(通用版)中考数学二轮专题复习《三角形的相关问题》专项练习(含答案)

这是一份(通用版)中考数学二轮专题复习《三角形的相关问题》专项练习(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 现有3 cm，4 cm，7 cm，9 cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2. 等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
3. 如图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形。根据图中标示的各点位置，判断△ACD与下列哪一个三角形全等?（ ）
A. △ACF B. △AED C. △ABC D. △BCF
4. 如图，点A，C都在直线l上，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，三点E，B，D到直线l的距离分别是6，3，4，计算图中由线段AB，BC，CD，DE，EA所围成的图形的面积是（ ）[来源:Z#xx#k.Cm]
A. 50B. 62C. 65D. 68
二、解答题
5. 如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，直线m为∠ABC的角平分线，l与m相交于P点。若∠A=60°，∠ACP=24°，求∠ABP的度数。
6. 如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB'C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B'C相交于点O，连接BB'。
（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；
（2）求证：△AB'O≌△CDO。
7. 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。
（1）求证：BE=AD；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；
（3）△DBC是等腰三角形吗?并说明理由。
三角形常考考点梳理专项练习
参考答案
一、选择题
1. B 【解析】四条木棒的所有组合：3，4，7；3，4，9；3，7，9；4，7，9，只有3，7，9和4，7，9能组成三角形，故选B。
2. A 【解析】
由图可知
三角形的腰长为 SKIPIF 1 < 0
3. B 【解析】∵根据图形可知AD=AD，AE=AC，DE=DC，∴△ACD≌△AED。
4. A 【解析】如图，过点E，B，D分别作EF⊥l，BG⊥l，DH⊥l，点F，G，H分别为垂足。
[来源:学.科.网]
易得△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，从而AF=BG，AG=EF；GC=DH，CH=BG，故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16，则所求面积为 SKIPIF 1 < 0 （6+4）×16-3×4-6×3=50，故选A。
二、解答题
5.【解析】∵直线m为∠ABC的角平分线，
∴∠ABP=∠CBP。
∵直线l为BC的中垂线，
∴BP=CP，
∴∠CBP=∠BCP，
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP。
在△ABC中，3∠ABP+∠A+∠ACP=180°，即3∠ABP+60°+24°=180°，
解得∠ABP=32°。
6.【解析】（1）解：△ABB'，△AOC和△BB'C；
（2）证明：在▱ABCD中，AB=DC，∠ABC=∠D，
由轴对称知AB'=AB，∠ABC=∠AB'C，
∴AB'=CD，∠AB'O=∠D。
在△AB'O和△CDO中，
SKIPIF 1 < 0 ，[来源:学*科*网]
∴△AB'O≌△CDO。
7. 【解析】（1）证明：∵∠ABC=90°，BD⊥EC，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2。
∵∠ABC=∠DAB=90°，AB=BC，
∴△BAD≌△CBE（ASA），
∴AD=BE。
（2）证明：∵E是AB中点，
∴EB=EA，
由（1）AD=BE得AE=AD
∵AD∥BC，∴∠7=∠ACB=45°，
∵∠6=45°，
∴∠6=∠7。由等腰三角形的性质，得EM=MD，AM⊥DE，
∴AC是线段ED的垂直平分线；
（3）解：△DBC是等腰三角形（CD=BD）。
理由：由（2），得CD=CE，由（1），得CE=BD，
∴CD=BD。
∴△DBC是等腰三角形。
等腰三角形的计算和证明问题专项练习
1. 在△ABC中，CA=CB，CD为AB边的中线，点P是线段AC上任意一点（不与点C重合），过点P作PE交CD于点E，使∠CPE= SKIPIF 1 < 0 ∠CAB，过点C作CF⊥PE交PE的延长线于点F，交AB于点G.。
（1）如果∠ACB=90°，
= 1 \* GB3 ①如图1，当点P与点A重合时，依题意补全图形，并指出与△CDG全等的一个三角形；
= 2 \* GB3 ②如图2，当点P不与点A重合时，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）如果∠CAB=a，如图3，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的值.（用含 SKIPIF 1 < 0 的式子表示）

图1 图2 图3
2. 在等边△ABC外侧作直线，点关于直线的对称点为D，连接BD，CD，其中CD交直线于点E。
（1）依题意补全图1；
（2）若∠PAB=30°，求∠ACE的度数；
（3）如图2，若60°<∠PAB<120°，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明。
3. 如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，边BA绕点B顺时针旋转α角得到线段BP，连接PA，PC，过点P作PD⊥AC于点D。
（1）如图1，若α=60°，求∠DPC的度数；
（2）如图2，若α=30°，直接写出∠DPC的度数；
（3）如图3，若α=150°，依题意补全图，并求∠DPC的度数。
4. 如图1，在 SKIPIF 1 < 0 中，AB=AC，∠ABC = SKIPIF 1 < 0 ，D是BC边上一点，以AD为边作 SKIPIF 1 < 0 ，使AE=AD， SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 =180°。
（1）直接写出∠ADE的度数（用含 SKIPIF 1 < 0 的式子表示）；
（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，
①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD；
②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF。
图1 图2 图3
等腰三角形的计算和证明问题专项练习
参考答案
1. 解：（1）
①作图如下：
SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 ）
②过点P作 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵∠CPE= SKIPIF 1 < 0 ∠CAB，
∴∠CPE= SKIPIF 1 < 0 ∠CPN，∴∠CPE=∠FPN。
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴∠PFC=∠PFN=90°。
∵PF=PF，∴ SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 。
由①得： SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 。
（2） SKIPIF 1 < 0 。
2. 解：（1）补全图形，如图1所示。
（2）连接AD，如图2。∵点D与点B关于直线AP对称，∴AD=AB，∠DAP = ∠BAP=30°。
∵AB=AC， ∠BAC=60°。∴AD=AC， ∠DAC=120°。
∴2∠ACE+60°+60°=180°，∴∠ACE=30°
（3）线段AB，CE，ED可以构成一个含有60°角的三角形。
证明如下：连接AD，EB，如图3。
∵点D与点B关于直线AP对称，
∴AD=AB，DE=BE，
可证得∠EDA=∠EBA。
∵AB=AC，AB=AD。
∴AD=AC， ∴∠ADE= ∠ACE。
∴∠ABE= ∠ACE.设AC，BE交于点F，
又∵∠AFB=∠CFE。∴∠BAC=∠BEC=60°。
∴线段AB，CE，ED可以构成一个含有60°角的三角形。
3. 解：（1）∵边BA绕点B顺时针旋转α角得到线段BP，∴BA= BP，
∵α=60°，∴△ABP是等边三角形， ∴∠BAP=60º，AP= AC，
又∵∠BAC=90°，∴∠PAC=30º，∠ACP=75º，
∵PD⊥AC于点D，
∴∠DPC=15º。
（2）75º。
（3）画图如下：
过点A作AE⊥BP于点E。
∴∠AEB=90º，
∵∠ABP=150°，∴∠1=30º，∠BAE=60º，[来源:学+科+网]
又∵BA= BP，
∴∠2=∠3=15º，
∴∠PAE=75º，
∵∠BAC=90°，
∴∠4=75º，
∴∠PAE=∠4，
∵PD⊥AC于点D，
∴∠AEP=∠ADP =90º，
∴△APE≌△APD，
∴AE= AD，
在Rt△ABE中，∠1=30º，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵AB=AC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴AD=CD，
又∵∠ADP=∠CDP=90º，
∴△ ADP≌△CDP，
∴∠DCP=∠4=75º，
∴∠DPC=15º．
4.（1）∠ADE = SKIPIF 1 < 0 。
（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AB∥EF。
∴ SKIPIF 1 < 0 。
由（1）知，∠ADE = SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 。
∴AD⊥BC。
∵AB=AC，
∴BD=CD。
②证明：∵AB=AC，∠ABC =，
∴ SKIPIF 1 < 0 。[来源:学&科&网][来源:学*科*网]
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AE∥BF， AE=BF。
∴ SKIPIF 1 < 0 。
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 。
∴AD=CD。
∵AD=AE=BF，
∴BF=CD。
∴BD=CF。
锐角三角函数与直角三角形的计算和证明专项练习
1. 在Rt△ABC中，∠A＝90°，点O在BC上，以O为圆心的⊙O分别与AB、AC相切于E、F，若AB＝ SKIPIF 1 < 0 ，AC＝ SKIPIF 1 < 0 ，则⊙O的半径为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
2. 如图，正方形ABCD中，AE切以BC为直径的半圆于E，交CD于F，则CF∶FD＝（ ）
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 2∶5
3. 如图所示，有一块塑料模板ABCD，长为10㎝，宽为4㎝，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合）在AD上适当移动三角板顶点P：
①能否使你手中的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由。
②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2㎝？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由。
4. 如图1，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 上任意一点（点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 不重合），以 SKIPIF 1 < 0 为一直角边作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 。
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
①猜想线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；
②现将图1中的 SKIPIF 1 < 0 绕着点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转锐角 SKIPIF 1 < 0 ，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 绕着点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转锐角 SKIPIF 1 < 0 ，如图3，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，计算 SKIPIF 1 < 0 的值。
5. 如图，抛物线y=x²+bx+c与直线y=x－1交于A、B两点.点A的横坐标为－3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于点C，交直线AB于点D。
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m为何值时， SKIPIF 1 < 0 ；
（3）是否存在点P,使△PAD是直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
锐角三角函数与直角三角形的计算和证明专项练习
参考答案
1. C 解析：利用面积法，以圆心到切点的半径为高，把原三角形分成两个三角形，其面积之和等于原直角三角形的面积，从而求解.
2. B 解析：设正方形边长为a，CF=x，则AF=a+x，DF=a-x，在直角三角形ADF中，利用勾股定理解得x=a/4。∴CF:FD=1:3。
3. 解：（1）设AP=x，则PD=10–x，利用直角三角形BAP相似于直角三角形PDC,可求得x=2或8；
（2）过E作EF⊥AD于F，设AP=x，则PF=8–x，利用直角三角形BAP相似于直角三角形PFE，可求得x=4。
4.（1）①解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 仍然成立；
证明如下：设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点为点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点为点 SKIPIF 1 < 0 ，如图1。
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 。
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 。
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 。
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 。
∴ SKIPIF 1 < 0 。
∴ SKIPIF 1 < 0 。
（2）解：设BE与AC的交点为点F，BE的延长线与AD的交点为点G，如图2。
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 。
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 。
∴ SKIPIF 1 < 0 。
∴ SKIPIF 1 < 0 。
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 。
∴ SKIPIF 1 < 0 。
∴ SKIPIF 1 < 0 。
∴ SKIPIF 1 < 0 。
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 。
∴ SKIPIF 1 < 0 。[来源:学_科_网]
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 。
5. 解：（1）由已知得，，，
∴，
解得，
∴ 。
（2）∵，，
∴。
∵ SKIPIF 1 < 0 ，即，∴。
当点P运动至A处，此时P、D重合。
①当PD在点A右侧时，，则，
解得，。
②当PD在点A左侧时，，则，
解得，，（不合题意，舍去）
综上，，或。
（3）∵，∴当或时，△PAD是直角三角形。
① 若，则AP∥x轴，∴，即，
解得，，∴；
② 若，AP⊥AB。
又直线AP：，
由，解得，，∴。
综上，或。
相似三角形的模型及辅助线专项练习
1. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B，C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落在点C′处；作∠BPC′的平分线交AB于点E. 设BP=x，BE=y，那么y关于x的函数图象大致应为（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，已知矩形 SKIPIF 1 < 0 ，长 SKIPIF 1 < 0 ，宽 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上运动的两点。若 SKIPIF 1 < 0 自点 SKIPIF 1 < 0 出发，以 SKIPIF 1 < 0 的速度沿 SKIPIF 1 < 0 方向运动，同时， SKIPIF 1 < 0 自点 SKIPIF 1 < 0 出发以 SKIPIF 1 < 0 的速度沿 SKIPIF 1 < 0 方向运动，则经过 秒，以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为顶点的三角形与 SKIPIF 1 < 0 相似。
3. 如图，AC为⊙O的直径，B是⊙O外一点，AB交⊙O于E点，过E点作⊙O的切线，交BC于D点，DE＝DC，作EF⊥AC于F点，交AD于M点。
求证：（1）BC是⊙O的切线； （2）EM＝FM。
4. 已知，矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处。
图1 图2
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA。
① 求证：△OCP∽△PDA；
② 若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长。
（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP. 动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E. 试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由。
5. 如图1，2，已知四边形ABCD为正方形，在射线AC上有一动点P，作PE⊥AD（或延长线）于点E，作PF⊥DC（或延长线）于点F，作射线BP交EF于点G。
（1）在图1中，设正方形ABCD的边长为2， 四边形ABFE的面积为y， AP=，求y关于的函数表达式。
（2）结论GB⊥EF对图1，图2都是成立的，请任选一图形给出证明；
（3）请根据图2证明：△FGC∽△PFB。
图1 图2
相似三角形的模型及辅助线专项练习
参考答案
1. C 解析：注意到∠EPD=90º，可以证明⊿EBP∽⊿PCD，从而 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 .注意求出它的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
2. SKIPIF 1 < 0
解析：由已知， SKIPIF 1 < 0
解得， SKIPIF 1 < 0 .
3. 证明：（1）连接OE，CE，可知∠1=∠2，∠3=∠OEC，∴∠OED=∠OCD，∵DE为⊙O的切线，∴∠OED=90°，∴∠OCD=90°，∴BC是⊙O的切线。
（2）利用EF//BC，可得⊿AME∽⊿ADB，⊿AMF∽⊿ADC.
∴ SKIPIF 1 < 0 [来源:学。科。网Z。X。X。K]
又∵∠1=∠2，∴∠B=∠BED，则BD=DE，∴BD=DC
代入以上比例式，可得EM=FM.
4. （1）①证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，∴∠1+∠3=90°，∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，
∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，又∵∠D=∠C，
∴△OCP∽△PDA.
②解：如图1，∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴CP= SKIPIF 1 < 0 AD=4。设OP=x，则CO=8－x。
在Rt△PCO中，∠C=90°，由勾股定理得 x2=（8－x）2+42，解得：x=5。
∴AB=AP=2OP=10，∴边AB的长为10.
（2）解：作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2.
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP=∠MQP.
∴MP=MQ. 又BN=PM，
∴BN=QM.
∵MP=MQ，ME⊥PQ，
∴EQ= SKIPIF 1 < 0 PQ， ∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF. 又∵∠QFM=∠NFB，
∴△MFQ≌△NFB.
∴QF= SKIPIF 1 < 0 QB， ∴EF=EQ+QF= SKIPIF 1 < 0 PQ+ SKIPIF 1 < 0 QB= SKIPIF 1 < 0 PB.
由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°.
∴PB= SKIPIF 1 < 0 ，∴EF= SKIPIF 1 < 0 PB= SKIPIF 1 < 0 .
∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为 SKIPIF 1 < 0 .
5. （1）解：∵EP⊥AD，PF⊥DC，∴四边形EPFD是矩形，∵AP=，
∴AE=EP=DF=，
，
∴


（2）证明：在图中证明GB⊥EF.
证法一：延长FP交AB于点H，
∵PF⊥DC，PE⊥AD，
∴PF⊥PE，PH⊥HB，即∠BHP=90°
∴在Rt△FPE与Rt△BHP中
因 ABCD是正方形，
∴易知PF=FC=HB，EP=PH
∴Rt△FPE≌Rt△BHP
∴∠PFE=∠PBH，
又∠FPG=∠BPH，
∴△FPG∽ △BPH，
∴∠FGP=∠BHP=90°，即GB⊥EF
证法二：如图，连接PD，延长FP交AB于点H，
延长EP交BC于点M，
易知DC=BC， ∠DCP=∠BCP=45°，PC=PC，
∴△DPC≌△BPC
∴∠DPC=∠BPC，即∠1+45°=45°+∠2，
∴∠1=∠2，
而∠1=∠4， ∠2 =∠3，
∴∠3=∠4，
而∠5 +∠4=90°，∴∠5 +∠3=90°，
∴∠PGE=180°－（∠5 +∠3）=90°，即GB⊥EF。
（3）证明：
∵GB⊥EF，∴∠BPF=∠CFG，①
连接PD，在△DPC和△BPC中
∵DC=BC，∠DCP=∠BCP=135°，PC=PC，
∴ △DPC≌△BPC，∴PD=PB.
而PD=EF， ∴EF=PB.
又∵GB⊥EF，∴
∴
而PF=FC，∴
∴………②
∴由①②得△FGC∽△PFB.