专题19 解析几何多选题1（原卷版）+解析版

专题19   解析几何多选题

1.已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（    ）

A．的方程为 B．的离心率为

C．曲线经过的一个焦点 D．直线与有两个公共点

【答案】AC

【解析】对于选项A：由已知，可得，从而设所求双曲线方程为，又由双曲线过点，从而，即，从而选项A正确；

对于选项B：由双曲线方程可知，，，从而离心率为，所以B选项错误；

对于选项C：双曲线的右焦点坐标为，满足，从而选项C正确；

对于选项D：联立，整理，得，由，知直线与双曲线只有一个交点，选项D错误.

故选AC。

2.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，则能使双曲线C的方程为的是(     )

A．离心率为 B．双曲线过点

C．渐近线方程为 D．实轴长为4

【答案】ABC

【解析】由题意，可得：焦点在轴上，且；

A选项，若离心率为，则，所以，此时双曲线的方程为：，故A正确；

B选项，若双曲线过点，则，解得：；此时双曲线的方程为：，故B正确；

C选项，若双曲线的渐近线方程为，可设双曲线的方程为：，

所以，解得：，所以此时双曲线的方程为：，故C正确；

D选项，若实轴长为4，则，所以，此时双曲线的方程为：，故D错误；

故选：ABC.

3.已知P是椭圆C：上的动点，Q是圆D：上的动点，则（    ）

A．C的焦距为

B．C的离心率为

C．圆D在C的内部

D．的最小值为

【答案】 BC

【解析】

，

，则C的焦距为，.

设（），

则，

所以圆D在C的内部，且的最小值为.

故选：BC.

4.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（    ）

A．以线段为直径的圆与直线相离 B．以线段为直径的圆与轴相切

C．当时， D．的最小值为4

【答案】 ACD

【解析】对于选项A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离：

对于选项B，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误.

对于选项C，D，设，，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得 ，，，若设，则，于是，最小值为4；当可得，

，所，.

故选:ACD.

5.已知抛物线的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点、两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】 ABC

【解析】如下图所示：

分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、.

抛物线的准线交轴于点，则，由于直线的斜率为，其倾斜角为，

轴，，由抛物线的定义可知，，则为等边三角形，

，则，，得，

A选项正确；

，又，为的中点，则，B选项正确；

，，（抛物线定义），C选项正确；

，，D选项错误.

故选：ABC.

6.已知点是直线上一定点，点、是圆上的动点，若的最大值为，则点的坐标可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】 AC

【解析】如下图所示：

原点到直线的距离为，则直线与圆相切，

由图可知，当、均为圆的切线时，取得最大值，

连接、，由于的最大值为，且，，

则四边形为正方形，所以，

由两点间的距离公式得，

整理得，解得或，因此，点的坐标为或.

故选：AC.

7.设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（    ）

A． B．离心率

C．面积的最大值为 D．以线段为直径的圆与直线相切

【答案】 AD

【解析】对于A选项，由椭圆的定义可知，所以A选项正确.

对于B选项，依题意，所以，所以B选项不正确.

对于C选项，，当为椭圆短轴顶点时，的面积取得最大值为，所以C选项错误.

对于D选项，线段为直径的圆圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D选项正确.

综上所述，正确的为AD.

8.已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且，M为AB中点，则下列结论正确的是（    ）

A． B．为等腰直角三角形

C．直线AB的斜率为 D．的面积为4

【答案】 AC

【解析】过点向准线作垂线，垂足为，，设，

如下图所示：

A．因为，所以，

又因为，所以，所以平分，

同理可知平分，所以，故结论正确；

B．假设为等腰直角三角形，所以，

所以四点共圆且圆的半径为，

又因为，所以，

所以，所以，所以，显然不成立，故结论错误；

C．设直线的方程为，所以，所以，所以，

又因为，所以，所以，

所以，所以，所以直线的斜率为，故结论正确；

D．取，由上可知，所以，

所以，故结论错误.

故选：AC.

9.已知到两定点，距离乘积为常数16的动点的轨迹为，则（    ）

A．一定经过原点 B．关于轴、轴对称

C．的面积的最大值为45 D．在一个面积为64的矩形内

【答案】 BCD

【解析】设点的坐标为，由题意可得.

对于A，将原点坐标代入方程得，所以，A错误；

对于B，点关于轴、轴的对称点分别为、，

∵，

∵，

则点、都在曲线上，所以，曲线关于轴、轴对称，B正确；

对于C，设，，，则，

由余弦定理得，

当且仅当时等号成立，则，所以，

则的面积为，C正确；

对于D，，

可得，得，解得，

由C知，，得，

曲线在一个面积为的矩形内，D正确.

故选：BCD.

10.瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】 AD

【解析】

设的垂直平分线为，

的外心为欧拉线方程为

与直线的交点为，

，①

 由，，重心为，

代入欧拉线方程，得，②

由 ①②可得或 .

故选:AD。