＝﹣1+2＝1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（6分）如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于点P．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求∠AOB的度数．
【分析】（1）利用“边角边”证明△BCD和△ACE全等，可得AE＝BD；
（2）利用（1）中全等三角形的性质可得：∠CAE＝∠CBD，根据“八字型”证明∠AOP＝∠PCB＝60°即可．
【解答】证明：（1）∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE
即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD；
（2）解：由（1）知，△ACE≌△BCD（SAS），则∠CAE＝∠CBD，
∵∠APC＝∠BPO，
∴∠BOP＝∠ACP＝60°，即∠AOB＝60°．
【点评】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
20．（6分）2020年春季在新冠疫情的背景下，全国各大中小学纷纷开设空中课堂，学生要面对电脑等电子产品上网课，某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到同性别学生的概率．
【分析】（1）先由“不重视”的学生人数和所占百分比求出调查总人数，再用总人数乘以“重视”的人数所占的百分比，即可补全条形统计图；
（2）画树状图，共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）调查的学生人数为16÷20%＝80（人），
“重视”的人数为80×30%＝24（人），补全条形统计图如图：
（2）根据题意画树状图如下：
共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4个，
∴恰好抽到同性别学生的概率为＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了扇形统计图和条形统计图以及样本估计总体．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）学校为表彰在“了不起我的国”演讲比赛中获奖的选手，决定购买甲、乙两种图书作为奖品．已知购买30本甲种图书，50本乙种图书共需1350元；购买50本甲种图书，30本乙种图书共需1450元．
（1）求甲、乙两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校要求购买甲、乙两种图书共40本，且甲种图书的数量不少于乙种图书数量的，请设计最省钱的购书方案．
【分析】（1）首先设甲种图书的单价为x元，乙种图书的单价为y元，由题意得等量关系：30本甲种图书的花费+50本乙种图书的花费＝1350元；50本甲种图书的花费+30本乙种图书的花费＝1450元，根据等量关系列出方程，再解即可；
（2）设购买甲种图书a本，则购买乙种图书（40﹣a）本，由题意得不等关系：甲种图书的数量≥乙种图书数量的，然后列出不等式，再求解即可．
【解答】解：（1）设甲种图书的单价为x元，乙种图书的单价为y元，由题意得：
，
解得：，
答：甲种图书的单价为20元，乙种图书的单价为15元；
（2）设购买甲种图书a本，则购买乙种图书（40﹣a）本，
由题意得：a≥（40﹣a），
解得：a≥17，
∵甲种图书价格高，
∴省钱的购书方案是少买甲图书，多买乙种图书，
∵a为整数，
∴a的最小整数解为18，
则40﹣18＝22，
答：最省钱的购书方案是购买甲种图书18本，购买乙种图书22本．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4），B（2，0），交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最大值．
【分析】（1）由A（0，﹣4），B（2，0）的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点C的坐标，确定反比例函数的关系式；
（2）根据题意，要使三角形PDQ的面积最大，可用点P的横坐标n，表示三角形PDQ的面积，依据二次函数的最大值的计算方法求出结果即可．
【解答】解：（1）把A（0，﹣4），B（2，0）代入一次函数y＝kx+b得，
，解得，，
∴一次函数的关系式为y＝2x﹣4，
当x＝3时，y＝2×3﹣4＝2，
∴点C（3，2），
∵点C在反比例函数的图象上，
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数的关系式为y＝，
答：一次函数的关系式为y＝2x﹣4，反比例函数的关系式为y＝；
（2）点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，
∴点P（n，），点Q（n，2n﹣4），
∴PQ＝﹣（2n﹣4），
∴S△PDQ＝n[﹣（2n﹣4）]＝﹣n2+2n+3＝﹣（n﹣1）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当n＝1时，S最大＝4，
答：△DPQ面积的最大值是4．
【点评】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入所求函数关系式的常用方法，将面积用函数的数学模型表示出来，利用函数的最值求解，是解决问题的基本思路．
23．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，CB⊥AB，CD切圆O于点D，连AC，BD，AC与BD交于点M．
（1）求证：AD∥OC；
（2）若CD＝3，AD＝2，求的值．
【分析】（1）连接OD，设OC交BD于N，首先根据HL和SAS得Rt△CDO≌Rt△CBO、△DON≌△BON，然后根据全等三角形的性质和平行线的判定可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得ON的长和∠DCO＝∠DCN，∠CND＝∠ODC＝90°，再根据相似三角形的判定与性质可得答案．
【解答】（1）证明：连接OD，设OC交BD于N．
∵CD切圆O于点D，
∴∠ODC＝90°．
∵CB⊥AB，
∴∠OBC＝90°．
在Rt△CDO和Rt△CBO中，
∵OD＝OB，OC＝OC．
∴Rt△CDO≌Rt△CBO（HL）．
∴∠COB＝∠COD．
在△DON和△BON中，
，
∴△DON≌△BON（SAS），
∴∠OND＝∠ONB，
∴ON⊥BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°．
∴AD∥DN，即AD∥OC．
（2）由（1）知，△DON≌△BON．
∴ON＝BN．
∵OA＝OB．
∴ON＝AD＝1．
由（1）知，△CDO≌△CBO．
∴∠DCO＝∠DCN，∠CND＝∠ODC＝90°．
∴△CON∽△COD．
∴．
∴．
∴．
∴CN（1+CN）＝9．
设CM＝a，
∴a2+a﹣9＝0．
∴a＝．
∵a＞0．
∴a＝．
∵CN∥AD．
∴∠DAM＝∠MCN．
∵∠AMD＝∠CMN．
∴△AMD∽△CMN．
∴＝．
【点评】本题考查切线的判定，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，题目有一定难度．
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
24．（9分）如图1，二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（﹣2，0），B（3，0），交y轴于点C，P是第一象限内二次函数图象上的动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）过点P作PQ⊥x轴于点Q，若以点P、A、Q为顶点的三角形与△BOC相似，求点P的坐标；
（3）如图2．连接AP，交直线BC于点D，当点D是线段BC的三等分点时，求tan∠ADC的值．
【分析】（1）把A（﹣2，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2，列方程组求出a、b的值；
（2）用点P的横坐标表示线段PQ的长度，再根据相似三角形的对应边成比例列方程求出点P的横坐标，再求点P的纵坐标；
（3）△BOC的三边长为常数，点D是BC的三等分点分两种情况，根据相似三角形三边对应成比例求出点D到OB的距离，设AP交y轴于点F，作FG⊥CD于点G，求出FG、DG的长度，进而求出tan∠ADC的值．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2，
得，解得，
∴这个二次函数的表达式为y＝x2+x+2．
（2）如图1，设P（x，x2+x+2）（0＜x＜3），则Q（x，0）．
∵抛物线y＝x2+x+2与y轴交于点C，
∴C（0，2），OC＝2，
又∵A（﹣2，0），B（3，0），
∴OA＝2，OB＝3，QA＝x+2，
∵∠BOC＝∠AQP＝90°，且△AQP∽△BOC，
∴，
∴＝，
整理，得x2+x﹣2＝0，解得x1＝1，x2＝﹣2（不符合题意，舍去），
∴P（1，2）．
（3）如图2，BD＝BC，设AP交y轴于点F，作FG⊥CD于点G，DE⊥x轴于点E．
∵DE∥OC，
∴△BED∽△BOC，
∴，
∴EB＝×3＝2，ED＝×2＝，
∴OE＝2，EA＝3，
∵△AFO∽△ADE，
∴，
∴OF＝＝，CF＝2﹣＝；
∵BC＝＝，，
∴FG＝×＝；
∵，
∴CG＝FG＝×＝，
∵BD＝BC＝×＝，
∴DG＝＝，
∴tan∠ADC＝＝；
如图3，BD＝BC＝，
∵△BED∽△BOC，
∴，
∴EB＝OB＝1，ED＝OC＝，
∴OE＝2，EA＝4，
∵△AFO∽△ADE，
∴，
∴OF＝ED＝×＝，CF＝2＝，
∴FG＝×＝，CG＝FG＝×＝，
∴DG＝＝，
∴tan∠ADC＝＝．
综上所述，tan∠ADC＝或tan∠ADC＝．
【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线并且利用相似三角形对应边成比例列方程求出线段的长度，第（3）小题要分类讨论．此题涵盖的知识和方法较多，计算的难度较大，属于考试压轴题．
25．（9分）如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A（6，0），C（0，2），将矩形OABC绕点O逆时针旋转得到矩形ODEF，使得点A的对应点D恰好落在对角线OB上，OE交BC于点G．
（1）求证：△BGO是等腰三角形；
（2）求点E的坐标；
（3）如图2，矩形ODEF从点O出发，沿OB方向移动，得到矩形O′D′E′F′，当移动到点O′与点B重合时，停止运动，设矩形O'D'E′F′与△OBC重叠部分的面积为y，OO′＝x，求y关于x的函数关系式．
【分析】（1）根据题意易证∠GOB＝∠GBO＝30°，即GO＝GB，从而证明△BGO是等腰三角形；
（2）作EH⊥x轴于点H，求得OH和EH的长度，即可得到点E的坐标；
（3）由直角三角形面积公式求得S△OMO′＝x2，S△ND′B＝，S△OCB＝6，再分情况讨论，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知：tan∠CBO＝，
∴∠CBO＝30°，
∵AO∥BC，
∴∠BOA＝∠CBO＝30°，
∵∠GOB＝∠GBO＝30°，
∴GO＝GB，
∴△BGO是等腰三角形；
（2）在Rt△BCO中，OC＝2，BC＝OA＝6，
∴OB＝OE＝＝4，
作EH⊥x轴于点H，
∵∠BOA＝∠EOB＝30°，
∴∠EOH＝∠BOA+∠EOB＝60°，
在Rt△EOH中，OE＝4，
∴OH＝2，EH＝6，
故E点坐标为（2，6）；
（3）OO′＝x，O′D′＝6，D'B＝4﹣x﹣6，
令F'O'与CO交点为点M．，
E'D'与CB交点为点N，
S△OMO′＝x2，S△ND′B＝，S△OCB＝6，
当0≤x﹣6，y＝6﹣x2﹣，
当4﹣6＜x，y＝6﹣x2，
当，y＝．
【点评】本题是主要考查四边形的综合题目，熟知矩形的性质，等腰三角形和直角三角形的性质是解题的关键．
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2021年广东省东莞市可园中学中考数学一模试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列实数中，无理数是（ ）
A．0 B．﹣4 C． D．
2．（3分）如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（ ）
A．仅主视图不同
B．仅俯视图不同
C．仅左视图不同
D．主视图、左视图和俯视图都相同
3．（3分）中国信息通信研究院指出5G对经济社会发展的影响力开始显现，据统计2020年5G将直接带动经济总产出约为8109亿元．将810 900 000 000用科学记数法表示应为（ ）
A．8.109×1010 B．8.109×1011
C．81.09×1010 D．0.8109×1012
4．（3分）不等式组的解集在数轴表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）若一个多边形的每个内角都等于108°，则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
6．（3分）若一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥4 B．m≤4 C．m＞4 D．m＜4
7．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，且AD：DB＝1：2，则△ADE与△ABC的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝70°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
9．（3分）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5cm，且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长为（ ）
A．18 B．25 C．32 D．36
10．（3分）如图，CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E，连接AC、BE、DO、DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF：BE＝2：3；④S四边形AFOE：S△COD＝2：3．其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①② D．②③④
二.填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）分解因式：1﹣16n2＝ ．
12．（4分）若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
13．（4分）抛物线y＝2（x+1）2﹣6向右平移一个单位后，得到的解析式为 ．
14．（4分）据2020年3月16日中央电视台“战疫情•看数据变化”报道，截止3月15日24时止的前八天，31个省市和新疆生产建设兵团报告新增确诊病例数（单位：例）如表：
3月8日
3月9日
3月10日
3月11日
3月12日
3月13日
3月14日
3月15日
40
18
24
15
8
11
20
16
这组数据的中位数是 ．
15．（4分）计算：20210+＝ ．
16．（4分）尺规作图要求：
a、过直线外一点作这条直线的垂线；
b、作线段的垂直平分线；
c、过直线上一点作这条直线的垂线；
d、作角的平分线．
其中与a、b、c、d四个作图要求依次对应的图形是 ．（填序号）
17．（4分）如图，线段AB是直线y＝5x+1的一部分，点A的坐标为（0，1），点B的纵坐标是6，曲线BC是双曲线y＝的一部分，点C的横坐标是6．由点C开始，不断重复曲线“A﹣B﹣C”，形成一组波浪线．已知点P（18，m），Q（21，n）均在该组波浪线上，分别过点P，Q向x轴作垂线段，垂足分别为D和E，则四边形PDEQ的面积是 ．
三.解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）先化简，再求值：（）÷，其中x＝﹣1．
19．（6分）如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于点P．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求∠AOB的度数．
20．（6分）2020年春季在新冠疫情的背景下，全国各大中小学纷纷开设空中课堂，学生要面对电脑等电子产品上网课，某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到同性别学生的概率．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）学校为表彰在“了不起我的国”演讲比赛中获奖的选手，决定购买甲、乙两种图书作为奖品．已知购买30本甲种图书，50本乙种图书共需1350元；购买50本甲种图书，30本乙种图书共需1450元．
（1）求甲、乙两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校要求购买甲、乙两种图书共40本，且甲种图书的数量不少于乙种图书数量的，请设计最省钱的购书方案．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4），B（2，0），交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最大值．
23．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，CB⊥AB，CD切圆O于点D，连AC，BD，AC与BD交于点M．
（1）求证：AD∥OC；
（2）若CD＝3，AD＝2，求的值．
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
24．（9分）如图1，二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（﹣2，0），B（3，0），交y轴于点C，P是第一象限内二次函数图象上的动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）过点P作PQ⊥x轴于点Q，若以点P、A、Q为顶点的三角形与△BOC相似，求点P的坐标；
（3）如图2．连接AP，交直线BC于点D，当点D是线段BC的三等分点时，求tan∠ADC的值．
25．（9分）如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A（6，0），C（0，2），将矩形OABC绕点O逆时针旋转得到矩形ODEF，使得点A的对应点D恰好落在对角线OB上，OE交BC于点G．
（1）求证：△BGO是等腰三角形；
（2）求点E的坐标；
（3）如图2，矩形ODEF从点O出发，沿OB方向移动，得到矩形O′D′E′F′，当移动到点O′与点B重合时，停止运动，设矩形O'D'E′F′与△OBC重叠部分的面积为y，OO′＝x，求y关于x的函数关系式．
2021年广东省东莞市可园中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列实数中，无理数是（ ）
A．0 B．﹣4 C． D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此解答即可．
【解答】解：0，﹣4是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；无理数是．
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（3分）如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（ ）
A．仅主视图不同
B．仅俯视图不同
C．仅左视图不同
D．主视图、左视图和俯视图都相同
【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：解法一：从正面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故主视图相同；
从左面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故左视图相同；
从上面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故俯视图相同．
解法二：第一个几何体的三视图如图所示
第二个几何体的三视图如图所示：
观察可知这两个几何体的主视图、左视图和俯视图都相同，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的意义是解题关键．
3．（3分）中国信息通信研究院指出5G对经济社会发展的影响力开始显现，据统计2020年5G将直接带动经济总产出约为8109亿元．将810 900 000 000用科学记数法表示应为（ ）
A．8.109×1010 B．8.109×1011
C．81.09×1010 D．0.8109×1012
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：810 900 000 000＝8.109×1011，
故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）不等式组的解集在数轴表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x+1≤3，得：x≤2，
解不等式﹣2x﹣6＜﹣4，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5．（3分）若一个多边形的每个内角都等于108°，则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【分析】根据多边形的内角和公式列式计算即可得解．
【解答】解：设这个多边形是n边形，
由题意得，（n﹣2）•180°＝108°•n，
解得n＝5，
所以，这个多边形是五边形．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的外角是解题的关键．
6．（3分）若一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥4 B．m≤4 C．m＞4 D．m＜4
【分析】计算根的判别式△，由题意得不等式，求解即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个不相同的实数根，
∴Δ＝16﹣4m＞0
解得m＜4．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，题目比较简单，根的判别式Δ＝b2﹣4ac．
7．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC，且AD：DB＝1：2，则△ADE与△ABC的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【解答】解：∵AD：DB＝1：2，
∴AD：AB＝1：3，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
8．（3分）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝70°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【分析】连接OC，由AO∥DC，得出∠ODC＝∠AOD＝70°，再由OD＝OC，得出∠ODC＝∠OCD＝70°，求得∠COD＝40°，进一步得出∠AOC，进一步利用圆周角定理得出∠B的度数即可．
【解答】解：如图，
连接OC，
∵AO∥DC，
∴∠ODC＝∠AOD＝70°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝70°，
∴∠COD＝40°，
∴∠AOC＝110°，
∴∠B＝∠AOC＝55°．
故选：D．
【点评】此题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，圆周角定理，正确作出辅助线是解决问题的关键．
9．（3分）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5cm，且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长为（ ）
A．18 B．25 C．32 D．36
【分析】根据tan∠EFC＝，设CE＝3k，在Rt△EFC中可得CF＝4k，EF＝DE＝5k，由∠BAF＝∠EFC，由三角函数的知识求出AF，在Rt△AEF中由勾股定理求出k，代入可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
由折叠的性质得：∠AFE＝∠D＝90°，EF＝ED，AF＝AD，
∴tan∠EFC＝＝，
设CE＝3k，则CF＝4k，
由勾股定理得DE＝EF＝＝5k，
∴DC＝AB＝8k，
∵∠AFB+∠BAF＝90°，∠AFB+∠EFC＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC，
∴tan∠BAF＝＝tan∠EFC＝，
∴BF＝6k，AF＝BC＝AD＝10k，
在Rt△AFE中，由勾股定理得AE＝＝＝5k＝5，
解得：k＝1，
∴矩形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2（8k+10k）＝36（cm），
故选：D．
【点评】此题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、三角函数定义等知识，解答本题关键是根据三角函数定义，表示出每条线段的长度，然后利用勾股定理进行解答．
10．（3分）如图，CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E，连接AC、BE、DO、DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF：BE＝2：3；④S四边形AFOE：S△COD＝2：3．其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①② D．②③④
【分析】根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵EC垂直平分AB，
∴OA＝OB＝AB＝DC，CD⊥CE，
∵OA∥DC，
∴，
∴AE＝AD，OE＝OC，
∵OA＝OB，OE＝OC，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵AB⊥EC，
∴四边形ACBE是菱形，故①正确，
∵∠DCE＝90°，DA＝AE，
∴AC＝AD＝AE，
∴∠ACD＝∠ADC＝∠BAE，故②正确，
∵OA∥CD，
∴＝＝，
∴＝＝，故③错误，
设△AOF的面积为a，则△OFC的面积为2a，△CDF的面积为4a，△AOC的面积＝△AOE的面积＝3a，
∴四边形AFOE的面积为4a，△ODC的面积为6a，
∴S四边形AFOE：S△COD＝2：3．故④正确，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
二.填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）分解因式：1﹣16n2＝ （1﹣4n）（1+4n） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案．
【解答】解：1﹣16n2＝（1﹣4n）（1+4n）．
故答案为：（1﹣4n）（1+4n）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
12．（4分）若代数式有意义，则x的取值范围是 x≠ ．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0，列式计算即可．
【解答】解：由题意得，1﹣2x≠0，
解得x≠，
故答案为：x≠．
【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于0是解题的关键．
13．（4分）抛物线y＝2（x+1）2﹣6向右平移一个单位后，得到的解析式为 y＝2x2﹣6 ．
【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答．
【解答】解：抛物线y＝2（x+1）2﹣6向右平移一个单位后，得到的解析式为：y＝2（x+1﹣1）2﹣6，即y＝2x2﹣6．
故答案为y＝2x2﹣6．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
14．（4分）据2020年3月16日中央电视台“战疫情•看数据变化”报道，截止3月15日24时止的前八天，31个省市和新疆生产建设兵团报告新增确诊病例数（单位：例）如表：
3月8日
3月9日
3月10日
3月11日
3月12日
3月13日
3月14日
3月15日
40
18
24
15
8
11
20
16
这组数据的中位数是 17 ．
【分析】要求中位数，是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的两个数的平均数．
【解答】解：按从小到大的顺序排列8，11，15，16，18，20，24，40，最中间的两个数是16，18，
故这组数据的中位数为（16+18）÷2＝17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
15．（4分）计算：20210+＝ ﹣2 ．
【分析】利用零指数幂、负指数幂及乘方的运算法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝1+3﹣6
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了实数的相关运算，解题关键是熟练运用零指数幂、负指数幂及乘方的运算法则．
16．（4分）尺规作图要求：
a、过直线外一点作这条直线的垂线；
b、作线段的垂直平分线；
c、过直线上一点作这条直线的垂线；
d、作角的平分线．
其中与a、b、c、d四个作图要求依次对应的图形是 ②③④① ．（填序号）
【分析】根据基本作图进行判断．
【解答】解：a，过直线外一点作这条直线的垂线，如图②；
b，作线段的垂直平分线，如图③；
c、过直线上一点作这条直线的垂线，如图④；
d、作角的平分线．如图①．
故答案为②③④①．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
17．（4分）如图，线段AB是直线y＝5x+1的一部分，点A的坐标为（0，1），点B的纵坐标是6，曲线BC是双曲线y＝的一部分，点C的横坐标是6．由点C开始，不断重复曲线“A﹣B﹣C”，形成一组波浪线．已知点P（18，m），Q（21，n）均在该组波浪线上，分别过点P，Q向x轴作垂线段，垂足分别为D和E，则四边形PDEQ的面积是 ．
【分析】A，C之间的距离为6，点Q与点P的水平距离为3，进而得到A，B之间的水平距离为1，且k＝6，根据四边形PDEQ的面积为＝，即可得到四边形PDEQ的面积．
【解答】解：A，C之间的距离为6，
18÷6＝3，故点P离x轴的距离与点A离x轴的距离相同，
∴点P离x轴的距离为1，
∴m＝1，
21﹣18＝3，故点Q与点P的水平距离为3，
在y＝5x+1中，当y＝6时，x＝1，即点B（1，6）
∵6＝，
解得k＝6，
∴双曲线y＝，
把x＝3代入得y＝2，
即点Q离x轴的距离为2，
四边形PDEQ的面积是＝．
故答案为．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征以及一次函数的性质，解题时注意：四边形PDEQ为梯形，依据梯形的面积公式即可得到其面积．
三.解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）先化简，再求值：（）÷，其中x＝﹣1．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•＝x+2，
当x＝﹣1时，原式＝﹣1+2＝1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（6分）如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于点P．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求∠AOB的度数．
【分析】（1）利用“边角边”证明△BCD和△ACE全等，可得AE＝BD；
（2）利用（1）中全等三角形的性质可得：∠CAE＝∠CBD，根据“八字型”证明∠AOP＝∠PCB＝60°即可．
【解答】证明：（1）∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE
即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD；
（2）解：由（1）知，△ACE≌△BCD（SAS），则∠CAE＝∠CBD，
∵∠APC＝∠BPO，
∴∠BOP＝∠ACP＝60°，即∠AOB＝60°．
【点评】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
20．（6分）2020年春季在新冠疫情的背景下，全国各大中小学纷纷开设空中课堂，学生要面对电脑等电子产品上网课，某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到同性别学生的概率．
【分析】（1）先由“不重视”的学生人数和所占百分比求出调查总人数，再用总人数乘以“重视”的人数所占的百分比，即可补全条形统计图；
（2）画树状图，共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）调查的学生人数为16÷20%＝80（人），
“重视”的人数为80×30%＝24（人），补全条形统计图如图：
（2）根据题意画树状图如下：
共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4个，
∴恰好抽到同性别学生的概率为＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了扇形统计图和条形统计图以及样本估计总体．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）学校为表彰在“了不起我的国”演讲比赛中获奖的选手，决定购买甲、乙两种图书作为奖品．已知购买30本甲种图书，50本乙种图书共需1350元；购买50本甲种图书，30本乙种图书共需1450元．
（1）求甲、乙两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校要求购买甲、乙两种图书共40本，且甲种图书的数量不少于乙种图书数量的，请设计最省钱的购书方案．
【分析】（1）首先设甲种图书的单价为x元，乙种图书的单价为y元，由题意得等量关系：30本甲种图书的花费+50本乙种图书的花费＝1350元；50本甲种图书的花费+30本乙种图书的花费＝1450元，根据等量关系列出方程，再解即可；
（2）设购买甲种图书a本，则购买乙种图书（40﹣a）本，由题意得不等关系：甲种图书的数量≥乙种图书数量的，然后列出不等式，再求解即可．
【解答】解：（1）设甲种图书的单价为x元，乙种图书的单价为y元，由题意得：
，
解得：，
答：甲种图书的单价为20元，乙种图书的单价为15元；
（2）设购买甲种图书a本，则购买乙种图书（40﹣a）本，
由题意得：a≥（40﹣a），
解得：a≥17，
∵甲种图书价格高，
∴省钱的购书方案是少买甲图书，多买乙种图书，
∵a为整数，
∴a的最小整数解为18，
则40﹣18＝22，
答：最省钱的购书方案是购买甲种图书18本，购买乙种图书22本．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4），B（2，0），交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最大值．
【分析】（1）由A（0，﹣4），B（2，0）的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点C的坐标，确定反比例函数的关系式；
（2）根据题意，要使三角形PDQ的面积最大，可用点P的横坐标n，表示三角形PDQ的面积，依据二次函数的最大值的计算方法求出结果即可．
【解答】解：（1）把A（0，﹣4），B（2，0）代入一次函数y＝kx+b得，
，解得，，
∴一次函数的关系式为y＝2x﹣4，
当x＝3时，y＝2×3﹣4＝2，
∴点C（3，2），
∵点C在反比例函数的图象上，
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数的关系式为y＝，
答：一次函数的关系式为y＝2x﹣4，反比例函数的关系式为y＝；
（2）点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，
∴点P（n，），点Q（n，2n﹣4），
∴PQ＝﹣（2n﹣4），
∴S△PDQ＝n[﹣（2n﹣4）]＝﹣n2+2n+3＝﹣（n﹣1）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当n＝1时，S最大＝4，
答：△DPQ面积的最大值是4．
【点评】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入所求函数关系式的常用方法，将面积用函数的数学模型表示出来，利用函数的最值求解，是解决问题的基本思路．
23．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，CB⊥AB，CD切圆O于点D，连AC，BD，AC与BD交于点M．
（1）求证：AD∥OC；
（2）若CD＝3，AD＝2，求的值．
【分析】（1）连接OD，设OC交BD于N，首先根据HL和SAS得Rt△CDO≌Rt△CBO、△DON≌△BON，然后根据全等三角形的性质和平行线的判定可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得ON的长和∠DCO＝∠DCN，∠CND＝∠ODC＝90°，再根据相似三角形的判定与性质可得答案．
【解答】（1）证明：连接OD，设OC交BD于N．
∵CD切圆O于点D，
∴∠ODC＝90°．
∵CB⊥AB，
∴∠OBC＝90°．
在Rt△CDO和Rt△CBO中，
∵OD＝OB，OC＝OC．
∴Rt△CDO≌Rt△CBO（HL）．
∴∠COB＝∠COD．
在△DON和△BON中，
，
∴△DON≌△BON（SAS），
∴∠OND＝∠ONB，
∴ON⊥BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°．
∴AD∥DN，即AD∥OC．
（2）由（1）知，△DON≌△BON．
∴ON＝BN．
∵OA＝OB．
∴ON＝AD＝1．
由（1）知，△CDO≌△CBO．
∴∠DCO＝∠DCN，∠CND＝∠ODC＝90°．
∴△CON∽△COD．
∴．
∴．
∴．
∴CN（1+CN）＝9．
设CM＝a，
∴a2+a﹣9＝0．
∴a＝．
∵a＞0．
∴a＝．
∵CN∥AD．
∴∠DAM＝∠MCN．
∵∠AMD＝∠CMN．
∴△AMD∽△CMN．
∴＝．
【点评】本题考查切线的判定，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，题目有一定难度．
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
24．（9分）如图1，二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（﹣2，0），B（3，0），交y轴于点C，P是第一象限内二次函数图象上的动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）过点P作PQ⊥x轴于点Q，若以点P、A、Q为顶点的三角形与△BOC相似，求点P的坐标；
（3）如图2．连接AP，交直线BC于点D，当点D是线段BC的三等分点时，求tan∠ADC的值．
【分析】（1）把A（﹣2，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2，列方程组求出a、b的值；
（2）用点P的横坐标表示线段PQ的长度，再根据相似三角形的对应边成比例列方程求出点P的横坐标，再求点P的纵坐标；
（3）△BOC的三边长为常数，点D是BC的三等分点分两种情况，根据相似三角形三边对应成比例求出点D到OB的距离，设AP交y轴于点F，作FG⊥CD于点G，求出FG、DG的长度，进而求出tan∠ADC的值．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2，
得，解得，
∴这个二次函数的表达式为y＝x2+x+2．
（2）如图1，设P（x，x2+x+2）（0＜x＜3），则Q（x，0）．
∵抛物线y＝x2+x+2与y轴交于点C，
∴C（0，2），OC＝2，
又∵A（﹣2，0），B（3，0），
∴OA＝2，OB＝3，QA＝x+2，
∵∠BOC＝∠AQP＝90°，且△AQP∽△BOC，
∴，
∴＝，
整理，得x2+x﹣2＝0，解得x1＝1，x2＝﹣2（不符合题意，舍去），
∴P（1，2）．
（3）如图2，BD＝BC，设AP交y轴于点F，作FG⊥CD于点G，DE⊥x轴于点E．
∵DE∥OC，
∴△BED∽△BOC，
∴，
∴EB＝×3＝2，ED＝×2＝，
∴OE＝2，EA＝3，
∵△AFO∽△ADE，
∴，
∴OF＝＝，CF＝2﹣＝；
∵BC＝＝，，
∴FG＝×＝；
∵，
∴CG＝FG＝×＝，
∵BD＝BC＝×＝，
∴DG＝＝，
∴tan∠ADC＝＝；
如图3，BD＝BC＝，
∵△BED∽△BOC，
∴，
∴EB＝OB＝1，ED＝OC＝，
∴OE＝2，EA＝4，
∵△AFO∽△ADE，
∴，
∴OF＝ED＝×＝，CF＝2＝，
∴FG＝×＝，CG＝FG＝×＝，
∴DG＝＝，
∴tan∠ADC＝＝．
综上所述，tan∠ADC＝或tan∠ADC＝．
【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线并且利用相似三角形对应边成比例列方程求出线段的长度，第（3）小题要分类讨论．此题涵盖的知识和方法较多，计算的难度较大，属于考试压轴题．
25．（9分）如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A（6，0），C（0，2），将矩形OABC绕点O逆时针旋转得到矩形ODEF，使得点A的对应点D恰好落在对角线OB上，OE交BC于点G．
（1）求证：△BGO是等腰三角形；
（2）求点E的坐标；
（3）如图2，矩形ODEF从点O出发，沿OB方向移动，得到矩形O′D′E′F′，当移动到点O′与点B重合时，停止运动，设矩形O'D'E′F′与△OBC重叠部分的面积为y，OO′＝x，求y关于x的函数关系式．
【分析】（1）根据题意易证∠GOB＝∠GBO＝30°，即GO＝GB，从而证明△BGO是等腰三角形；
（2）作EH⊥x轴于点H，求得OH和EH的长度，即可得到点E的坐标；
（3）由直角三角形面积公式求得S△OMO′＝x2，S△ND′B＝，S△OCB＝6，再分情况讨论，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知：tan∠CBO＝，
∴∠CBO＝30°，
∵AO∥BC，
∴∠BOA＝∠CBO＝30°，
∵∠GOB＝∠GBO＝30°，
∴GO＝GB，
∴△BGO是等腰三角形；
（2）在Rt△BCO中，OC＝2，BC＝OA＝6，
∴OB＝OE＝＝4，
作EH⊥x轴于点H，
∵∠BOA＝∠EOB＝30°，
∴∠EOH＝∠BOA+∠EOB＝60°，
在Rt△EOH中，OE＝4，
∴OH＝2，EH＝6，
故E点坐标为（2，6）；
（3）OO′＝x，O′D′＝6，D'B＝4﹣x﹣6，
令F'O'与CO交点为点M．，
E'D'与CB交点为点N，
S△OMO′＝x2，S△ND′B＝，S△OCB＝6，
当0≤x﹣6，y＝6﹣x2﹣，
当4﹣6＜x，y＝6﹣x2，
当，y＝．
【点评】本题是主要考查四边形的综合题目，熟知矩形的性质，等腰三角形和直角三角形的性质是解题的关键．
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