专题复习8 解一元一次方程-2021-2022学年七年级数学上册同步知识清单+例题讲解+练习（人教版）

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知识点一：解一元一次方程的步骤：
第一步：去分母——等式左右两边每一项均乘以所有分母的最小公倍数。
第二步：去括号——注意符号是否发生变化。
第三步：移项——把含有未知数的项移到等号的左边，常数项移到等号的右边。在移项的过程中，被移动的项一定要变符号。
第四步：合并——按照合并同类项的方法合并。
第五步：系数化为1——等式左右两边同时除以系数或乘以系数的倒数。
例题讲解：
类型一：根据解方程的步骤解方程：
1．解下列方程．
（1）2（x﹣2）﹣3（4x﹣1）＝9（1﹣x）；（2）；
；（4）
【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（3）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（4）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：（1）去括号得：2x﹣4﹣12x+3＝9﹣9x，
移项合并得：﹣x＝10，
解得：x＝﹣10；
（2）去分母得：4x﹣2﹣5x﹣2＝3﹣6x﹣12，
移项合并得：5x＝﹣5，
解得：x＝﹣1；
（3）去分母得：3x﹣5x﹣11＝6+4x﹣8，
移项合并得：﹣6x＝9，
解得：x＝﹣1.5；
（4）方程整理得：＝0.75，即15+x﹣20﹣3x＝0.75，
移项合并得：﹣2x＝5.75，
解得：x＝﹣．
2．解方程：
（1）6x﹣7＝4x﹣5．（2）2﹣（1﹣y）＝﹣2．
（3）2（y+2）﹣3（4y﹣1）＝9（1﹣y）．（4）3（x+1）﹣2（x+2）＝2x+3．
【分析】（1）方程移项、合并同类项、系数化为1即可；
（2）方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；
（3）去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；
（4）方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；
．
【解答】解：（1）6x﹣7＝4x﹣5，
移项，得6x﹣4x＝﹣5+7，
合并同类项，得2x＝2，
系数化为1，得x＝1；
（2）2﹣（1﹣y）＝﹣2，
去括号，得2﹣1+y＝﹣2，
移项，得y＝﹣2﹣2+1，
合并同类项，得y＝﹣3；
（3）2（y+2）﹣3（4y﹣1）＝9（1﹣y），
去括号，得2y+4﹣12y+3＝9﹣9y，
移项，得2y﹣12y+9y＝9﹣4﹣3，
合并同类项，得﹣y＝2，
系数化为1，得y＝﹣2；
（4）3（x+1）﹣2（x+2）＝2x+3，
去括号，得3x+3﹣2x﹣4＝2x+3，
移项，得3x﹣2x﹣2x＝3﹣3+4，
合并同类项，得﹣x＝4，
系数化为1，得x＝﹣4；
类型二：错解方程求方程的解：
2．某同学解方程5x﹣1＝□x+3时，把“□”处的系数看错了，解得x＝﹣4，他把“□”处的系数看成了（ ）
A．4B．﹣9C．6D．﹣6
【分析】设□为a，把x＝﹣4代入方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：设□为a，
把x＝﹣4代入方程得：5×（﹣4）﹣1＝﹣4a+3，
∴﹣4a+3＝﹣21，
∴﹣4a＝﹣24，
∴a＝6，
故选：C．
3．小明在解方程去分母时，方程右边的﹣1没有乘3，因而求得的解为x＝2，则原方程的解为（ ）
A．x＝0B．x＝﹣1C．x＝2D．x＝﹣2
【分析】已知小明在解方程去分母时，方程右边的﹣1这个项没有乘3，则所得的式子是：2x﹣1＝x+a﹣1，把x＝2代入方程即可得到一个关于a的方程，求得a的值，然后把a的值代入原方程，解这个方程即可求得方程的解．
【解答】解：根据题意，得：2x﹣1＝x+a﹣1，
把x＝2代入这个方程，得：3＝2+a﹣1，
解得：a＝2，
代入原方程，得：，
去分母，得：2x﹣1＝x+2﹣3，
移项、合并同类项，得：x＝0，故选：A．
类型三：方程的特殊解：
4．已知k为整数，关于x的方程（k+2）x＝3有正整数解，则满足条件的k的值有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．无数多个
【分析】先解方程，得到一个含有字母k的解，然后用完全归纳法解出k的值．
【解答】解：（k+2）x＝3，
解得x＝，
∵k为整数，关于x的方程（k+2）x＝3有正整数解，
∴k＝±1，
即满足条件的k的值有2个．
故选：B．
5．若方程2（x﹣1）﹣6＝0与关于x的方程＝1的解互为相反数，则a的值为（ ）
A．﹣B．C．D．﹣1
【分析】求出第一个方程的解，得出第二个方程的解是x＝﹣4，再把x＝﹣4代入第二个方程，即可求出答案．
【解答】解：解方程2（x﹣1）﹣6＝0得：x＝4，
∵方程2（x﹣1）﹣6＝0与关于x的方程＝1的解互为相反数，
∴方程＝1的解是x＝﹣4，
把x＝﹣4代入方程＝1得：＝1，
解得：a＝﹣，
故选：A．
6．如果方程﹣6x＝﹣3与关于x的方程7x﹣2k＝4的解互为倒数，则k的值为（ ）
A．5B．﹣5C．﹣D．
【分析】分别解方程，再利用倒数的定义得出等式求出答案．
【解答】解：方程﹣6x＝﹣3的解是：x＝，
方程7x﹣2k＝4的解是：x＝，
∵方程﹣6x＝﹣3与关于x的方程7x﹣2k＝4的解互为倒数，
∴×＝1，
解得：k＝5．
故选：A．
7．关于x的方程5m+3x＝1+x的解比关于x的方程2x+m＝3m的解大2，则m的值为（ ）
A．﹣B．C．D．﹣
【分析】首先解两个方程，利用m表示x的值，然后根据方程5m+3x＝1+x的解比关于x的方程2x+m＝3m的解大2，即可列方程求得m的值．
【解答】解：解方程5m+3x＝1+x得：x＝，
解方程2x+m＝3m得x＝m，
根据题意得：﹣m＝2，
解得：m＝﹣．
故选：A．
8．已知关于x的方程的解为偶数，则整数a的所有可能的取值的和为（ ）
A．8B．4C．7D．﹣2
【分析】先用含a的式子表示出原方程的解，再根据解为偶数，可求得a的值，则其和可求．
【解答】解：由得：ax﹣1＝2x+9，
解得：x＝．
∵x的值是偶数，a是整数，
∴a﹣2的值可能为5，1，﹣5，﹣1．
∴a的值可能为7，3，﹣3，1，
∴符合条件的所有整数a的和是：7+3﹣3+1＝8．
故选：A．
类型四：定义新运算解方程：
9．若规定这样一种新运算法则：a*b＝a2﹣2ab．如3*（﹣2）＝32﹣2×3×（﹣2）＝21．
（1）求2*（﹣3）的值；
（2）若（﹣4）*x＝﹣2﹣x，求x的值．
【分析】（1）根据a*b＝a2﹣2ab，求出2*（﹣3）的值是多少即可．
（2）根据（﹣4）*x＝﹣2﹣x，可得16+8x＝﹣2﹣x，据此求出x的值是多少即可．
【解答】解：（1）2*（﹣3）＝22﹣2×2×（﹣3）＝4+12＝16；
（2）∵（﹣4）*x＝﹣2﹣x，
∴16+8x＝﹣2﹣x，
8x+x＝﹣2﹣16，
9x＝﹣18，
x＝﹣2．
10．我们定义一种新运算：a*b＝2a+ab（等号右边为通常意义的运算）：
（1）若，求x的值；
（2）若（﹣3）*（2*x）＝x+24，求x的值．
【分析】（1）根据新定义运算列出方程即可求出x的值；
（2）根据新定义运算列出方程即可求出x的值；
【解答】解：（1）3*x＝2×3+3x＝6+3x
*x＝2×+x＝1+x，
∴6+3x＝1+x，
∴x＝﹣2；
（2）∵2*x＝2×2+2x＝4+2x，
∴﹣3*（2*x）＝2（﹣3）+（﹣3）（4+2x）＝﹣6﹣12﹣6x＝﹣18﹣6x，
∴﹣18﹣6x＝x+24，
∴x＝﹣6
课后练习：
一．选择题（共12小题）
1．方程x﹣2＝2﹣x的解是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝2D．x＝0
【分析】解本题的过程是移项，合并同类项，最后把系数化为1，就可求出x的值．
【解答】解：移项得：x+x＝2+2
即2x＝4
∴x＝2．
故选：C．
2．解方程5x﹣3＝2x+2，移项正确的是（ ）
A．5x﹣2x＝3+2B．5x+2x＝3+2C．5x﹣2x＝2﹣3D．5x+2x＝2﹣3
【分析】方程利用等式的基本性质移项得到结果，即可作出判断．
【解答】解：移项得：5x﹣2x＝2+3，
故选：A．
3．解方程2（3x﹣1）﹣（x﹣4）＝1时，去括号正确的是（ ）
A．6x﹣1﹣x﹣4＝1B．6x﹣1﹣x+4＝1C．6x﹣2﹣x﹣4＝1D．6x﹣2﹣x+4＝1
【分析】方程去括号得到结果，即可作出判断．
【解答】解：去括号得：6x﹣2﹣x+4＝1，
故选：D．
4．解一元一次方程（x+1）＝1﹣x时，去分母正确的是（ ）
A．3（x+1）＝1﹣2xB．2（x+1）＝1﹣3x
C．2（x+1）＝6﹣3xD．3（x+1）＝6﹣2x
【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．
【解答】解：方程两边都乘以6，得：3（x+1）＝6﹣2x，
故选：D．
5．下列各题正确的是（ ）
A．由7x＝4x﹣3移项得7x﹣4x＝3
B．由＝1+去分母得2（2x﹣1）＝1+3（x﹣3）
C．由2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1去括号得4x﹣2﹣3x﹣9＝1
D．由2（x+1）＝x+7去括号、移项、合并同类项得x＝5
【分析】根据解一元一次方程的步骤计算，并判断．
【解答】解：A、由7x＝4x﹣3移项得7x﹣4x＝﹣3，故错误；
B、由＝1+去分母得2（2x﹣1）＝6+3（x﹣3），故错误；
C、由2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1去括号得4x﹣2﹣3x+9＝1，故错误；
D、正确．
故选：D．
6．定义“*”运算为a*b＝ab+2a，若（3*x）+（x*3）＝14，则x＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
【分析】根据题目定义的运算可得关于x的一元一次方程，求解即可．
【解答】解：根据题意（3*x）+（x*3）＝14，
可化为：（3x+6）+（3x+2x）＝14，
解得x＝1．
故选：B．
7．规定＝ad﹣b c，若，则x的值是（ ）
A．﹣60B．4.8C．24D．﹣12
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．
【解答】解：根据题中的新定义化简得：16+2x＝﹣3x﹣2﹣42，
移项合并得：5x＝﹣60，
解得：x＝﹣12．
故选：D．
8．把方程的分母化为整数，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】方程左边第一项与右边分子分母乘以10变形即可得到结果．
【解答】解：方程变形得：．
故选：C．
9．若代数式值比的值小1，则k的值为（ ）
A．﹣1B．C．1D．
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到k的值．
【解答】解：根据题意得：+1＝，
去分母得：2k+2+6＝9k+3，
移项合并得：7k＝5，
解得：k＝，
故选：D．
10．一元一次方程x﹣1＝2的解表示在数轴上，是图中数轴上的哪个点（ ）
A．D点B．C点C．B点D．A点
【分析】去分母，移项合并，把x系数化为1求出方程的解，即可作出判断．
【解答】解：方程去分母得：x﹣2＝4，
解得：x＝6，
把方程的解表示在数轴上，是图中数轴上的D点，
故选：A．
11．方程2y﹣＝y﹣中被阴影盖住的是一个常数，此方程的解是y＝﹣．这个常数应是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】设这个常数为a，将y的值代入方程计算即可求出a的值．
【解答】解：设阴影部分表示的数为a，
将y＝﹣代入，得：﹣﹣＝﹣﹣a，
解得：a＝3，
故选：C．
12．阅读：关于x方程ax＝b在不同的条件下解的情况如下：（1）当a≠0时，有唯一解x＝；（2）当a＝0，b＝0时有无数解；（3）当a＝0，b≠0时无解．请你根据以上知识作答：已知关于x的方程•a＝﹣（x﹣6）无解，则a的值是（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．a≠1
【分析】要把原方程变形化简后再讨论没有解时a的值应该是什么．
【解答】解：去分母得：2ax＝3x﹣（x﹣6），
去括号得：2ax＝2x+6
移项，合并得，（a﹣1）x＝3，
因为无解；
所以a﹣1＝0，即a＝1．
故选：A．
二．填空题（共8小题）
13．若5x+2与﹣2x+9互为相反数，则x的值为 ．
【分析】互为相反数的两个数之和为0，根据题意列出方程（5x+2）+（﹣2x+9）＝0，然后直接解出答案．
【解答】解：根据题意得：（5x+2）+（﹣2x+9）＝0，
去括号得：5x+2﹣2x+9＝0，
合并同类项得：3x＝﹣11，
系数化1得：x＝﹣．
14．若x＝2是方程ax+3bx﹣10＝0的解，则3a+9b的值为 ．
【分析】把x＝2代入方程ax+3bx﹣10＝0求出a+3b＝5，变形后代入求出即可．
【解答】解：把x＝2代入方程ax+3bx﹣10＝0得：2a+6b＝10，
即a+3b＝5，
所以3a+9b＝3×5＝15，
故答案为：15．
15．已知关于x的一元一次方程k x＝5，k的值为单项式﹣的系数与次数之和，则这个方程的解为x＝ ．
【分析】解答此题的关键是根据题意求出k的值，然后列方程，求解即可．
【解答】解：由题意可知，k＝﹣+3＝，
列方程，得x＝5，
方程两边同乘以，
得x＝2．故答案为：2．
16．x＝2时，代数式2x2+（3﹣c）x+c的值是10，则当x＝﹣3时，这个代数式的值为 ．
【分析】把x＝2代入代数式2x2+（3﹣c）x+c＝10去求出c，然后c的值和x＝﹣3代入代数式2x2+（3﹣c）x+c求值则可．
【解答】解：∵x＝2，
∴2x2+（3﹣c）x+c＝10，
则c＝4，
∴2x2+（3﹣c）x+c＝18+3+4＝25．
17．当x＝ 时，代数式与1﹣的值相等．
【分析】根据题意可得方程＝1﹣，根据一元一次方程的求解方法即可求得结果．
【解答】解：根据题意得：＝1﹣，
去分母得：3（1﹣x）＝6﹣2（x+1），
去括号得：3﹣3x＝6﹣2x﹣2，
移项合并同类项得：﹣x＝1，
系数化1，得：x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
18．规定一种运算“@”使得a@b＝ab+a+b，若2@x＝﹣5，则x的值为 ．
【分析】根据题中的新定义将所求式子化为一元一次方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题意得：2@x＝2x+2+x＝﹣5，
解得：x＝﹣．
故答案为：﹣．
19．已知x＝4是关于x的一元一次方程﹣3m﹣x＝+3m的解，则m2018+1的值是 ．
【分析】把x＝4代入方程﹣3m﹣x＝+3m得到关于m的一元一次方程，解之，得到m的值，代入m2018+1，计算求值即可．
【解答】解：把x＝4代入方程﹣3m﹣x＝+3m得：
﹣3m﹣4＝2+3m，
解得：m＝﹣1，
m2018+1＝（﹣1）2018+1＝1+1＝2，
故答案为：2．
20．定义新运算：a Ʊb＝a﹣b+ab，例如：（﹣4）Ʊ3＝﹣4﹣3+（﹣4）×3＝﹣19，那么当（﹣x）Ʊ（﹣2）＝2x时，x＝ ．
【分析】已知等式利用题中的新定义列出方程，计算即可求出解．
【解答】解：∵a Ʊb＝a﹣b+ab，（﹣x）Ʊ（﹣2）＝2x，
∴﹣x+2+2x＝2x，
解得x＝2．
故答案为：2．
三．解答题（共6小题）
21．解下列方程：
（1）﹣＝2﹣；（2）﹣＝．
【分析】（1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：（1）去分母，得4（7x﹣1）﹣6（5x+1）＝24﹣3（3x+2），
去括号，得28x﹣4﹣30x﹣6＝24﹣9x﹣6，
移项、合并同类项，得7x＝28，
系数化为1，得x＝4；
（2）整理，得﹣＝，
去分母，得8﹣90x﹣6（13﹣30x）＝4（50x+10），
去括号，得8﹣90x﹣78+180x＝200x+40．
移项、合并同类项，得﹣110x＝110．
系数化为1，得x＝﹣1．
22．若关于x的方程x+m﹣3＝0和+2m＝2x﹣1的解的和为4，求m的值．
【分析】表示出两个方程的解，由两个解和为4求出m的值即可．
【解答】解：方程x+m﹣3＝0的解为x＝3﹣m，方程+2m＝2x﹣1解为：x＝（2m+1），
根据题意得：3﹣m+（2m+1）＝4，
去分母得：9﹣3m+4m+2＝12，
移项合并得：m＝1．
23．已知y1＝6﹣x，y2＝2+7x，解答下列问题：
（1）当y1＝2y2时，求x的值；
（2）当x取何值时，y1比y2小﹣3．
【分析】（1）根据y1＝6﹣x，y2＝2+7x，若y1＝2y2，列出关于x的方程，解方程即可；
（2）根据y1比y2小﹣3，列出关于x的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）由题意得：6﹣x＝2（2+7x）．
∴x＝．
（2）由题意得：2+7x﹣（6﹣x）＝﹣3，
∴x＝．
24．m为何值时，代数式的值与代数式的值的和等于5？
【分析】由于代数式的值与代数式的值的和等于5，由此可以得到一个关于m的一元一次方程，解此方程即可求出m的值．
【解答】解：根据题意得：+＝5，
去分母得：12m﹣2（5m﹣1）+3（7﹣m）＝30，
去括号得：12m﹣10m+2+21﹣3m＝30，
移项合并同类项得：﹣m＝7，
系数化1得：m＝﹣7．
25．关于x的方程x﹣2m＝﹣3x+4与2﹣m＝x的解互为相反数．
（1）求m的值；
（2）求这两个方程的解．
【分析】（1）先求出第一个方程的解，然后根据互为相反数的和等于0列式得到关于m的方程，再根据一元一次方程的解法求解即可；
（2）把m的值代入两个方程的解计算即可．
【解答】解：（1）由x﹣2m＝﹣3x+4得：x＝m+1，
依题意有：m+1+2﹣m＝0，
解得：m＝6；
（2）由m＝6，
解得方程x﹣2m＝﹣3x+4的解为x＝×6+1＝3+1＝4，
解得方程2﹣m＝x的解为x＝2﹣6＝﹣4．
26．已知x＝3是方程的解，n满足关系式|2n+m|＝1，求m+n的值．
【分析】把x＝3代入方程，求出m的值，把m的值代入关系式|2n+m|＝1，求出n的值，进而求出m+n的值．
【解答】解：把x＝3代入方程，
得：3（2+）＝2，
解得：m＝﹣．
把m＝﹣代入|2n+m|＝1，
得：|2n﹣|＝1
得：①2n﹣＝1，②2n﹣＝﹣1．
解①得，n＝，
解②得，n＝．
∴（1）当m＝﹣，n＝时，
m+n＝﹣；
（2）当m＝﹣，n＝时，m+n＝﹣；
综上所述，m+n的值为﹣或﹣．