2020年广东省汕头市高考数学一模试卷（文科）(含解析）

绝密★启用前2020年广东省汕头市高考数学一模试卷（文科）注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上1. 已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，则A∩∁UB=（　　）A.{1，2，3，4} B.{1，2，7} C.{1，2} D.{1，2，3}2. 下列各式的运算结果虚部为1的是（　　）A.i（i-1）B.C.2+i2D.（1+i）2-i3. 从甲、乙、丙、丁4名同学中，任意安排2名同学早上到校门口值日，另外2名同学下午到校门口值日，则甲和丁不在一起值日的概率为（　　）A.B.C.D.4. 若实数x，y满足，则z=2x-y的最大值是（　　）A.9 B.12 C.3 D.65. 近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是2013-2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是（　　）①2013-2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加②2013-2018年这6年中，2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小③2016-2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平A.①②③ B.②③ C.①② D.③6. 已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的2倍，焦距等于2，则椭圆C的方程为（　　）A.+y2=1B.+=1C.+=1D.=17. 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与直线y=a（0＜a＜A）的三个相邻交点的横坐标分别为2、4、8，则f（x）的单调递减区间为（　　）A.[6kπ，6kπ+3]，k∈Z B.[6kπ-3，6kπ]，k∈ZC.[6k，6k+3]，k∈Z D.[6k-3，6k]，k∈Z8. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn+2=2an（n∈N*），=（　　）A.2B.C.D.9. 已知四边形ABCD为平行四边形，||=，||=，M为CD中点，=2，则•=（　　）A.B.C.1D.10. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（-∞，0]时，f（x）=x2+2ax，若曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线过点 （2，0），则a=（　　）A.-B.1C.2D.11. “今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五中“商功”中的问题．意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱柱体），下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长126丈5尺（1丈=10尺）”，则该问题中“城”的体积等于（　　）A.1.8975×106立方尺B.3.7950×106立方尺C.2.5300×105立方尺D.1.8975×105立方尺12. 已知函数y=f（x-2）的图象关于点 （2，0）对称，函数y=f（x）对于任意的x∈（0，π）；满足f（x）cosx＞f'（x）sinx（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（　　）A.f（-）＞f（）B.f（-）＜f（）C.f（-）＞f（）D.f（-）＞f（-）13. 已知函数f（x）=，则f[f（-2）]=______．14. 记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S1=1，S5=25，则S6=______．15. 已知过点 （1，0）的直线l被圆x2+y2-6x-7=0截得的弦长为2，则直线l的方程为______．16. 体积为的三棱锥A-BCD中，BC=AC=BD=AD=3，CD=2，AB＜2，则该三棱锥外接球的表面积为______．17. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，已知btanA=（2c-b）tanB．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为3，b+c=5，求a的值．18. 在四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且有AB∥DC，AC=CD=DA=AB．（1）证明：BC⊥PA；（2）若PA=PC=AC=，Q在线段PB上，满足PQ=2QB，求三棱锥P-ACQ的体积．19. 从某小区抽取50户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图1．（1）求频率分布直方图中x的值并估计这50户用户的平均用电量；（2）若将用电量在区间[50，150）内的用户记为A类用户，标记为低用电家庭，用电量在区间[250，350）内的用户记为B类用户，标记为高用电家庭，现对这两类用户进行问卷调查，让其对供电服务进行打分，打分情况见茎叶图如图2：①从B类用户中任意抽取1户，求其打分超过85分的概率；②若打分超过85分视为满意，没超过85分视为不满意，请填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“满意度与用电量高低有关”？附表及公式：，n=a+b+c+d．20. 已知函数f（x）=lnx+（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）≥a，求a的取值范围．21. 已知抛物线C：y=x2，过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且A，B两点在抛物线C的准线上的投影分别P、Q．（1）已知D（-1，0），若（++）•=0，求直线l的方程；（2）设P、Q的中点为M，请判断PF与MB的位置关系并说明理由．22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：（α为参数），已知直线l1：x-y=0，直线l2：x-y=0以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C以及直线l1，l2的极坐标方程；（2）若直线l1与曲线C分别交于O、A两点，直线l2与曲线C分别交于O、B两点，求△AOB的面积．23. 设函数f（x）=|x+a|．（1）当a=-2时，求不等式≤f（x）＜的解集；（2）若ɛ＞0，f（-1）＜，f（b-a-2）＜，证明|2a+b-4|＜ɛ．参考答案及解析一、 选择题1. 【答案】C 【解析】解：由已知：∁UB={1，2，7}，A={1，2，3，4}∴A∩∁UB={1，2}故选：C．由已知求∁UB={1，2，7}，再求交集．本题主要考查集合交，补基本运算，比较基础．2. 【答案】D 【解析】解：A．i（i-1）=-1-i，虚部为-1．B.==1-i，虚部为-1．C.2+i2=1，虚部为0．D．（1+i）2-i=2i-i=i，虚部为1．故选：D．利用复数的运算性质化简，再利用虚部的定义即可判断出结论．本题考查了复数的运算性质、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 【答案】C 【解析】解：从甲、乙、丙、丁4名同学中，任意安排2名同学早上到校门口值日，另外2名同学下午到校门口值日，基本事件总数n==6，甲和丁不在一起值日的对立事件是甲和丁在一起值日，则甲和丁不在一起值日的概率为P=1-=．故选：C．基本事件总数n==6，甲和丁不在一起值日的对立事件是甲和丁在一起值时，由此能求出甲和丁不在一起值日的概率．本题考查概率的求法，考查古典概率、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4. 【答案】A 【解析】解：由实数x，y满足，作出可行域：联立，解得A（4，-1），化z=2x-y为y=2x-z，由图可知，当直线y=2x-z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为：9．故选：A．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5. 【答案】A 【解析】解：由2013-2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况和折线图，得：在①中，2013-2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加，故①正确；在②中，2013-2018年这6年中，2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小，故②正确；在③中，2016-2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平，故③正确．故选：A．利用折线图的性质直接求解．本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6. 【答案】A 【解析】解：根据条件可得a=2b，c=，又因为a2-b2=c2，则有4b2-b2=3，解得b2=1，所以a2=4，则椭圆C的方程为．故选：A．根据条件得到a=2b，c=，结合a2-b2=c2，解出a，b即可本题考查椭圆标准方程的求解，抓住等量关系是关键，考查方程思想，属于基础题．7. 【答案】D 【解析】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与直线y=a（0＜a＜A）的三个相邻交点的横坐标分别为2、4、8，=3，=6，∴=6-3=3，∴T=6，故函数的减区间为[6k+3，6k+6]，即[6k-3，6k]，k∈Z，故选：D．由题意利用正弦函数的图象和性质，求出f（x）的单调递减区间．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．8. 【答案】C 【解析】本题考查数列递推公式的应用，关键求出数列的通项公式，属于基础题．根据题意，由Sn+2=2an可得Sn-1+2=2an-1，两式相减可得（Sn-Sn-1）=2an-2an-1，变形可得an=2an-1，求出a1，分析可得数列{an}是首项为a1=2，公比为2的等比数列，结合等比数列的性质求出S4和a2，计算可得答案．解：根据题意，数列{an}中，Sn+2=2an①则有Sn-1+2=2an-1②，①-②可得：（Sn-Sn-1）=2an-2an-1，即an=2an-2an-1，变形可得an=2an-1，对于Sn+2=2an，令n=1可得：S1+2=2a1，即a1+2=2a1，解可得a1=2，故数列{an}是首项为a1=2，公比为2的等比数列，则S4==30，a2=4，则==；故选：C．9. 【答案】A 【解析】解：∵||=，||=，M为CD中点，=2，∴，∴•==，故选：A．先根据已知条件可求得，而•=，然后将其展开，利用平面向量数量积进行运算求解即可．本题考查平面向量的混合运算，尤其是平面向量的数量积，考查学生的转化能力和计算能力，属于基础题．10. 【答案】D 【解析】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（-∞，0]时，f（x）=x2+2ax，∴当x＞0时，f（x）=-x2+2ax，此时f'（x）=-2x+2a，∴f（x）在（1，f（1））处的斜率k=f'（1）=-2+2a，又f（1）=-1+2a，∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y+1-2a=（-2+2a）（x-1）．∵曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线过点 （2，0），∴1-2a=（-2+2a）（2-1），∴a=．故选：D．先根据条件求出x＞0时f（x）的解析式，然后求出曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程，再由切线过点（2，0）求出a的值．本题考查了根据函数的奇偶性求解析式和利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题．11. 【答案】A 【解析】解：由题意，直四棱柱的底面积S=平方尺；又直四棱柱的高为1265尺，∴该问题中“城”的体积等于1500×1265=1.8975×106立方尺．故选：A．由已知求出直四棱柱的底面积，再由棱柱的体积公式求解．本题考查直四棱柱体积的求法，是基础的计算题．12. 【答案】B 【解析】解：由题意得，函数y=f（x-2）的图象关于点（2，0）对称，故f（x）的图象关于原点对称，故f（x）是奇函数，由函数y=f（x）对于任意的x∈（0，π）满足f′（x）sinx＞f（x）cosx，令g（x）=，故g′（x）=＜0，故g（x）在（0，π）递减，故g（）＞g（）＞g（）＞g（）＞g（），故f（）＞f（），2f（）＞f（），f（）＞f（），f（）＞f（），∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，g（）＞g（-）∴f（）＞f（-），故选：B．求出函数的奇偶性，令g（x）=，求出函数的导数，根据函数的单调性判断即可．本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查导数的应用以及函数求值，是一道中档题．二、 填空题13. 【答案】 【解析】解：因为f（x）=，∴f（-2）==2；∴f[f（-2）]=2-2=．故答案为：．根据分段函数的解析式，先求出f（）的值，再求f[f（）]的值．本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．14. 【答案】36 【解析】​​​​​​​本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．设等差数列{an}的公差为d，由S1=1，S5=25，利用求和公式可得：5+10d=25，解得d，进而得出S6．解：设等差数列{an}的公差为d，∵S1=1，S5=25，∴5+10d=25，解得d=2．则S6=6+=36．故答案为：36．15. 【答案】y-或 【解析】解：由圆x2+y2-6x-7=0，得（x-3）2+y2=16，则圆心坐标为（3，0），半径为4．由弦长为2，半径为4，可得圆心到直线的距离为d=．当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=1，不合题意；当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-1），即kx-y-k=0．由，解得k=．∴直线l的方程为：y-或．故答案为：y-或．由圆的方程求得圆心坐标与半径，结合弦长求出圆心到直线的距离，可知所求直线的斜率存在，设直线方程为y=k（x-1），即kx-y-k=0，由圆心到直线的距离列式求得k值，则直线方程可求．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，考查计算能力，是中档题．16. 【答案】 【解析】解：取AB的中点E，连接DE，CE，因为BC=AC=BD=AD=3，所以CE⊥AB，DE⊥AB，DE∩CE=E，所以AB⊥面CDE，且DE=CE，取CD的中点，连接EP，则EP⊥CD，所以VA-BCD=AB•SCDE=•AB•=•AB=•AB=•AB，因为VA-BCD=，所以=•AB，因为AB＜2，所以解得AB=2；AE=1，DE=CE===2，所以sin∠ACE==，所以sin∠ACB=2sin∠ACE•cos∠ACE=2=，由题意可得D在底面的投影在中线CE所在的直线上，设为F，设DF=h，设底面ABC的外接圆的半径为r，设圆心为O'，2r==，所以r=，O'E=CE-r=2-=，VA-BCD==SABC•h=•AC2•sin∠ACB•h=•h，解得h=，所以EF===，所以O'F=EF+O'E=+=，过O'作OO'⊥面ABC的垂线，作OH⊥DF于H，则四边形HFO'O为矩形，设外接球的半径为R，取OA=OB=OD=R，在三角形OHD中，OD2=OH2+（DF-FH）2，即R2=O'F2+（-OO'）2=（）2+（-OO'）2，①在三角形OO'中，OC2=CO'2+OO'2=r2+OO'2即R2=（）2+OO'2，②，由①②可得R2=，所以外接球的表面积S=4πR2=4π•=π，故答案为：．由题意取AB的中点E，连接DE，CE，因为BC=AC=BD=AD=3，所以CE⊥AB，DE⊥AB，DE∩CE=E，所以AB⊥面CDE，且DE=CE，取CD的中点，连接EP，则EP⊥CD，再由体积可得AB的值，进而求出底面外接圆的半径，及D到底面的高，由题意求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．本题考查三棱锥与外接球的半径之间的关系，及球的表面积公式，属于中档题三、 解答题17. 【答案】解：（1）△ABC中，btanA=（2c-b）tanB，由正弦定理得sinB•=（2sinC-sinB）•，因为sinB≠0，所以sinAcosB=2sinCcosA-cosAsinB，即sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosA，所以sin（A+B）=2sinCcosB，即sinC=2sinCcosA；又C∈（0，π），所以sinC≠0，所以cosA=；又A∈（0，π），所以A=；（2）因为△ABC的面积为：S△ABC=bcsinA=bcsin=bc=3，所以bc=12；又b+c=5，所以b2+2bc+c2=50，所以b2+c2=26；由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=26-12=14，所以a=． 【解析】（1）根据题意利用正弦定理与三角恒等变换，结合三角形内角和定理，即可求出A的值；（2）利用三角形的面积公式和余弦定理，即可求得a的值．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．18. 【答案】（1）证明：不妨设AB=2a，则AC=CD=DA=a，由△ACD是等边三角形，可得∠ACD=，∵AB∥DC，∴∠CAB=．由余弦定理可得，即BC=，∴BC2+AC2=AB2．∴∠ACB=90°，即BC⊥AC．又平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面PAC，∵PA⊂平面PAC，∴BC⊥PA；（2）解：依题意得，PA⊥PC，=． 【解析】（1）不妨设AB=2a，则AC=CD=DA=a，由已知可得∠ACD=，进一步得到∠CAB=，求解三角形可得∠ACB=90°，即BC⊥AC，再由面面垂直的性质得到BC⊥平面PAC，进一步得到BC⊥PA；（2）依题意得，PA⊥PC，然后利用等体积法求三棱锥P-ACQ的体积．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．19. 【答案】解：（1）×2+0.0012）=0.0044，按用电量从低到高的六组用户数分别为6，9，15，11，6，3，所以平均用电量为=186．（2）①B类用户共9人，打分超过8（5分）的有6人，所以打分超过8（5分）的概率为．②=1.6＜3.841，所以没有95%的把握认为“满意度与用电量高低有关”． 【解析】（1）根据各组矩形面积和（即累积频率和）为1，可得x值，进而利用加权平均数公式，可估计这50户用户的平均用电量；（2）①计算B类用户数，及打分超过8（5分）的户数，进而可得其打分超过85分的概率；②根据已知得到2×2列联表，由独立性检验计算公式计算K2的值，结合独立性检验的意义可得答案；独立性检验，就是要把采集样本的数据，利用公式计算的值，比较与临界值的大小关系，来判定事件A与B是否无关的问题．具体步骤：（1）采集样本数据．（2）由计算的K2值．（3）统计推断，当K2＞3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；当K2＞6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；当K2≤3.841时，认为事件A与B是无关的．20. 【答案】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），，①当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数；②当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=a，在（0，a）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数，在（a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数；（2）由（1）知，①当a≤0时，，即a≥ln2不成立；②当a＞0时，f（x）＞a，即f（x）max≥a，因为a＞0，由（1）知，当x=a时，f（x）取得极小值也是最小值，所以f（x）min=f（a）=lna+1≥a，即lna-a+1≥0成立，设h（a）=lna-a+1（a＞0），令，解得a=1，在（0，1）上，h′（a）＞0，h（a）是增函数，在（1，+∞）上，h′（a）＜0，h（a）是减函数，∴当a=1时，h（a）有最大值h（1）=0，要使得h（a）≥0，即a=1，故实数a的取值范围为{1}． 【解析】（1）求导后，分a≤0及a＞0两种情况讨论即可得出单调性情况；（2）当a≤0时显然不成立，当a＞0时，只需f（x）max≥a即可，进一步利用导数可知只需lna-a+1≥0成立，构造函数h（a）=lna-a+1（a＞0），判断函数h（a）的单调性及最值情况即可得解．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查计算分类讨论思想及数学运算能力，属于中档题．21. 【答案】解：（1）由抛物线的方程y=x2，可得标准方程x2=4y，所以焦点坐标为：（0，1）．设A（x1，y1），B（x2，y2），所以=（x1，y1），=（x2，y2），=（-1，0），因为（++）•=0可得：x1+x2=1，又x12=4y1，x22=4y2，两式相减（x1-x2）（x1+x2）=4（y1+y2），所以=，所以直线l的方程：y=x+1；（2）PF∥MB，理由如下：由题意可得准线方程为y=-1，由题意设直线l的方程为：y=kx+1，流量直线与抛物线的方程整理可得：x2-4kx-4=0，x1+x2=4k，x1x2=-4由题意可得P（x1，-1），Q（x2，-1），M（，-1），所以=（x1，2），=（x2-，y2+1）=（，y2+1），因为2•-（-x1）（y2+1）=x2-x1+x1y2+x1=x2+x1y2=x2+x1（kx2+1）=x1+x2+kx1x2=4k-4k=0，所以PF∥MB． 【解析】（1）由题意可得焦点F的坐标，设A，B的坐标，求出=（x1，y1），=（x2，y2），=（-1，0），由（++）•=0可得A，B的横坐标之和，再将A，B的坐标代入点差法求出斜率，进而求出直线的方程；（2）由题意和（1）可得P，Q，M的坐标，求出直线PF，MB的斜率相减可得等于0，可得直线PF，MB平行．本题考查抛物线的性质及点差法求直线的斜率，直线与抛物线的综合应用，属于中档题．22. 【答案】解：（1）曲线C的参数方程为：（α为参数），转换为直角坐标方程为（x-3）2+y2=9．已知直线l1：x-y=0，转换为极坐标方程为，直线l2：x-y=0转换为直角坐标方程为．（2）曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ，所以，解得，所以A（3）．同理，解得，所以B（3，），所以． 【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23. 【答案】解：（1）当a=-2时，f（x）=|x-2|，则即为，等价于，解得，∴不等式的解集为；（2）证明：由已知，ɛ＞0，f（-1）=|a-1|＜，f（b-a-2）=|b-2|＜，则|2a+b-4|=|2a-2+b-2|≤2|a-1|+|b-2|＜，∴|2a+b-4|＜ɛ． 【解析】（1）将a=-2代入，可得，再分别求解取交集即可；（2）利用已知条件，结合绝对值不等式的性质可得|2a+b-4|=|2a-2+b-2|≤2|a-1|+|b-2|＜，由此得证．本题考查绝对值不等式的解法以及绝对值不等式性质的运用，考查推理能力及计算能力，属于基础题．题号一二三总分得分评卷人得分一、 选择题（共12题）评卷人得分二、 填空题（共4题）评卷人得分三、 解答题（共7题）满意不满意合计A类用户B类用户合计P（K2≥k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828满意不满意合计A类用户6915B类用户639合计121224