(通用版)中考数学二轮复习《再谈勾股定理的应用》专题训练题（含答案）

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再谈勾股定理的应用    在数学解题中，当题中出现直角三角形(或可构造出直角三角形)时，往往可以运用勾股定理求解.    本文从近年各地数学竞赛题中选取一些典型试题，介绍勾股定理在求解竞赛题中的应用.    题1  (2010年全国联赛试题)在等腰直角中，，是内一点，且，，则        .解析  如图1，过作，.设，，在直角和直角中，由勾股定理，可得    由②①，得,    ∴，    代入(1)得，    解得，.    当时，，    在直角中，由勾股定理，可得    .    当时，，    此时，    ∴点在之外了，不合题意，舍去.    ∴.    点评  本解法先根据题意画出图形，再作辅助线构造出新的直角三角形，然后运用勾股定理得解.    题2  (2008年浙江初赛试题)如图2，⊙与的斜边切于点，与直角边交于点，且，已知，，，则⊙的半径是(    )    (A)              (B)             (C)         (D) [来源:学科网ZXXK][来源:学科网ZXXK]解析  连，过作，在中，由勾股定理，得.∵，∴，∴.又∵，∴.∵，∴，∴，∴选D.    点评  本解法首先运用勾股定理，求得的长，然后再运用平行线分线段成此例定理与相似三角形性质，可得半径的长.    题3  (2006年江苏初三竞赛试题)如图3，四边形的对角线与相互垂直.若，，，则的长为(    )(A)           (B)             (C)          (D)     解析  如图3，设.由勾股定理，可得由①②，得，⑤由③、⑤，得，两式相加，得，∴，∴.    ∴选A.    点评本解法通过设辅助未知数、、、，由勾股定理建立关于、、、的方程组，求得的值，从而得到的长.    题4  (2005年五羊杯初三竞赛试题)如图4，在中，，，，，则的面积等于        .解析  延长，过点作.∵，∴.设，则，由勾股定理，得，，∴;同理可得.由，得，∴，化简得，∴，解得.当，，即，∴不合题意，舍去;当时，    ，符合题意，此时.∴.    点评  由，容易想到延长(延长也可)，得，再构造，运用勾股定理、相似三角形性质求得的长.这一求解方法易于理解，而且计算也并不复杂.    题5  (2003年全国联合竞赛试题)已知直角的周长为4，面积为7，试求它的三边之长.解析  设的三边之长分别为、、，其中为斜边.由题意，得    由③得，④把④两边平方，得.⑤    由⑤②，得，⑥    把②代入⑥，得，∴，∴，∴以、为根的一元二次方程为，    解得.    ∴这个直角三角形之三边长分别为.    点评  本题表述简洁，通过设三边长分别为、、，由勾股定理、面积关系、周长关系建立起关于、、的方程组，并对等式变换，可计算出三边之长.    题6  (2004年江苏竞赛试题)如图5，在中，.若、上的中线、垂直相交于，则可用、的代数式表示为        .解析  ∵、是的中线，∴为的重心.由重心定理，得.[来源:学科网]    设，    则.在、、中，由勾股定理，得由①+③，得，∴，∵，∴  ，∴.    点评  本解法运用三角形重心定理与直角三角形勾股定理，建立相应的方程组，从而巧妙地把几何问题转化为代数问题了.题7  (2006年山东竞赛试题)如图6，在中，，是的平分线.求证:.证明  设，则，[来源:Zxxk.Com]由勾股定理，得，∴.∵平分，由三角形内角平分线定理，得，∴，解得.∴，∴.[来源:学_科_网]    点评  本解法由题意设辅助未知数，由勾股定理、三角形内角平分线性质定理把边长、数量化(即用含的代数式表示)，这样可简捷证出结果.    题8  (2006年上海币新知杯试题)如图7，四边形为直角梯形()，且.若在边上存在一点，使得为等边三角形，则的值为        .解析  设.由勾股定理，得，，∴. ①过点作，在中，∵，    ∴由勾股定理，得     .②由②得，∴.∵，∴.代入①得，∴，∴.解这个方程并取得正根，得，∴.    点评本解法运用设辅助未知数的方法，由勾股定理得到关于、、的两个方程，经变形、代换，求出之值.