重庆市丰都县2017-2018学年七年级（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份重庆市丰都县2017-2018学年七年级（上）期末数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了单项选择题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年重庆市丰都县七年级（上）期末数学试卷
　
一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）
1．在0，﹣2，﹣1，这四个数中，最小的数是（　　）
A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．
2．设x是有理数，那么下列各式中一定表示正数的是（　　）
A．2016x B．x+2016 C．|2016x| D．|x|+2016
3．下列说法中，正确的有（　　）
①过两点有且只有一条直线；
②连接两点的线段叫做两点的距离；
③两点之间，垂线最短；
④若AB=BC，则点B是线段AC的中点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．设a、b互为相反数，c、d互为倒数，则2016（a+b）﹣cd的值是（　　）
A．2016 B．0 C．1 D．﹣1
5．如果线段AB=6cm，BC=4cm，且线段A、B、C在同一直线上，那么A、C间的距离是（　　）
A．10cm B．2cm C．10cm或者2cm D．无法确定
6．绝对值小于4.6的整数有（　　）
A．10个 B．9个 C．8个 D．7个
7．下列说法正确的是（　　）
A．x的指数是0 B．x的系数是0
C．﹣3是一次单项式 D．﹣ab的系数是﹣
8．已知x2+3x=2，则多项式3x2+9x﹣4的值是（　　）
A．0 B．2 C．4 D．6
9．2009年我省GDP突破万亿达到10052.9亿元，这意味着安徽已经成为全国GDP万亿俱乐部的第14个成员，10052.9亿元用科学记数法表示为（保留三个有效数字）（　　）元．
A．1.00×1012 B．1.005×1012 C．1.01×1012 D．1.00529×1012
10．剑川仁和超市以120元的价格卖出两件商品，其中一件赚了25%，另一件赔了25%，在这次买卖中该超市（　　）
A．不赔不赚 B．赚了16元 C．赔了16元 D．赚了20元
11．如图，每个图形都由同样大小的矩形按照一定的规律组成，其中第①个图形的面积为6cm2，第②个图形的面积为18cm2，第③个图形的面积为36cm2，…，那么第⑥个图形的面积为（　　）

A．84cm2 B．90cm2 C．126cm2 D．168cm2
12．有理数a、b在数轴上的位置如图，则|a﹣b|﹣2|a﹣c|﹣|b+c|=（　　）

A．a+c B．a﹣c C．2a﹣2b D．3a﹣c
　
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上
13．若3ax+2b3y﹣1与﹣a5b3是同类项，则xy=　　．
14．若与互为相反数，则a的值是　　．
15．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打　　折．
16．从重庆乘火车到北京，沿途经过5个车站方可达到北京站，那么在重庆与北京两站之间需要安排不同的车票　　种．
17．若|a|=8，b2=49，且|a﹣b|=b﹣a，则a﹣b=　　．
18．如图，线段AB表示一根对折以后的绳子，现从P处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段10cm，若AP=PB，则这条绳子的原长为　　cm．

　
三、解答题（本大题共2个小题，每小题共7分，共14分），解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡对应的位置上
19．﹣12+[+8×（﹣3）]×0.5﹣（﹣5）2．
20．某同学在计算一个多项式减去﹣a2﹣2a+1时，因误看做加上﹣a2﹣2a+1，得到的答案3a2﹣2a+4，你能帮助这个同学做出正确答案吗？请写出解答过程．
　
四、解答题（本大题共4个小题，每小题共10分，共40分），解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡对应的位置上
21．解方程：
（1）2（2x﹣1）=3x﹣7；
（2）=1﹣．
22．先化简，再求值：3（x2﹣2xy）﹣2[xy﹣1+（﹣xy+x2）]，其中x=﹣4，y=．
23．如图，∠AOB是平角，射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOD，且∠BOC=4∠AOD，求∠COE的度数．

24．重百商场开展春节促销活动出售A、B两种商品，活动方案有如下两种：
方案一

A
B
标价（单位：元）
90元
100元
每件商品返利
按标价的30%
按标价的15%
例：买一件A商品，只需付款90（1﹣30%）元
方案二
所购商品一律按标价的20%返利
（1）某单位购买A商品30件，B商品20件，选用何种方案划算？能便宜多少钱？
（2）某单位购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数比A商品件数的2倍少一件，若当x=a件时两方案的实际付款一样，求a的值，并说明当x＞a时哪个方案获得的优惠更大．
　
五、解答题（本大题共2个小题，每小题共12分，共24分），解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡对应的位置上
25．列方程解应用题：由甲地到乙地前三分之二的路是高速公路，后三分之一的路是普通公路，高速公路和普通公路交界处是丙地．A车在高速公路和普通公路的行驶速度都是80千米/时；B车在高速公路上的行驶速度是100千米/时，在普通公路上的行驶速度是70千米/时，A、B两车分别从甲、乙两地同时出发相向行驶，在高速公路上距离丙地40千米处相遇，求甲、乙两地之间的距离是多少？
26．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：
32→32+22=13→12+32=10→12+02=1，
70→72+02=49→42+92=97→92+72=130→12+32+02=10→12+02=1，
所以32和70都是“快乐数”．
（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；
（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数”．
　

2017-2018学年重庆市丰都县七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）
1．在0，﹣2，﹣1，这四个数中，最小的数是（　　）
A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．
【考点】18：有理数大小比较．
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣2＜﹣1＜0＜，
∴在0，﹣2，﹣1，这四个数中，最小的数是﹣2．
故选：B．
　
2．设x是有理数，那么下列各式中一定表示正数的是（　　）
A．2016x B．x+2016 C．|2016x| D．|x|+2016
【考点】16：非负数的性质：绝对值．
【分析】根据有理数的运算和绝对值的性质进行判断即可．
【解答】解：当x为负数时，2016x为负数，A错误；
当x＜﹣2016时，x+2016＜0，B错误；
当x=0时，|2016x|=0，C错误；
∵|x|≥0，∴|x|+2016＞0，D正确，
故选：D．
　
3．下列说法中，正确的有（　　）
①过两点有且只有一条直线；
②连接两点的线段叫做两点的距离；
③两点之间，垂线最短；
④若AB=BC，则点B是线段AC的中点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】J4：垂线段最短；IB：直线的性质：两点确定一条直线；ID：两点间的距离．
【分析】根据直线的性质，两点间的距离的定义，垂线段最短对各小题分析判断后即可得解．
【解答】解：①过两点有且只有一条直线，正确；
②连接两点的线段的长度叫做两点的距离，故本小题错误；
③两点之间，线段最短，故本小题错误；
④若AB=BC，点A、B、C不一定在同一直线上，所以点B不一定是线段AC的中点，故本小题错误，
综上所述，正确的是①共1个．
故选A．
　
4．设a、b互为相反数，c、d互为倒数，则2016（a+b）﹣cd的值是（　　）
A．2016 B．0 C．1 D．﹣1
【考点】33：代数式求值．
【分析】利用相反数，倒数的定义求出a+b，cd的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：由题意得：a+b=0，cd=1，
则原式=﹣1，
故选D
　
5．如果线段AB=6cm，BC=4cm，且线段A、B、C在同一直线上，那么A、C间的距离是（　　）
A．10cm B．2cm C．10cm或者2cm D．无法确定
【考点】ID：两点间的距离．
【分析】讨论：当点C在线段AB的延长线上时，AC=AB+BC；当点C在线段AB的上时，AC=AB﹣BC，再把AB=6cm，BC=4cm代入计算可求得AC的长，即得到A、C间的距离．
【解答】解：当点C在线段AB的延长线上时，如图，
AC=AB+BC=6+4=10（cm），
即A、C间的距离为10cm；
当点C在线段AB的上时，如图，
AC=AB﹣BC=6﹣4=2（cm），
即A、C间的距离为2cm．
故A、C间的距离是10cm或者2cm．
故选C．


　
6．绝对值小于4.6的整数有（　　）
A．10个 B．9个 C．8个 D．7个
【考点】15：绝对值；13：数轴．
【分析】根据绝对值的性质得出﹣4.6＜x＜4.6，进行解答即可．
【解答】解：设绝对值小于4.6的数为x，则|x|＜4.6，即﹣4.6＜x＜4.6，
∵x为整数，
∴x可以为﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4共9个．
故选：B．
　
7．下列说法正确的是（　　）
A．x的指数是0 B．x的系数是0
C．﹣3是一次单项式 D．﹣ab的系数是﹣
【考点】42：单项式．
【分析】根据单项式的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、x的指数是1，故本选项错误；
B、x的系数是1，故本选项错误；
C、﹣3是0次单项式，故本选项错误；
D、﹣ab的系数是﹣，故本选项正确．
故选D．
　
8．已知x2+3x=2，则多项式3x2+9x﹣4的值是（　　）
A．0 B．2 C．4 D．6
【考点】33：代数式求值．
【分析】先把3x2+9x﹣4变形为3（x2+3x）﹣4，然后把x2+3x=2整体代入计算即可．
【解答】解：∵x2+3x=2，
∴3x2+9x﹣4=3（x2+3x）﹣4=3×2﹣4=6﹣4=2．
故选B．
　
9．2009年我省GDP突破万亿达到10052.9亿元，这意味着安徽已经成为全国GDP万亿俱乐部的第14个成员，10052.9亿元用科学记数法表示为（保留三个有效数字）（　　）元．
A．1.00×1012 B．1.005×1012 C．1.01×1012 D．1.00529×1012
【考点】1L：科学记数法与有效数字．
【分析】先把10052.9亿元整理为用元表示的数，进而用科学记数法表示，即整理为a是1.00529，10的指数为整数数位减1的形式，把a保留3个有效数字即可．
【解答】解：10052.9亿元=10052.9×108元=1.00529×104×108=1.00529×1012元≈1.01×1012．
故选C．
　
10．剑川仁和超市以120元的价格卖出两件商品，其中一件赚了25%，另一件赔了25%，在这次买卖中该超市（　　）
A．不赔不赚 B．赚了16元 C．赔了16元 D．赚了20元
【考点】8A：一元一次方程的应用．
【分析】已知售价，需算出这两件衣服的进价，让总售价减去总进价就算出了总的盈亏．
【解答】解：设盈利25%的那件衣服的进价是x元，
根据进价与得润的和等于售价列得方程：x+0.25x=120，
解得：x=96，
类似地，设另一件亏损衣服的进价为y元，它的商品利润是﹣25%y元，
列方程y+（﹣25%y）=120，
解得：y=160．
那么这两件衣服的进价是x+y=256元，而两件衣服的售价为240元．
∴240﹣256=﹣16（元），
所以，该家商店亏损16元．
故选：C．
　
11．如图，每个图形都由同样大小的矩形按照一定的规律组成，其中第①个图形的面积为6cm2，第②个图形的面积为18cm2，第③个图形的面积为36cm2，…，那么第⑥个图形的面积为（　　）

A．84cm2 B．90cm2 C．126cm2 D．168cm2
【考点】38：规律型：图形的变化类．
【分析】观察图形，小正方形方形的个数是相应序数乘以下一个数，每一个小正方形的面积是3，然后求解即可．
【解答】解：第（1）个图形有2个小长方形，面积为1×2×3=6cm2，
第（2）个图形有2×3=6个小正方形，面积为2×3×3=18cm2，
第（3）个图形有3×4=12个小正方形，面积为3×4×3=36cm2，
…，
第（6）个图形有10×11=110个小正方形，面积为6×7×3=126cm2．
故选C．
　
12．有理数a、b在数轴上的位置如图，则|a﹣b|﹣2|a﹣c|﹣|b+c|=（　　）

A．a+c B．a﹣c C．2a﹣2b D．3a﹣c
【考点】44：整式的加减；13：数轴；15：绝对值．
【分析】根据数轴上点的位置判断出a﹣b，a﹣c，b+c的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：根据数轴上点的位置得：b＜a＜0＜c，且|a|＜|c|＜|b|，
∴a﹣b＞0，a﹣c＜0，b+c＜0，
则原式=a﹣b+2a﹣2c+b+c=3a﹣c，
故选D
　
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上
13．若3ax+2b3y﹣1与﹣a5b3是同类项，则xy=　4　．
【考点】34：同类项．
【分析】根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，可求得x和y的值．同类项的定义：所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项．
【解答】解：由同类项的定义可知
，
解得x=3，y=．
xy=3×=4．
故答案为4．
　
14．若与互为相反数，则a的值是　　．
【考点】86：解一元一次方程．
【分析】根据互为相反数的和等于0列出方程，然后根据一元一次方程的解法进行计算即可得解．
【解答】解：∵+1与互为相反数，
∴+1+=0，
去分母得，a+3+2a+1=0，
移项得，a+2a=﹣3﹣1，
合并同类项得，3a=﹣4，
系数化为1得，a=﹣．
故答案为：﹣．
　
15．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打　7　折．
【考点】C9：一元一次不等式的应用．
【分析】利润率不低于5%，即利润要大于或等于800×5%元，设打x折，则售价是1200x元．根据利润率不低于5%就可以列出不等式，求出x的范围．
【解答】解：设至多打x折
则1200×﹣800≥800×5%，
解得x≥7，
即最多可打7折．
故答案为：7．
　
16．从重庆乘火车到北京，沿途经过5个车站方可达到北京站，那么在重庆与北京两站之间需要安排不同的车票　20　种．
【考点】IA：直线、射线、线段．
【分析】根据线段的定义表示出线段的条数，即为从北京到重庆的车票种数．
【解答】解：∵共有5个车站，
∴线段的条数为5×（5﹣1）=20，
∴共需要准备20种不同的车票．
故答案为：20．
　
17．若|a|=8，b2=49，且|a﹣b|=b﹣a，则a﹣b=　﹣15或﹣1　．
【考点】1E：有理数的乘方；15：绝对值；1A：有理数的减法．
【分析】根据绝对值的性质和有理数的乘方求出a、b，再根据有理数的减法判断出a、b的对应情况，然后根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：∵|a|=8，
∴a=±8，
∵b2=49，
∴b=±7，
∵|a﹣b|=b﹣a，
∴a=﹣8，b=±7，
∴a﹣b=﹣8﹣7=﹣15，
或a﹣b=﹣8﹣（﹣7）=﹣8+7=﹣1，
综上所述，a﹣b=﹣15或﹣1．
故答案为：﹣15或﹣1．
　
18．如图，线段AB表示一根对折以后的绳子，现从P处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段10cm，若AP=PB，则这条绳子的原长为　15或30　cm．

【考点】ID：两点间的距离．
【分析】根据绳子对折以后用线段AB表示，可得绳长是AB的2倍，分类讨论，PB的2倍最长，可得PB，AP的2倍最长，可得AP的长，再根据线段间的比例关系，可得答案．
【解答】解：当PB的2倍最长时，得
PB=5，
AP=PB=，
AB=AP+PB=7.5cm，
这条绳子的原长为2AB=15cm；
当AP的2倍最长时，得
AP=5，AP=PB，
PB=2AP=10，
AB=AP+PB=15cm，
这条绳子的原长为2AB=30cm；
故答案为：15或30．
　
三、解答题（本大题共2个小题，每小题共7分，共14分），解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡对应的位置上
19．﹣12+[+8×（﹣3）]×0.5﹣（﹣5）2．
【考点】1G：有理数的混合运算．
【分析】首先计算乘方和括号里面的运算，然后计算乘法，最后从左向右依次计算即可．
【解答】解：﹣12+[+8×（﹣3）]×0.5﹣（﹣5）2
=﹣1+[﹣24]×0.5﹣25
=﹣1﹣11﹣25
=﹣37
　
20．某同学在计算一个多项式减去﹣a2﹣2a+1时，因误看做加上﹣a2﹣2a+1，得到的答案3a2﹣2a+4，你能帮助这个同学做出正确答案吗？请写出解答过程．
【考点】44：整式的加减．
【分析】设该整式为A，由该整式加上﹣a2﹣2a+1，得到3a2﹣2a+4求出A，进而得到正确答案．
【解答】解：设该整式为A，
∵该整式加上﹣a2﹣2a+1，得到3a2﹣2a+4，
∴A=3a2﹣2a+4﹣（﹣a2﹣2a+1）
=3a2﹣2a+4+a2+2a﹣1
=4a2+3．
∴正确答案为：4a2+3﹣（﹣a2﹣2a+1）=4a2+3+a2+2a﹣1=5a2+2a+2．
　
四、解答题（本大题共4个小题，每小题共10分，共40分），解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡对应的位置上
21．解方程：
（1）2（2x﹣1）=3x﹣7；
（2）=1﹣．
【考点】86：解一元一次方程．
【分析】两方程去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：（1）方程去括号得：4x﹣2=3x﹣7，
移项合并得：x=﹣5；
（2）去分母得：3.4﹣4x=0.6﹣0.5﹣2x，
移项合并得：2x=3.3，
解得：x=1.65．
　
22．先化简，再求值：3（x2﹣2xy）﹣2[xy﹣1+（﹣xy+x2）]，其中x=﹣4，y=．
【考点】45：整式的加减—化简求值．
【分析】原式去括号合并得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=3x2﹣6xy﹣xy+2+3xy﹣3x2=﹣xy+2，
当x=﹣4，y=时，原式=7+2=9．
　
23．如图，∠AOB是平角，射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOD，且∠BOC=4∠AOD，求∠COE的度数．

【考点】IJ：角平分线的定义．
【分析】由OD平分∠AOC和∠BOC=4∠AOD，可求出∠AOC=60°，再求出∠COB的度数，即可求出∠BOD，利用∠COE=∠DOE﹣∠COD即可求出．
【解答】解：∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠COD=∠AOC，
∵∠BOC=4∠AOD，
∴∠BOC=2∠AOC，
∵∠BOC+∠AOC=180°，
∴3∠AOC=180°，
∴∠AOC=60°，
∴∠COD=∠AOC=30°，∠BOC=2∠AOC=120°
∴∠BOD=150°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠EOD=∠BOE=75°，
∴∠COE=∠DOE﹣∠COD=75°﹣30°=45°．
　
24．重百商场开展春节促销活动出售A、B两种商品，活动方案有如下两种：
方案一

A
B
标价（单位：元）
90元
100元
每件商品返利
按标价的30%
按标价的15%
例：买一件A商品，只需付款90（1﹣30%）元
方案二
所购商品一律按标价的20%返利
（1）某单位购买A商品30件，B商品20件，选用何种方案划算？能便宜多少钱？
（2）某单位购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数比A商品件数的2倍少一件，若当x=a件时两方案的实际付款一样，求a的值，并说明当x＞a时哪个方案获得的优惠更大．
【考点】8A：一元一次方程的应用．
【分析】（1）分别求出方案一和方案二所付的款数，然后选择省钱的方案，求出所省的钱数；
（2）分别表述出方案一和方案二所需付款，根据当x=a件时两方案的实际付款一样，求出a的值，然后找出获得优惠大的方案．
【解答】解：（1）方案一付款：30×90×（1﹣30%）+20×100×（1﹣15%）=3590（元），
方案二付款：（30×90+20×100）×（1﹣20%）=3760（元），
∵3590＜3760，360﹣3590=170（元），
∴选用方案一更划算，能便宜170元；

（2）设某单位购买A商品x件，
则方案一需付款：90（1﹣30%）x+100（1﹣15%）（2x﹣1）=233x﹣85，
方案二需付款：[90x+100（2x﹣1）]（1﹣20%）=232x﹣80，
当x=a件时两方案付款一样可得，233a﹣85=232a﹣80，
解得：a=5，
∵x＞a=5，
∴x﹣5＞0，
∴﹣=x﹣5＞0，
即当x＞5时，方案二获得的优惠更大．
　
五、解答题（本大题共2个小题，每小题共12分，共24分），解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡对应的位置上
25．列方程解应用题：由甲地到乙地前三分之二的路是高速公路，后三分之一的路是普通公路，高速公路和普通公路交界处是丙地．A车在高速公路和普通公路的行驶速度都是80千米/时；B车在高速公路上的行驶速度是100千米/时，在普通公路上的行驶速度是70千米/时，A、B两车分别从甲、乙两地同时出发相向行驶，在高速公路上距离丙地40千米处相遇，求甲、乙两地之间的距离是多少？
【考点】8A：一元一次方程的应用．
【分析】设甲、乙两地之间的距离是x千米，根据当两车相遇时候用的时间相同可以列出方程=+，解得x的值即可．
【解答】解：设甲、乙两地之间的距离是x千米，
根据题意得： =+，
解得x=252．
答：甲、乙两地之间的距离是252千米．
　
26．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：
32→32+22=13→12+32=10→12+02=1，
70→72+02=49→42+92=97→92+72=130→12+32+02=10→12+02=1，
所以32和70都是“快乐数”．
（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；
（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数”．
【考点】59：因式分解的应用．
【分析】（1）根据“快乐数”的定义计算即可；
（2）设三位“快乐数”为100a+10b+c，根据“快乐数”的定义计算．
【解答】解：（1）∵12+02=1，
∴最小的两位“快乐数”10，
∵19→12+92=82→82+22=68→62+82=100→12+02+02=1，
∴19是快乐数；
证明：∵4→37→58=68→89→125→30→9→81→65→61→37，
37出现两次，所以后面将重复出现，永远不会出现1，
所以任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4．
（2）设三位“快乐数”为100a+10b+c，由题意，经过两次运算后结果为1，所以第一次运算后结果一定是10或者100，
则a2+b2+c2=10或100，
∵a、b、c为整数，且a≠0，
∴当a2+b2+c2=10时，12+32+02=10，
①当a=1，b=3或0，c=0或3时，三位“快乐数”为130，103，
②当a=2时，无解；
③当a=3，b=1或0，c=0或1时，三位“快乐数”为310，301，
同理当a2+b2+c2=100时，62+82+02=100，
所以三位“快乐数”有680，608，806，860．
综上一共有130，103，310，301，680，608，806，860八个，
又因为三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，所以只有310和860满足已知条件．
　

2018年5月18日