(通用版)中考数学二轮专题复习《四边形问题》专项练习(含答案)

这是一份(通用版)中考数学二轮专题复习《四边形问题》专项练习(含答案)，共23页。试卷主要包含了 如图，⊙O的圆心在定角∠α，5 cm等内容，欢迎下载使用。
1. 已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过A（2，0）。设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B。
（1）求b的值，及点P、点B的坐标；
（2）如图，在直线y= SKIPIF 1 < 0 x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？如果存在,试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由。
2. 如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 。
（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；
（3）若P是 SKIPIF 1 < 0 轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由。
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA延长线上的点，BE与AD的交点为P。
（1）若BD=AC，AE=CD，在图1中画出符合题意的图形，并直接写出∠APE的度数；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求∠APE的度数。
平行四边形的计算和证明问题专项练习
参考答案[来源:学_科_网]
1. 解：（1）由于抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过A（2，0），
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 . （*）
将（*）配方，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以顶点P的坐标为（4，-2 SKIPIF 1 < 0 ）
令y=0，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以点B的坐标为（6，0）。
（2）在直线 y= SKIPIF 1 < 0 x上存在点D，使四边形OPBD为平行四边形。
理由如下：
设直线PB的解析式为 SKIPIF 1 < 0 +b，把B（6,0）,P(4,-2 SKIPIF 1 < 0 )分别代入，得 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
所以直线PB的解析式为 SKIPIF 1 < 0 .
又直线OD的解析式为 SKIPIF 1 < 0
所以直线PB∥OD.
设直线OP的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，把P(4,-2 SKIPIF 1 < 0 )代入，得 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 .如果OP∥BD，那么四边形OPBD为平行四边形.
设直线BD的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，将B(6,0)代入，得0= SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以直线BD的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
解方程组 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0
所以D点的坐标为（2,2 SKIPIF 1 < 0 ）
（3）符合条件的点M存在.验证如下：
过点P作x轴的垂线，垂足为C，则PC=2 SKIPIF 1 < 0 ，AC=2，由勾股定理，可得AP=4，PB=4，又AB=4，所以△APB是等边三角形，只要作∠PAB的平分线交抛物线于M点，连接PM,BM,由于AM=AM, ∠PAM=∠BAM,AB=AP，可得△AMP≌△AMB。因此存在这样的点M,使△AMP≌△AMB.
2. 解：（1）设抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0
∵抛物线过点 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
（2）如图，连接BC、BM、CM，作MD⊥ SKIPIF 1 < 0 轴于点D
∵ SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
（3）存在这样的点Q。
①当Q点在 SKIPIF 1 < 0 轴下方时，作QE⊥ SKIPIF 1 < 0 轴于点E
∵AC∥PQ且AC=PQ，∴OC=EQ=3
由 SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 （舍） SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
②当Q点在 SKIPIF 1 < 0 轴上方时，作QF⊥ SKIPIF 1 < 0 轴于点F
∵AC∥PQ且AC=PQ ∴Rt△OAC≌Rt△FPQ
∴OC=FQ=3
由 SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
综上，满足条件的Q点坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
3. 解：（1）如下图，∠APE= 45 °。
（2）解法一：如图1，将AE平移到DF，连接BF，EF。
图1
则四边形AEFD是平行四边形。
∴AD∥EF，AD=EF。
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 。
∴ SKIPIF 1 < 0 。
∵ ∠C=90°，
∴ SKIPIF 1 < 0 。
∴ ∠C=∠BDF。
∴ △ACD∽△BDF。
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∠1=∠2。
∴ SKIPIF 1 < 0 。
∵ ∠1+∠3=90°，
∴ ∠2+∠3=90°。
∴ BF⊥AD 。
∴ BF⊥EF。
∴ 在Rt△BEF中， SKIPIF 1 < 0 。
∴ ∠APE=∠BEF =30°。
解法二：如图2，将CA平移到DF，连接AF，BF，EF。
图2
则四边形ACDF是平行四边形。
∵ ∠C=90°，
∴ 四边形ACDF是矩形，∠AFD=∠CAF= 90°，∠1+∠2=90°。
∵ 在Rt△AEF中， SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt△BDF中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 。
∴ ∠3+∠2=∠1+∠2=90°，即∠EFB =90°。
∴ ∠AFD=∠EFB。
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ △ADF∽△EBF。
∴ ∠4=∠5。
∵ ∠APE+∠4=∠3+∠5，
∴ ∠APE=∠3=30°。
菱形和矩形的计算与证明问题专项练习
1. 二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣ SKIPIF 1 < 0 x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）。
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标。
2. 在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF。
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，证明BE=EF。
（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其他条件不变时，请你判断（1）中的结论： .
（填“成立”或“不成立”）
（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其他条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。
图1 图2 图3
3. 在菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是对角线 SKIPIF 1 < 0 上一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 并延长得到射线 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 。
（1）依题意补全图形；

备用图
（2）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
菱形和矩形的计算与证明问题专项练习[来源:学。科。网Z。X。X。K]
参考答案
1. 解：（1）由题设可知A（0，1），B（﹣3， SKIPIF 1 < 0 ），
根据题意得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
则二次函数的表达式是：y=﹣ SKIPIF 1 < 0 ﹣ SKIPIF 1 < 0 x+1；
（2）设N（x，﹣ SKIPIF 1 < 0 x2﹣ SKIPIF 1 < 0 x+1），则M、P点的坐标分别是（x，﹣ SKIPIF 1 < 0 x+1），（x，0）。
∴MN=PN﹣PM
=﹣ SKIPIF 1 < 0 x2﹣ SKIPIF 1 < 0 x+1﹣（﹣ SKIPIF 1 < 0 x+1）
=﹣ SKIPIF 1 < 0 x2﹣ SKIPIF 1 < 0 x
=﹣ SKIPIF 1 < 0 （x+ SKIPIF 1 < 0 ）2+ SKIPIF 1 < 0 ，
则当x=﹣ SKIPIF 1 < 0 时，MN的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）连接MC、BN、BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，
由于BC∥MN，
即MN=BC，且BC=MC，
即﹣ SKIPIF 1 < 0 x2﹣ SKIPIF 1 < 0 x= SKIPIF 1 < 0 ，且（﹣ SKIPIF 1 < 0 x+1）2+（x+3）2= SKIPIF 1 < 0 ，
解得：x=1，或x=-3（不合题意，舍去）
故当N（﹣1，4）时，BM和NC互相垂直平分。
2. （1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是线段AC的中点，
∴∠CBE= SKIPIF 1 < 0 ∠ABC=30°，AE=CE，
∵AE=CF，
∴CE=CF，
∴∠F=∠CEF，
∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°，
∴∠F=30°，
∴∠CBE=∠F，
∴BE=EF；
（2）结论：成立.
过点E作EG∥BC，交AB于点G，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG=AE，
∴BG=CE，
又∵CF=AE，
∴GE=CF，
又∵∠BGE=∠ECF=120°，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE=EF；
（3）结论成立.
证明如下：过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG=AE=GE ，
∴BG=CE，
又∵CF=AE，
∴GE=CF，
又∵∠BGE=∠ECF=60°，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE=EF。
3.（1）补全图形，如图1所示。

图1 图2
（2）方法一：
证明：连接BE，如图2。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC。
，
∵∠DCB=60°。
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴。
。
由菱形的对称性可知，
，
。
。
SKIPIF 1 < 0 。
∵∠FBC=50°，
。
SKIPIF 1 < 0 。
在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 。
SKIPIF 1 < 0 。
方法二：
证明：连接BE，设BG与EC交于点H，如图3。
图3
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC。
，
。
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴。
。
由菱形的对称性可知，
，。
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 。
在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 。
SKIPIF 1 < 0 。
正方形的计算和证明问题专项练习
1. 提出问题：
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE=DH；
类比探究：
（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在边AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；
综合运用：
（3）在（2）问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积。
2. 如图1，点 SKIPIF 1 < 0 为正方形 SKIPIF 1 < 0 的中心。
（1）将线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的对应点为点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，请依题意补全图1；
（2）根据图1中补全的图形，猜想并证明 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系；
（3）如图2，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点，△ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，△ SKIPIF 1 < 0 绕 SKIPIF 1 < 0 点逆时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 角度，请直接写出旋转过程中 SKIPIF 1 < 0 的最大值。
3. 如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）。点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动。连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D。BD与y轴交于点E，连接PE。设点P运动的时间为t（s）。
（1）∠PBD的度数为 ，点D的坐标为 （用t表示）；
（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？
（3）探索△POE的周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值。
正方形的计算和证明问题专项练习
参考答案
1.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH。
∴∠HAO+∠OAD=90°。
∵AE⊥DH，
∴∠ADO+∠OAD=90°。
∴∠HAO=∠ADO。
∴△ABE≌△DAH（ASA），
∴AE=DH。
（2）EF=GH。理由如下：
将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF。
将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH。
∵EF⊥GH，
∴AM⊥DN，
根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH；
（3）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD
∴∠AHO=∠CGO
∵FH∥EG
∴∠FHO=∠EGO
∴∠AHF=∠CGE
∴△AHF∽△CGE
∴
∵EC=2
∴AF=1
过F作FP⊥BC于点P，
根据勾股定理得EF=，
∵FH∥EG，
∴
根据（2）知EF=GH，
∴FO=HO。
∴，
，
∴阴影部分面积为。
2. 解：
（1）正确画出图形，如下图所示：
（2）延长交于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 为正方形 SKIPIF 1 < 0 的中心，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∠ SKIPIF 1 < 0 ＝90
∵ SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转90角得到 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴∠ SKIPIF 1 < 0 ＝∠ SKIPIF 1 < 0 ＝90
∴∠ SKIPIF 1 < 0 ＝∠ SKIPIF 1 < 0
在△ SKIPIF 1 < 0 和△ SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∠ SKIPIF 1 < 0 ＝∠ SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ SKIPIF 1 < 0 ≌△ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴∠ SKIPIF 1 < 0 ＝∠ SKIPIF 1 < 0
∵∠ SKIPIF 1 < 0 +∠ SKIPIF 1 < 0
∴∠ SKIPIF 1 < 0 +∠ SKIPIF 1 < 0 =90
∴ SKIPIF 1 < 0 ⊥ SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
3. 解：（1）如图1，
由题意可得：AP=OQ=1×t=t
∴AO=PQ。
∵四边形OABC是正方形，
∴AO=AB=BC=OC，
∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°。
∵DP⊥BP，
∴∠BPD=90°。
∴∠BPA=90°﹣∠DPQ=∠PDQ。
∵AO=PQ，AO=AB，
∴AB=PQ。
在△BAP和△PQD中，
∴△BAP≌△PQD。
∴AP=DQ，BP=PD。
∵∠BPD=90°，BP=PD，
∴∠PBD=∠PDB=45°。
∵AP=t，
∴DQ=t。
∴点D坐标为（t，t）。
故答案为：45°，（t，t）。
（2）①若PB=PE，
则∠PBE=∠PEB=45°。
∴∠BPE=90°。
∵∠BPD=90°，
∴∠BPE=∠BPD。
∴点E与点D重合。
∴点Q与点O重合。
与条件“DQ∥y轴”矛盾，
∴这种情况应舍去。
②若EB=EP，
则∠PBE=∠BPE=45°。
∴∠BEP=90°。
∴∠PEO=90°﹣∠BEC=∠EBC。
在△POE和△ECB中，
∴△POE≌△ECB。
∴OE=BC，OP=EC。
∴OE=OC。
∴点E与点C重合（EC=0）。
∴点P与点O重合（PO=0）。
∵点B（﹣4，4），
∴AO=CO=4。
此时t=4。
③若BP=BE，
在Rt△BAP和Rt△BCE中，
∴Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）。
∴AP=CE。
∵AP=t，
∴CE=t。
∴PO=EO=4﹣t。
∵∠POE=90°，
∴PE= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0 （4﹣t）。
延长OA到点F，使得AF=CE，连接BF，如图2所示。
在△FAB和△ECB中，
SKIPIF 1 < 0
∴△FAB≌△ECB。
∴FB=EB，∠FBA=∠EBC。
∵∠EBP=45°，∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠EBC=45°。
∴∠FBP=∠FBA+∠ABP
=∠EBC+∠ABP=45°。
∴∠FBP=∠EBP。
在△FBP和△EBP中，
∴△FBP≌△EBP。
∴FP=EP。
∴EP=FP=FA+AP=CE+AP。
∴EP=t+t=2t。
∴ SKIPIF 1 < 0 （4﹣t）=2t。
解得：t=4 SKIPIF 1 < 0 ﹣4
∴当t为4秒或（4 SKIPIF 1 < 0 ﹣4）秒时，△PBE为等腰三角形。
（3）∵EP=CE+AP，
∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE
=AO+CO
=4+4
=8。
∴△POE的周长是定值，该定值为8。
四边形与圆的易错问题精选精讲专项练习
1. 如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（ ）
A. 3.5 B. 4 C. 7 D. 14
2. 菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为____________。
3. 如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H。
（1）求证：HF=AP；
（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长。
4. 如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°0，∴S与r之间是二次函数关系，故选C。
5. ①②③
【解析】①∵点C是 SKIPIF 1 < 0 的中点，∴OC⊥BE，
∵AB为圆O的直径，∴AE⊥BE，
∴OC∥AE，故①正确；
②∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴BC=CE，故②正确；
③∵AD为圆O的切线，∴AD⊥OA，
∴∠DAE+∠EAB=90°，
∵∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠DAE=∠ABE，故③正确；
④AC不一定垂直于OE，故④错误。
6.【解析】
（1）证明：连接OD。
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠OAD=∠DAE，
∴∠ODA=∠DAE，
∴DO∥MN，
∵DE⊥MN，∴∠ODE=∠DEM=90°，
即OD⊥DE，
∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，
∴AD= SKIPIF 1 < 0 。
连接CD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=∠AED=90°，
∵∠CAD=∠DAE，∴△ACD∽△ADE。
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则AC=15（cm），
∴⊙O的半径是7.5 cm。