2021届北京市房山区高考二模数学试卷（解析版）

这是一份2021届北京市房山区高考二模数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题.，解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。

2021年北京市房山区高考数学二模试卷
一、选择题（共10小题）.
1．已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{x∈Z|（x﹣1）（x﹣3）≤0}，B＝{2，3}，则∁U（A∪B）＝（　　）
A．{3} B．{4} C．{3，4} D．{1，3，4}
2．若复数z＝（x2+x﹣2）+（x﹣1）i（i为虚数单位）为纯虚数，则实数x的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣2 D．1或﹣2
3．在△ABC中，BC＝6，A＝，sinB＝2sinC，则△ABC的面积为（　　）
A．6 B．6 C．9 D．4
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（　　）

A．6 B．10+2 C．10+2 D．16+2
5．某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s（万元）与机器运转时间t（年数，t∈N*）的关系为s＝﹣t2+23t﹣64．要使年平均利润最大．则每台机器运转的年数t为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．已知角α的终边经过点（3，4），把角α的终边绕原点O逆时针旋转得到角β的终边，则tanβ等于（　　）
A． B． C． D．
7．设F1，F2是双曲线C：﹣y2＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C上，且|OP|＝|OF1|，则△PF1F2的面积为（　　）
A． B．2 C． D．1
8．20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA﹣lgA0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是标准地震的振幅.2008年5月12日，我国四川汶川发生了地震，速报震级为里氏7.8级，修订后的震级为里氏8.0级，则修订后的震级与速报震级的最大振幅之比为（　　）
A．10﹣0.2 B．100.2 C．lg D．
9．“a≤0”是“函数f（x）＝有且只有一个零点”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举行了以“重温时代经典，唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛．该校高三年级有1，2，3，4四个班参加了比赛，其中有两个班获奖．比赛结果揭晓之前，甲同学说：“两个获奖班级在2班、3班、4班中”，乙同学说：“2班没有获奖，3班获奖了”，丙同学说：“1班，4班中有且只有一个班获奖”，丁同学说：“乙说得对”．已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则这两人是（　　）
A．乙，丁 B．甲，丙 C．甲，丁 D．乙，丙
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是　 　．
12．若三个点M（3，2），M（2，2），Q（3，﹣2）中恰有两个点在抛物线y2＝2px上，则该抛物线的方程为　 　．
13．已知（1+2x）n的展开式中，二项式系数之和为32，则各项系数之和为　 　．
14．已知单位向量，的夹角为60°，﹣k与垂直，则k＝　 　．
15．设m∈R，过定点M的直线l1：x+my﹣3m﹣1＝0与过定点N的直线l2：mx﹣y﹣3m+1＝0相交于点P，线段AB是圆C：（x+1）2+（y+1）2＝4的一条动弦．且|AB|＝2．给出下列四个结论：
①l1一定垂直l2；
②|PM|+|PN|的最大值为4；
③点P的轨迹方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1；
④||的最小值为4．
其中所有正确结论的序号是　 　．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，点E为PC的中点，PA⊥平面ABCD，AB＝2，AD＝2，PA＝2．
（Ⅰ）求证：CD⊥PD；
（Ⅱ）求异面直线BC与AE所成角的大小．

17．已知数列{an}是一个公比为q（q＞0，q≠1）的等比数列，a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，再从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，解答下列问题：
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令bn＝2log2an﹣7，求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．
条件①：4a2，3a3，2a4成等差数列；
条件②：Sn＝2an﹣1；
条件③：S3＝7．
18．为了提高中小学生的身体素质，某地区开展了中小学生跳绳比赛系列活动．活动结束后，利用简单随机抽样的方法，抽取了部分学生的成绩，按照不同年龄段分组记录如表：
组别
男生
女生
合格
不合格
合格
不合格
第一组
90
10
80
20
第二组
88
12
72
28
第三组
60
40
58
42
第四组
80
20
62
38
第五组
82
18
78
22
合计
400
100
350
150
假设每个中小学生跳绳成绩是否合格相互独立．
（Ⅰ）从样本中的中小学生随机抽取1人，求该同学跳绳成绩合格的概率；
（Ⅱ）从该地区众多小学的男生、女生中各随机抽取1人，记这2人中恰有X人跳绳成绩合格，求X的分布列与数学期望；
（Ⅲ）假设该地区中小学生跳绳成绩合格的概率与表格中该地区中小学生跳绳成绩合格的频率相等，用“ξk＝1”表示第k组同学跳绳成绩合格，“ξk＝0”表示第k组同学跳绳成绩不合格（k＝1，2，3，4，5），试确定方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5中哪个最大？哪个最小？（只需写出结论）
19．已知函数f（x）＝excosx，g（x）＝ax．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）设F（x）＝g（x）﹣f（x），当a≥0时，求函数F（x）在区间[，]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）当x∈[，]时，试写出一个实数a的值，使得y＝f（x）的图象在y＝g（x）的图象下方．（不需要说明理由）
20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，O为坐标原点，F是椭圆C的右焦点，A为椭圆C上一点，且AF⊥x轴，|AF|＝．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l：＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝4相交于点N．证明：为定值．
21．已知数集A＝{a1，a2，a3，…，an}（1≤a1＜a2＜a3＜…＜an，n≥2，n∈N*）．如果对任意的i，j（1≤i≤j≤n且i，j，n∈N*），aiaj与两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P．
（Ⅰ）分别判断数集{2，3，6}，{1，3，4，12}是否具有性质P，并说明理由；
（Ⅱ）设数集A＝{a1，a2，a3，…，an}（1≤a1＜a2＜a3＜…＜an，n≥2，n∈N*）具有性质P．
①若ak∈N*（k＝1，2，3，…），证明：对任意1≤i≤n（i，n∈N*）都有ai是an的因数；
②证明：ann＝a12•a22•a32•…•an2．


参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{x∈Z|（x﹣1）（x﹣3）≤0}，B＝{2，3}，则∁U（A∪B）＝（　　）
A．{3} B．{4} C．{3，4} D．{1，3，4}
解：∵U＝{1，2，3，4}，A＝{x∈Z|1≤x≤3}＝{1，2，3}，B＝{2，3}，
∴A∪B＝{1，2，3}，∁U（A∪B）＝{4}．
故选：B．
2．若复数z＝（x2+x﹣2）+（x﹣1）i（i为虚数单位）为纯虚数，则实数x的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣2 D．1或﹣2
解：因为z＝（x2+x﹣2）+（x﹣1）i（i为虚数单位）为纯虚数，
所以，
解得x＝﹣2．
故选：C．
3．在△ABC中，BC＝6，A＝，sinB＝2sinC，则△ABC的面积为（　　）
A．6 B．6 C．9 D．4
解：∵sinB＝2sinC，A＝，
∴sinB＝sin（﹣C）＝sin（+C）＝cosC+sinC＝2sinC，
解得：tanC＝，故C＝，
∴B＝，又BC＝6，∴AB＝2，
∴S△ABC＝•AB•BC＝6，
故选：A．
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（　　）

A．6 B．10+2 C．10+2 D．16+2
解：该几何体是一个直四棱柱，底面为直角梯形，斜腰长为，底面周长为，
该直四棱柱的侧面积为，底面积为，
因此，该几何体的表面积为．
故选：D．
5．某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s（万元）与机器运转时间t（年数，t∈N*）的关系为s＝﹣t2+23t﹣64．要使年平均利润最大．则每台机器运转的年数t为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
解：由已知可得年平均利润为Z＝＝，（t＞0），
所以Z＝﹣（t+）+23+23＝﹣16+23＝7，
当且仅当，即t＝8时取等号，
此时年平均利润的最大值为7，
故选：D．
6．已知角α的终边经过点（3，4），把角α的终边绕原点O逆时针旋转得到角β的终边，则tanβ等于（　　）
A． B． C． D．
解：因为角α的终边经过点（3，4），
则tanα＝，
把角α的终边绕原点O逆时针旋转得到角β的终边，则β＝α+，
所以tanβ＝tan（α+）＝﹣cotα＝﹣．
故选：C．
7．设F1，F2是双曲线C：﹣y2＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C上，且|OP|＝|OF1|，则△PF1F2的面积为（　　）
A． B．2 C． D．1
解：由题意可得a＝，b＝1，c＝2，
∴|F1F2|＝2c＝4，
∵|OP|＝|OF1|，
∴|OP|＝|F1F2|，
∴△PF1F2为直角三角形，
∴PF1⊥PF2，
∴|PF1|2+|PF2|2＝4c2＝16，
∵||PF1|﹣|PF2||＝2a＝2，
∴|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|＝12，
∴|PF1|•|PF2|＝2，
∴△PF1F2的面积为S＝|PF1|•|PF2|＝1，
故选：D．
8．20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA﹣lgA0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是标准地震的振幅.2008年5月12日，我国四川汶川发生了地震，速报震级为里氏7.8级，修订后的震级为里氏8.0级，则修订后的震级与速报震级的最大振幅之比为（　　）
A．10﹣0.2 B．100.2 C．lg D．
解：由M＝lgA﹣lgA0可得M＝lg，即＝10M，A＝A0•10M．
当M＝8时，地震的最大振幅为A1＝A0•108，
当M＝7.8时，地震的最大振幅为A2＝A0•107.8，
所以，两次地震的最大振幅之比是＝＝108﹣7.8＝100.2．
故选：B．
9．“a≤0”是“函数f（x）＝有且只有一个零点”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：当x＞0时，令f（x）＝0，则lnx＝0，∴x＝1，
∴当x＞0时，f（x）有一个零点为1，
∵函数f（x）只有一个零点，
∴当x≤0时，f（x）＝﹣2x+a无零点，即a＞2x或a＜2x，
∵当x≤0时，2x∈（0，1]，∴a＞1或a≤0，
∴a≤0是函数f（x）只有一个零点的充分不必要条件，
故选：A．
10．为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举行了以“重温时代经典，唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛．该校高三年级有1，2，3，4四个班参加了比赛，其中有两个班获奖．比赛结果揭晓之前，甲同学说：“两个获奖班级在2班、3班、4班中”，乙同学说：“2班没有获奖，3班获奖了”，丙同学说：“1班，4班中有且只有一个班获奖”，丁同学说：“乙说得对”．已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则这两人是（　　）
A．乙，丁 B．甲，丙 C．甲，丁 D．乙，丙
解：假设乙的说法是正确的，则丁也是正确的，那么甲，丙的说法都是错误的，
由丙的说法错误可知，1班，4班都获奖或1班，4班都没有获奖，与乙的说法正确矛盾，
所以乙的说法是错误的，则丁也是错误的，所以2班获奖，3班没获奖，
进而推断出1班，4班中有且只有一个班获奖，所以丙的说法正确，
要使甲的说法也正确，则获奖的班级为2班，4班，
故选：B．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是　　．
解：函数y＝sin2xcos2x＝，
∴函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是＝．
故答案为：．
12．若三个点M（3，2），M（2，2），Q（3，﹣2）中恰有两个点在抛物线y2＝2px上，则该抛物线的方程为　y2＝8x　．
解：因为抛物线C：y2＝2px关于x轴对称，
M（3，2），M（2，2），Q（3，﹣2）两点在C上，只能是M、Q两点，
代入坐标易得p＝4，所以抛物线C的标准方程为y2＝8x．
故答案为：y2＝8x．
13．已知（1+2x）n的展开式中，二项式系数之和为32，则各项系数之和为　243　．
解：∵（1+2x）n的展开式中，二项式系数之和为2n＝32，∴n＝5，
再令x＝1，可得各项系数之和为3n＝35＝243，
故答案为：243．
14．已知单位向量，的夹角为60°，﹣k与垂直，则k＝　　．
解：∵两个单位向量，的夹角为60°，﹣k与垂直，
∴（）•＝﹣k
＝1×1×cos60°﹣k×1＝0，
解得k＝．
故答案为：．
15．设m∈R，过定点M的直线l1：x+my﹣3m﹣1＝0与过定点N的直线l2：mx﹣y﹣3m+1＝0相交于点P，线段AB是圆C：（x+1）2+（y+1）2＝4的一条动弦．且|AB|＝2．给出下列四个结论：
①l1一定垂直l2；
②|PM|+|PN|的最大值为4；
③点P的轨迹方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1；
④||的最小值为4．
其中所有正确结论的序号是　①②　．
解：直线l1：x+my﹣3m﹣1＝0与l2：mx﹣y﹣3m+1＝0垂直，满足1•m+m•（﹣1）＝0，所以①正确；
l2过定点M（3，1），l1过定点N（1，3），
在△MNP中，设∠PMN＝θ，
则，所以②正确；
由，可得点P轨迹方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝2（x≠3）．所以③不正确；
作CD⊥AB，则，
∴点D轨迹方程为（x+1）2+（y+1）2＝2．
∵，的最小值为，
∴的最小值为，所以④不正确．
故答案为：①②．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，点E为PC的中点，PA⊥平面ABCD，AB＝2，AD＝2，PA＝2．
（Ⅰ）求证：CD⊥PD；
（Ⅱ）求异面直线BC与AE所成角的大小．

解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，点E为PC的中点，PA⊥平面ABCD，
∴CD⊥AD，CD⊥PA，
∵PA∩AD＝A，PA、AD⊂平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，
∵PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD；
（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（2，0，0），C（2，2，0），A（0，0，0），P（0，0，2），E（1，，1），
＝（0，2，0），＝（1，，1），
设异面直线BC与AE所成角为θ，
则cosθ＝＝＝，
∴θ＝，
∴异面直线BC与AE所成角为．

17．已知数列{an}是一个公比为q（q＞0，q≠1）的等比数列，a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，再从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，解答下列问题：
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令bn＝2log2an﹣7，求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．
条件①：4a2，3a3，2a4成等差数列；
条件②：Sn＝2an﹣1；
条件③：S3＝7．
解：（Ⅰ）选条件①，设数列的公比为q，由于4a2，3a3，2a4成等差数列；
所以，整理得6q2＝4q+2q3，
解得q＝2或1（舍去），
所以，
选条件②：Sn＝2an﹣1①；
当n＝1时，a1＝1，
当n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣1②
所以①﹣②得：an＝2an﹣1，
故数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以，（首项符合通项），
所以．
选条件③：S3＝7．
所以，整理得，
解得q＝2，
所以．
（Ⅱ）令bn＝2log2an﹣7＝2（n﹣1）﹣7＝2n﹣9，
所以Tn＝b1+b2+...+bn＝＝（n﹣4）2﹣16，
当n＝4时，最小值为﹣16．
18．为了提高中小学生的身体素质，某地区开展了中小学生跳绳比赛系列活动．活动结束后，利用简单随机抽样的方法，抽取了部分学生的成绩，按照不同年龄段分组记录如表：
组别
男生
女生
合格
不合格
合格
不合格
第一组
90
10
80
20
第二组
88
12
72
28
第三组
60
40
58
42
第四组
80
20
62
38
第五组
82
18
78
22
合计
400
100
350
150
假设每个中小学生跳绳成绩是否合格相互独立．
（Ⅰ）从样本中的中小学生随机抽取1人，求该同学跳绳成绩合格的概率；
（Ⅱ）从该地区众多小学的男生、女生中各随机抽取1人，记这2人中恰有X人跳绳成绩合格，求X的分布列与数学期望；
（Ⅲ）假设该地区中小学生跳绳成绩合格的概率与表格中该地区中小学生跳绳成绩合格的频率相等，用“ξk＝1”表示第k组同学跳绳成绩合格，“ξk＝0”表示第k组同学跳绳成绩不合格（k＝1，2，3，4，5），试确定方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5中哪个最大？哪个最小？（只需写出结论）
解：（Ⅰ）设事件A为“从样本中的中小学生随机抽取1人，该同学跳绳成绩合格”，
样本中男生跳绳成绩合格的有：90+88+60+80+82＝400人，
样本中女生跳绳成绩合格的有：80+72+58+62+78＝350人，
样本中男、女跳绳成绩合格的共有：400+350＝750人，
样本中的男生总人数为：400+100＝500人，
样本中男、女生总人数为：500+500＝1000，
所以P（A）＝＝；
（Ⅱ）设事件B为“从该地区众多中小学的男生中随机抽取1人，该生跳绳成绩合格”，则P（B）＝＝，
设事件C为“从该地区众多中小学的女生中随机抽取1人，该生跳绳成绩合格”，P（C）＝，
由题意可知，X的可能取值为0，1，2，
则P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝＝，
P（X＝2）＝＝，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P



所以X的数学期望E（X）＝0×+1×+2×＝；
（Ⅲ）Dξ1最小，Dξ3最大．
19．已知函数f（x）＝excosx，g（x）＝ax．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）设F（x）＝g（x）﹣f（x），当a≥0时，求函数F（x）在区间[，]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）当x∈[，]时，试写出一个实数a的值，使得y＝f（x）的图象在y＝g（x）的图象下方．（不需要说明理由）
解：（Ⅰ）∵f'（x）＝ex（cosx﹣sinx），k＝f'（0）＝1，
又∵f（0）＝1，
∴切点坐标为（0，1），
∴曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y＝x+1．
（Ⅱ）F（x）＝ax﹣excosx，
∴F'（x）＝a﹣excosx+exsinx＝a+ex（sinx﹣cosx）＝a+，
当x时，，此时≥0，
又∵a≥0，∴F'（x）≥0，
∴F（x）在区间[]上单调递增，
∴F（x）max＝F（）＝，F（x）min＝F（）＝﹣．
（Ⅲ）a＝+1．（写出a＞的任意一个实数即可）．
20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，O为坐标原点，F是椭圆C的右焦点，A为椭圆C上一点，且AF⊥x轴，|AF|＝．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l：＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝4相交于点N．证明：为定值．
解：（Ⅰ）设F（c，0），A（c，y0），则，
又因为，所以，
因为，
所以，解得，
由，解得，
所以椭圆方程为；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知直线l的方程为，即，
因为直线AF的方程为x＝1，
所以直线l与AF的交点为，
直线l与直线x＝4的交点为，
则①，
又P（x0，y0）是C上一点，则，
代入①得，＝，
所以，
所以为定值．
21．已知数集A＝{a1，a2，a3，…，an}（1≤a1＜a2＜a3＜…＜an，n≥2，n∈N*）．如果对任意的i，j（1≤i≤j≤n且i，j，n∈N*），aiaj与两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P．
（Ⅰ）分别判断数集{2，3，6}，{1，3，4，12}是否具有性质P，并说明理由；
（Ⅱ）设数集A＝{a1，a2，a3，…，an}（1≤a1＜a2＜a3＜…＜an，n≥2，n∈N*）具有性质P．
①若ak∈N*（k＝1，2，3，…），证明：对任意1≤i≤n（i，n∈N*）都有ai是an的因数；
②证明：ann＝a12•a22•a32•…•an2．
解：（Ⅰ）∵6×6＝36与6÷6＝1均不属于数集{2，3，6}，
∴数集{2，3，6}不具有性质P，
∵1×1，1×3，1×4，1×12，均属于数集{1，3，4，12}，
∴数集{1，3，4，12}具有性质P．
（Ⅱ）①证明：∵数集a1，a2，a3，•••，an}，（1≤a1＜a2＜a3＜•••＜an，n≥2）具有性质P，
若ak∈N*（k＝1，2，3，•••），即数集A中各个元素都是整数，
假设存在一个数ai不是an的因数，
∵ai为整数，且不是an的因数，
∴ai＞1，则ai•an＞an，∴aian∉A，
∵ai不是an的因数，不是整数，∉A，
这与数集A具有性质P相矛盾，
∴假设不成立，
∴对任意1≤i≤n都有ai是an的因数．
②证明：∵A＝{a1，a2，•••，an}具有性质P，
∴anan与中至少有一个属于A，且1≤a1＜a2＜•••＜an，
∴anan＞an，∴anan∉A，∴1＝，
∴a1＝1，∴1＝a1＜a2＜•••＜an，
∴akan＞an，∴akan∉A（k＝2，3，•••，n），
由A具有性质P知∈A，（k＝1，2，3，•••，n），
又，
∴，•••，＝an﹣1，，
＝a1×a2ו••×an﹣1×an，
＝a1×a2ו••×an﹣1×an，
∴ann＝a12•a22•a32•…•an2．