高中数学人教版新课标A必修33.3.1几何概型精品复习练习题

这是一份高中数学人教版新课标A必修33.3.1几何概型精品复习练习题，共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知函数f(x)＝2x，若从区间[－2，2]上任取一个实数x，则使不等式f(x)>2成立的概率为( A )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,3)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(2,3)
[解析] 这是一个几何概型，其中基本事件的总数构成的区域对应的长度是2－(－2)＝4，由f(x)>2可得x>1，所以满足题设的基本事件构成的区域对应的长度是2－1＝1，则使不等式f(x)>2成立的概率为eq \f(1,4)．
2．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40 s．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15 s才出现绿灯的概率为( B )
A．eq \f(7,10)B．eq \f(5,8)
C．eq \f(3,8)D．eq \f(3,10)
[解析] 记“至少需要等待15 s才出现绿灯”为事件A，则P(A)＝eq \f(40－15,40)＝eq \f(5,8)．
3．已知ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点P，则取到的点P到O的距离大于1的概率为( B )
A．eq \f(π,4)B．1－eq \f(π,4)
C．eq \f(π,8)D．1－eq \f(π,8)
[解析] 如图所示，设取到的点P到O的距离大于1为事件M，则点P应在阴影部分内，阴影部分的面积为2×1－eq \f(1,2)×π×12＝2－eq \f(π,2)，所以P(M)＝eq \f(2－\f(π,2),2)＝1－eq \f(π,4)．
4．在长为10 cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间的概率为( B )
A．eq \f(3,10)B．eq \f(1,5)
C．eq \f(2,5)D．eq \f(4,5)
[解析] 在线段AB上任取一点P，事件“正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间”等价于事件“5＜|AP|＜7”，则所求概率为eq \f(7－5,10)＝eq \f(1,5)．
5．在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．若在长方形ABCD内随机取一点，则取到的点到O点的距离大于1的概率为( B )
A．eq \f(π,4)B．1－eq \f(π,4)
C．eq \f(π,8)D．1－eq \f(π,8)
[解析] 长方形的面积为2，以O点为圆心，1为半径作圆，其在长方形内部的部分(半圆)的面积为eq \f(π,2)，因此在长方形内取到的点到O点的距离不大于1的概率为eq \f(π,2)÷2＝eq \f(π,4)，从而取到的点到O点的距离大于1的概率为1－eq \f(π,4)．
6．某人从甲地去乙地共走了500 m，途中要过一条宽为x m的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里就能找到，已知该物品能被找到的概率为eq \f(24,25)，则河宽为( B )
A．16 mB．20 m
C．8 mD．10 m
[解析] 物品在途中任何一处丢失的可能性是相等的，所以符合几何概型的条件．找到的概率为eq \f(24,25)，即掉到河里的概率为eq \f(1,25)，则河流的宽度占总距离的eq \f(1,25)，所以河宽为500×eq \f(1,25)＝20(m)．
二、填空题
7．在区间[－4，8]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为eq \f(5,6)，则m＝__6__．
[解析] 由几何概型知，eq \f(m－－4,12)＝eq \f(5,6)，解得m＝6．
8．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于eq \f(S,4)的概率是__eq \f(3,4)__．
[解析] 如图，设点C到边AB的距离为h，则S△ABC＝eq \f(1,2)|AB|·h，S△PBC＝eq \f(1,2)|PB|·h．又因为S△PBC>eq \f(1,4)S△ABC，所以|PB|>eq \f(1,4)|AB|，故△PBC的面积大于eq \f(S,4)的概率是eq \f(3,4)．
三、解答题
9．在一个大型商场的门口，有一种游戏是向一个画满边长为5 cm的均匀方格的大桌子上掷直径为2 cm的硬币，如果硬币完全落入某个方格中，则掷硬币者赢得一瓶洗发水，请问随机掷一个硬币正好完全落入方格的概率有多大？
[解析] 如图，边长为5 cm的正方形形成的区域表示试验的所有基本事件构成的区域，当硬币的中心落入图中以3 cm为边长的正方形区域时，则试验成功，所以，随机地投一个硬币正好完全落入方格的概率为P＝eq \f(32,52)＝eq \f(9,25)．
10．已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0．
(1)若a，b是一枚骰子掷两次所得的点数，求方程有两正根的概率；
(2)若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求方程没有实根的概率．
[解析] (1)由题意知，本题是一个古典概型，用(a，b)表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件．依题意知，基本事件(a，b)的总数共有36个，一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0有两正根，等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2>0,16－b2>0,Δ≥0))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>2,－4设“方程有两个正根”的事件为A，则事件A包含的基本事件为(6，1)，(6，2)，(6，3)，(5，3)，共4个，因此，所求的概率为P(A)＝eq \f(4,36)＝eq \f(1,9)．
(2)由题意知本题是几何概型，试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|2≤a≤6，0≤b≤4}，其面积为S(Ω)＝16．满足条件的事件为：B＝{(a，b)|2≤a≤6，0≤b≤4，(a－2)2＋b2<16}，其面积为S(B)＝eq \f(1,4)×π×42＝4π，因此，所求的概率为P(B)＝eq \f(4π,16)＝eq \f(π,4)．