初中数学北京课改版九年级上册19.4 二次函数的应用学案及答案

二次函数

知识点：二次函数的应用

         温故

1、当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向____，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点。

2、当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向____，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点。

3、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的。

         知新

根据实际问题列二次函数关系式：

根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题。需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定。

列二次函数解决实际问题的一般步骤：

【例】如图，一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s（m）与时间t（s）的数据如下表．那么s与t之间的函数关系式是s=　　．

         老师有话说

其实，二次函数本质上就是二元一次方程，因此列二次函数表达式最关键在于找到题中的等量关系。这一点上二次函数的应用与之前所学过的一元一次方程、二元一次方程、一次函数并没有什么不同。

         【当堂演练】

1、下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）模型的是（　　）

A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系

B．我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系

C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）

D．圆的周长与圆的半径之间的关系

2、在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为（　　）

A．y=πx2﹣4      B．y=π（2﹣x）2 C．y=﹣（x2+4）         D．y=﹣πx2+16π

3、某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（　　）

A．y=x2+a      B．y=a（x﹣1）2 C．y=a（1﹣x）2         D．y=a（1+x）2

4、在边长为6 cm的正方形中间剪去一个边长为x cm（x＜6）的小正方形，剩下的四方框形的面积为y，y与x之间的函数关系是　　　　．

5、如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，DE∥AC，交AB与点E，点F在AC上，DC=DF，若BC=3，EB=4，CD=x，CF=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

         【百炼成钢】

1、用总长为60的篱笆围成矩形场地，矩形面积随矩形一边长的变化而变化，若要场地面积取得最大值，则应取（    ）

A．10      B．15      C．20    D．25

2、国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为（　　）

A、  B、   C、   D、

3、如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AE⊥EF．设BE=x，DF=y，则y是x的函数，函数关系式是（　　）

A、     B、     C、       D、

4、有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为_________.

5、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形，则这两个正方形的面积之和的最小值是___________．

6、为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2．求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

7、2006年4月22日至10月22日世界休闲博览会在杭州举行. 某厂经有关部门批准，生产“休博会”吉祥物“晶晶”,每日最高产量为40只，且每日的产品全部售出，已知生产只吉祥物“晶晶”的成本为（元），售价每只为P（元），、P与的函数解析式分别是（1）这批玩具的毛利润(总售价－总成本) y (元)关于x的函数关解析式；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？

8、在目前国内最大跨径的钢管混凝土拱桥——永和大桥，是南宁市又一标志性建筑，其拱形图形为抛物线的一部分（如图1），在正常情况下。位于水面上的桥拱跨度为350m，拱高为85米。

（1）在所给的直角坐标系中（图2），假设抛物线的表达式为，请你根据上述数据求出、的值，并写出抛物线的表达式（不要求写自变量的取值范围，、的值保留两个有效数字）。

（2）七月份汛期将要来临，当邕江水位上涨后，位于水面上的桥拱跨度将会减小，当水位上涨4m时，位于水面上的桥拱跨度有多大？（结果保留整数）

9、如图，以 40m/s的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有关系．

考虑以下问题

　　（1）球的飞行高度能否达到 15m？如能，需要多少飞行时间？

　　（2）球的飞行高度能否达到 20m？如能，需要多少飞行时间？

　　（3）球的飞行高度能否达到 20.5m？为什么？

（4）球从飞出到落地要用多少时间？

10、某商店如果将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可销售100件。为了增加利润，该商店决定提高售价，但该商品单价每提高1元，销售量要减少10件。问当售价定为多少时，才能使每天的利润最大？并求最大利润.

11、图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加多少？

12、如图，有长为24m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可用长度a＝10m)．

(1)如果所围成的花圃的面积为45m2，试求宽AB的长；

(2)按题目的设计要求，能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．

13、某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品．现准备增加一批同类机器以提高生产总量．在试生产中发现，由于其他生产条件没有改变，因此，每增加一台机器，每台机器平均每天将减少生产4件产品．

(1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请写出y与x之间的函数关系式；

(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?

14、已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，且OC＝OB＝3OA．

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)设点D是点C关于此抛物线对称轴的对称点，直线AD，BC交于点P，试判断直线AD，BC是否垂直，并证明你的结论；

(3)在(2)的条件下，若点M，N分别是射线PC，PD上的点，问：是否存在这样的点M，N，使得以点P，M，N为顶点的三角形与△ACP全等?若存在请求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．

15、如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓有抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系。

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知从某时刻开始的40个小时内，水面与河底ED的距离h（米）随时间（时）的变化满足函数关系：，且当顶点C到水面的距离不大于5米时，需禁止船只通行。请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通过？