黑龙江省大庆市2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题（word版 含答案）

这是一份黑龙江省大庆市2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题（word版 含答案），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

班级

姓名

考号

大庆市2021-2022学年（上）
初（四）期中数学考试试题
考试时间：120分钟 满分：120分
一、单选题（每题3分，共30分）
1．﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B． C． D．
2．下列图形中，即是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．12月2日，2018年第十三届南宁国际马拉松比赛开跑，2.6万名跑者继续刷新南宁马拉松的参与人数纪录!把2.6万用科学记数法表示为（　　）
A．0.26×103 B．2.6×103 C．0.26×104 D．2.6×104
4．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠B＝32°，则∠AOC＝（　　）
A．64° B．58° C．68° D．55°

第4题图 第7题图
5．下列平面展开图是由5个大小相同的正方形组成，其中沿正方形的边不能折成无盖小方盒的是（　　）
A． B． C． D．
6．下列语句中，一定正确的是（　　）
①过三点有且只有一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；④同弧或等弧所对的圆周角相等；⑤圆内接平行四边形是矩形．
A．①②③ B．①②④ C．②③⑤ D．③④⑤
7．如图，的三个顶点都在边长为1的格点图上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　）
A． B．C．D．
9．如图，AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠T＝40°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D，则∠CDB的度数是（　　）

A．35° B．40° C．45° D．50°
10．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③＜a＜；④b＞c．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④

二、填空题(每题3分，共24分)
11．因式分解=______．
12．一个三角形三个内角的度数之比为1:2:3，则最小角的正弦值是_______．
13．袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为”，则这个袋中白球大约有_____个．
14．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是___________
15．如图，AC是⊙O的直径，AD＝6，CD＝8，∠ADC的平分线交⊙O于B，则AB＝___．

16．已知函数y＝﹣x2+2x+1，当﹣1≤x≤a时，函数的最大值是2，则实数a的取值范围是_____．
17. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝2m，水面宽AB＝2.4m，某天下雨后，水管水面上升了0.4m，则此时排水管水面宽CD等于_____m．
18．已知：∠BAC．（1）如图，在平面内任取一点O；
（2）以点O为圆心，OA为半径作圆，交射线AB于点D，交射线AC于点E；
（3）连接DE，过点O作线段DE的垂线交⊙O于点P；
（4）连接AP，DP和PE．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中：
①△ADE是⊙O的内接三角形； ② ；
③ DE=2PE； ④ AP平分∠BAC．
所有正确结论的序号是______________．
三、解答题 (共66分)
19．(4分)先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝4．
20．(4分)计算： ．
21. (5分)如图，△ABC绕点O逆时针旋转90°，得到△A1B1C1, 已知A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．
（1）画出旋转后的△A1B1C1．
（2）点B1的坐标为 　 　；
（3）作出△ABC关于原点O的对称图形△A2B2C2．

22．（6分）如图，点，在上，，，．求证：．

23．（7分）张老师为了了解班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查．他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：

（1）请计算出A类男生和C类女生的人数，并将条形统计图补充完整．
（2）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中各随机机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是一男一女同学的概率．

24．（7分）如图，，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点．从建筑物的顶点测得点的俯角为45°，从建筑物的顶点测得点的俯角为75°，测得建筑物的顶点的俯角为30°．若已知建筑物的高度为20米，求两建筑物顶点、之间的距离（结果精确到，参考数据：，）


25．（7分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）求证：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的长；
（3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值．

26．(8分)如图，点C在以AB为直径的☉O上，BD平分∠ABC交☉O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．
（1）求证：DE与☉O相切；
（2）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由；
（3）若AB=5，BE=4，求BD的长．

27．(8分)某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
28．(10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、两点（点在点左侧），与轴交于点．、的长是不等式组的整数解，点在抛物线上．

（1）求抛物线的解析式及的值；
（2）轴上的点使+的值最小，则______；
（3）将抛物线向上平移，使点落在点处．当时，抛物线向上平移了______个单位；
（4）点在轴上，平面直角坐标系内存在点使以点、、、为顶点的四边形为菱形，请直接写出点的坐标．






参考答案
1．A
2．B
3．D
4．A
5．B
6．D
7．B
如图，连接，

根据网格的特点可知：
，
，
是直角三角形，
，
，
故选B
8．B
【详解】
A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，矛盾，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项正确；
C、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，矛盾，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，矛盾，故本选项错误；
故选：B．
9．B
解：连接AC，

∵AT是⊙O的切线，
∴AT⊥AB，
∵∠T＝40°，
∴∠ABT＝90°−∠T＝50°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°−∠ABT＝40°，
由圆周角定理得，∠CDB＝∠CAB＝40°，
故选：B．
10．B
①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧
∴ab异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A（-1，0），对称轴为直线x=1，
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x=2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②错误；
③∵图象与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间，
∴-2＜c＜-1
∵-，
∴b=-2a，
∵函数图象经过（-1，0），
∴a-b+c=0，
∴c=-3a，
∴-2＜-3a＜-1，
∴＜a＜；故③正确
④∵函数图象经过（-1，0），
∴a-b+c=0，
∴b-c=a，
∵a＞0，
∴b-c＞0，即b＞c；
故④正确；
故选B．
11．．
解：==，故答案为．
12．
设这三个内角分别为，，，
由题意得，，
解得：，
即最小角为30°，
最小角的正弦值是，
故答案为：．
13．2
试题解析：∵袋中装有6个黑球和n个白球，
∴袋中一共有球（6+n）个，
∵从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为，
∴，
解得：n=2．
故答案为2．
14．.y=﹣2x2﹣4x﹣3
详解：∵抛物线y=2x2-4x+3=2（x-1）2+1的顶点坐标为（1，1），
∴绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标为（-1，-1），
∴所得到的图象的解析式为y=-2（x+1）2-1，即y=-2x2-4x-3．
故答案为：y=-2x2-4x-3．
15．
解：∵AC是的直径，AD=6，CD=8，
∴，
在中，根据勾股定理得，
，
∵的角平分线交于B，
∴BA=BC，
∴是等腰直角三角形，
设AB=BC=x，
根据勾股定理得，
即


或（舍），
则，
故答案为：．
16. a≥1
解：函数 y=-（x-1）2+2的图象是开口朝下且以x=1为对称轴的抛物线，
当且仅当x=1时，函数取最大值2，
∵函数y=-x2+2x+1，当-1≤x≤a时，函数的最大值是2，
∴a≥1，
故答案为a≥1
17．3.2．
解：如图：连结OC，过O作OE⊥AB，交CD于F，垂足为E，

∵AB=2.4m，OE⊥AB，OA=2m，
∴AE=1.2m，
∴OE=m，
∵水管水面上升了0.4m，
∴OF=1.6﹣0.4=1.2m，
∴CF=m，
∴CD=3.2m．
故答案为：3.2．
18．①④
【分析】
①按照圆的内接三角形的定义判断即可，三顶点都在一个圆周上的三角形，叫做这个圆周的内接三角形；
② 利用垂径定理得到弧长之间的关系即可；
③设OP与DE交于点M，利用垂径定理可得DE⊥OP，DE=2ME，再利用直角三角形中斜边长大于直角边，找到PE与与ME的关系，进一步可以得到DE与PE的关系；
④根据 ，即可得到∠DAP=∠PAE，则AP平分∠BAC．
【详解】
解：①点A、D、E三点均在⊙O上，所以△ADE是⊙O的内接三角形，此项正确；
② ∵DE⊥DE交⊙O于点P
∴
并不能证明与、关系，
∴不正确；
③设OP与DE交于点M

∵DE⊥DE交⊙O于点P
∴DE⊥OP， ME=DE（垂径定理）
∴△PME是直角三角形
∴ME＜PE
∴＜PE
∴DE＜2PE
故此项错误.
④∵ （已证）
∴∠DAP=∠PAE（同弧所对的圆周角相等）
∴AP平分∠BAC．
故此项正确.
故正确的序号为：①④
19． 原式＝（）÷
＝
＝，
当x＝4时，原式＝＝．
20．3
解：原式＝+1﹣4×+2，
＝2+1﹣2+2，
＝3．
21．作图见解析，点B1的坐标为（4，2）或（-4，-2）．
试题分析：直接利用位似图形的性质得出符合题意的图形进而得出答案．
试题解析：画图如下：

点B1的坐标为（4，2）或（-4，-2）．
22．见解析
【详解】
解：证明：∵，
∵.
又∵，∴
∴.
在与中，
∴，
∴.
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是证明△ABC≌△EFD．
23．（1）A类男生人数为2，C类女生人数为2，补全图形见解析；（2）所选两位同学恰好是一男一女同学的概率为．
【详解】
解：（1）∵被调查的总人数为（7+5）÷60%=20人，
∴A类别人数为20×15%=3人、C类别人数为20×（1-15%-60%-10%）=3，
则A类男生人数为3-1=2、C类女生人数为3-1=2，
补全图形如下：

（2）画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的有3种情况，
∴所选两位同学恰好是一男一女同学的概率为．
【点睛】
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24．两建筑物顶点、之间的距离为35米．
如图，过点A作于点N
由题意得：，，，
，
，
，米
是等腰直角三角形
（米）
在中，，即
解得（米）
在中，
是等腰直角三角形
（米）
答：两建筑物顶点、之间的距离为35米．

25．（1）证明见解析（2）6.4cm（3）当t=时，y的最小值为19
【分析】
（1）由CD∥AB，得∠DCA=∠CAB，加上一组直角，即可证得所求的三角形相似．
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AC的长，根据（1）题所得相似三角形的比例线段，即可求出DC的长．
（3）分析图象可知：四边形AFEC的面积可由△ABC、△BEF的面积差求得，分别求出两者的面积，即可得到y、t的函数关系式，进而可根据函数的性质及自变量的取值范围求出y的最小值．
【详解】
(1)∵CD∥AB，∴∠BAC=∠DCA
又∵AC⊥BC,∠ACB=90°,
∴∠D=∠ACB=90°，
∴△ACD∽△BAC.
(2)Rt△ABC中,AC==8cm，
∵△ACD∽△BAC,
∴DCAC=ACAB，
即，解得：DC=6.4cm.
(3)过点E作AB的垂线，垂足为G，

∵∠ACB=∠EGB=90°，∠B公共，
∴△ACB∽△EGB，
∴,即 ,故EG=；
y=S△ABC−S△BEF=12×6×8−12(10−2t)⋅=，
故当t=时，y的最小值为19.
26．（1）见解析；（2）CE＝AB﹣BE，理由见解析；（3）
【分析】
（1）连接OD，先证OD∥BE，再根据BE⊥DE，可得OD⊥DE，即可得证结论；
（2）过点D作DH⊥AB于H，根据HL证Rt△BED≅Rt△BHD，再根据AAS证△ADH≅△CDE，再利用等量代换即可得出CE=AB-BE；
（3）证△ABD∽△DBE，根据线段比例关系即可求出BD的长度．
【详解】
解：（1）连接OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠CBD，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥BE，
∵BE⊥DE，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；
（2）CE=AB-BE，理由如下：
过D作DH⊥AB于H，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，
∴DH=DE，
在Rt△BED与Rt△BHD中，
，
∴Rt△BED≅Rt△BHD（HL），
∴BH=BE，
∵∠DCE=∠A，∠DGA=∠DEC=90°，
∴△ADH≅△CDE（AAS），
∴AH=CE，
∵AB=AH+BH，
∴AB=BE+CE，
∴CE=AB-BE；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵BE⊥DE，
∴∠ADB=∠BED=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBE，
∴△ABD∽△DBE，
∴，
∴，
∴BD=2．
．
27．（1）；（2）200；（3）150元, 最高利润为5000元,
【分析】
（1）总利润=每台的利润销售台数，根据公式即可列出关系式；
（2）将y=4800代入计算即可得到x的值，取x的较大值；
（3）将（1）的函数关系式配方为顶点式，即可得到答案.
【详解】
（1）由题意得： ；
（2）将y=4800代入，
∴，
解得x1=100，x2=200，
要使百姓得到实惠，则降价越多越好，所以x=200，
故每台冰箱降价200元
（3），
每台冰箱降价150元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高，最高利润为5000元
28．（1）该抛物线的解析式为；m=-4；（2）2；（3）9；（4）、、、．
（1）所给不等式组的解集为， 其整数解为2,3．
∵OA，OB的长是所给不等式组的整数解，且OA ∴，则A（-2，0），B（3，0）
∵点A、B在抛物线上，
∴，解得， ．
∴所求的抛物线的解析式为
∵点D（2，m）在抛物线上，
∴
（2）如图1所示，连接AD交y轴于点E，则此时AE+ED最小．

设直线AD的解析式为
∵点A（-2,0），D（2,-4）在直线 AD上，
∴，解得， ．
∴直线AD的函数解析式为
当x=0时，y=-2,．即E（0， -2）．
∴
故答案为：2
（3）如图1，
∵AD//FB，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴抛物线向上平移9个单位．
故答案为：9
（4）∵以A、B、M、N为顶点的四边形是菱形，对角线互相垂直且平分，
由∵
∴AB与MN不能作为一组对角线．
∴分两种情况：
①以AM与BN为对角线时，如图2①和图2②．

如图2①，AB=OA+OB=2+3=5，
∵四边形ABMN是菱形，
∴MN∥AB∥x轴，MN=MB=AB=5．
在中，
∴M（0,4）．
∴N（-5,4）．
如图2②，同理可得：N（-5，-4）．
②以AN与BM为对角线时，如图2③和图2④．

如图2③，菱形的边长仍为5，MN∥x轴，
∵
∴
∴
如图2④，同理可得：
综合上述①、②两种情况，符合条件的点N的坐标为：